Es ist bekannt, dass eine multivariate Brownsche Standardbrücke $ y (\ mathbf u) $ ein zentrierter Gaußscher Prozess mit der Kovarianzfunktion $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Ich bin mir nicht sicher, wie ich eine solche multivariate Brownsche Brücke bauen soll.
Mein erster Gedanke war, irgendwie mit einer univariaten Brownschen Brücke zu beginnen. Ich habe Informationen dazu und sogar ein Paket in R gefunden, das dies kann, aber nur für die univariate Brownsche Brücke.
Ich habe this , aber so wie ich es verstehe, gibt es keine multivariate Brownsche Standardbrücke wie oben definiert oder z in dieses Dokuments .
Ich würde mich über Hinweise und Unterstützung freuen.
Kommentare
- Wie ich in Deheuvels Artikel Link herausgefunden habe, gibt es den Link Die folgende Beziehung zwischen einer Brownschen Brücke $ B_t $ und einem Brownschen Blatt (oder Wiener Blatt) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Ich denke, das Problem reduziert sich auf die Simulation eines Brownschen Blattes. Ich werde meine Fragen dazu in einer separaten Frage stellen.
- Korrektur, die Beziehung für mehr Dimensionen ist $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Verwandte Themen: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Antwort
Wie Sie bereits gezeigt haben In den Kommentaren reduziert sich die Frage auf die Simulation eines Brownschen Blattes. Dies kann erreicht werden, indem die Simulation der Brownschen Bewegung auf einfache Weise verallgemeinert wird.
Um die Brownsche Bewegung zu simulieren, kann man eine i.i.d. Mittelwert-0 Varianz-1 Zeitreihe $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ und konstruiere den normalisierten Teilsummenprozess $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Als $ n \ rightarrow \ infty $ ist die Konvergenz von $ X_n $ schwach (in Der Sinn der Borel-Wahrscheinlichkeit misst auf einem metrischen Raum) nach dem Standard-Brownschen $ B $ auf dem Skorohod-Raum $ D [0 , 1] $ .
Die iid mit endlichem zweiten Moment ist der Fall der einfachste Weg zu simulieren. Das mathematische Ergebnis (funktionaler zentraler Grenzwertsatz / Donskers Satz / Invarianzprinzip) ist viel allgemeiner.
Um nun das (z. B. zweidimensionale) Brownsche Blatt zu simulieren, wird die mittlere Varianz 0 angenommen -1 Array $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ und konstruiere den normalisierten Teilsummenprozess $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Als $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ Konvergenz schwach zum Standard-Brownschen Blatt im Skorohod-Raum $ D ([0,1] ^ 2) $ auf dem Einheitsquadrat .
(Der Beweis ist ein schwaches Standardkonvergenzargument:
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Die Konvergenz der endlichen Dimensionsverteilung folgt aus der Levy-Lindeberg-CLT.
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Dichtheit auf $ D ([0,1] ^ 2) $ folgt aus einer ausreichenden Momentbedingung, die trivial in der i.i.d. Fall mit endlichem zweiten Moment — siehe z. Bickel und Wichura (1971). )
Dann wird durch den Satz der kontinuierlichen Abbildung $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ konvergiert schwach zur zweidimensionalen Brownschen Brücke.