Wie kann 64 = 65?

Dies ist ein berühmtes physisches Puzzle, das mit dem Fibonacci-Serie .

Um die gestellte Frage zu beantworten, besteht das Problem darin, dass die beiden Steigungen unterschiedlich sind ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Beachten Sie, dass alle diese Zahlen in der Fibonacci-Reihe enthalten sind ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Aufeinanderfolgende Brüche sind nähere Annäherungen an $ \ varphi $ und wechseln zwischen oben und unten. Diagramme wie dieses können erzeugt werden, indem ein Quadrat mit Seiten erstellt wird, die einer Zahl in der Fibonacci-Reihe entsprechen (in dieser Frage 8), und dann in zwei Rechtecke mit der Breite der beiden Fibonacci-Zahlen unterteilt wird, aus denen die erste ausgewählte besteht (3 und 5).

Schneiden Sie den kleineren in der Diagonale und den größeren in der Mitte diagonal ab, sodass die Breite des diagonalen Schnitts die nächstkleinere Zahl ist (in diesem Fall 2). Beachten Sie, dass dadurch ein Trapez zurückbleibt, dessen kleine parallele Größe mit der kleineren Seite des ursprünglichen kleinen Rechtecks (in diesem Fall 3) und dessen größere parallele Größe mit der kleineren Seite des ursprünglichen größeren Rechtecks (in diesem Fall 5) übereinstimmt.

Da $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ und aus den obigen Konstruktionen können die Teile in ein Rechteck (wie gezeigt) umgeordnet werden Der Bereich wird immer eins vom ursprünglichen Quadrat entfernt sein, aber ungefähr korrekt aussehen, da die Steigungen fast übereinstimmen.

Bearbeiten: Da diese Antwort so viele positive Stimmen erhalten hat (danke!), habe ich Angenommen, die Leute sind sehr daran interessiert, also dachte ich, ich würde ein paar Bilder erstellen!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (Beispiel des OP)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Ein Kommentar von @EricJ . veranlasste eine Diskussion, die es wert sein könnte, hier angesprochen zu werden:

Ich behaupte nicht, dass alle diese Rätsel auf der Fibonacci-Reihe basieren. Nur dass alle Fibonacci-Zahlen diese Diagramme erzeugen können. Es gibt verschiedene Merkmale von Fibonacci Zahlen, mit denen dies funktioniert.

1. Zum einen wechselt das Quadrat einer Fibonacci-Zahl zwischen eins mehr und eins weniger als das Produkt der Zahlen auf beiden Seiten.
2. Es gibt die Steigung, die ich bereits erwähnt habe, was bedeutet, dass unsere Konstruktion uns zwei Steigungen gibt, die ungefähr gleich sind. Und
3. Es gibt ein Argument, dass die Gesamtkonstruktion basierend auf jeder Zahl durchgeführt werden kann, die die Summe der beiden vorherigen ist.

Die beiden letztgenannten Punkte können am besten sein Der erste Punkt kann durch Induktion bewiesen werden:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ für $ k \ geq1 $

Wir indizieren neu, sodass $ f_0 = 0 $ und $ f_1 = 1 $ .

Schritt 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ kann durch Substitution überprüft werden.

Schritt 2 : Angenommen, es gilt für $ k $ . Also $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Ich verwende $ \ mp1 $ weil ich erwarte, dass es sich abwechselt, und deshalb werde ich es in Schritt 3 für $ \ pm1 $ )

Schritt 3 : Wir müssen zeigen, dass $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Also los gehts:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Ich habe die Definition der Fibonacci-Reihe zweimal verwendet ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ und $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) und die Annahme von Schritt 2.

Dies bedeutet, dass sich die Bereiche bei der obigen Konstruktion immer nur um 1 unterscheiden (abwechselnd jedes Mal oben und unten).

Kommentare

• Exc gute Antwort! Ich ‚ bin mit diesen Rätseln vertraut, habe aber noch nie von der Fibonacci-Verbindung gehört. Tatsächlich habe ich ‚ nicht einmal bemerkt, dass es einen Algorithmus zum Generieren solcher Formen gibt.
• Deshalb vertraue ich “ Beweis durch Demonstration “ Bilder auf math.stackexchange.com .
• Nachdem ich diese Frage gesehen hatte, wurde mir klar, warum mein zeitreisender Ferrari 488 mit schneller als Licht nicht ‚ nicht ganz funktionierte (ich meine, er ‚ würde in der Zeit schneller als leicht rückwärts fahren. Aber gut – aber es kam immer wieder als Ford Fiesta zurück!) Und ich ‚ war gerade fertig Ich habe es repariert und bei einem Testlauf gestartet, als ich diese dumme Antwort gelesen habe! Und dann kam der Ferrari zurück – aber diesmal kam er als Fahrrad mit einem DINOSAUR zurück, der es fährt! Also, OK, ich habe den Dino geschlagen (sein Name ‚ ist Fred, übrigens – netter Kerl. Lustiges altes ‚ Ding, Leben .. .) mit einer Pfanne, und jetzt ‚ repariere ich den FTL-Motor wieder. Also ‚ anks fer nuttin ‚ !! 🙂
• Ich denke, er ‚ sagt nur, dass er etwas Unmögliches getan hat und jetzt ‚ t mehr, weil sich ‚ als unmöglich erwiesen hat. Was ich ‚ nicht bekomme, ist, warum so viele Stimmen abgegeben werden? Ich meine, ich dachte, ich wäre schlau, aber nicht so schlau!
• Oh, ja? GUT! Ich habe gerade Ihre Antwort positiv bewertet, nur um sie auf 100 zu bringen! SO DA !!!! 🙂 (Und abgesehen von @ghosts_in_the_code – ich habe ‚ nicht wirklich gesagt, dass diese Antwort dumm ist – ich habe sie als “ dumm “ im ironischen Sinne bedeutet das “ Die Antwort hat mich als falsch erwiesen! Was für eine dumme Antwort! “ – dh ich ‚ bin hier der echte Dummy. Hoffentlich sind wir ‚ jetzt alle gut …) . Mein Kommentar ist eigentlich eine Hommage an drei Filme: Back To The Future, ET und Caddyshack. Und der Per Anhalter durch die Trilogie ‚ – alle fünf Bücher. 🙂

Das Diagramm ist irreführend , da es eine Lücke in der Mitte der zweiten Konfiguration verbirgt.

Dies ist, was wir tatsächlich erhalten, wenn wir die fraglichen Formen neu anordnen. Beachten Sie, dass sich die Diagonale leicht „verbiegt“ und etwas mehr Platz zwischen den Formen lässt – hier schleicht sich die zusätzliche Flächeneinheit ein.

Aber Sie sollten mir nicht mehr vertrauen als der Person, die das Originalbild gezeichnet hat!

Wie wir hier sehen, können Bilder irreführend sein – mein Diagramm ist also kein Beweis dafür, dass die Das ursprüngliche Diagramm war falsch. Dies gibt nur einen intuitiven Eindruck davon, woher der zusätzliche Platz gekommen ist.

Betrachten Sie für einen korrekten Beweis die Gradienten:

• Der Gradient des blauen Trapezes beträgt $ 5/2 = 2,5 $
• Der Gradient des Das rote Dreieck ist $ 8/3 = 2.666 … $

Da die Farbverläufe nicht übereinstimmen, können wir sie nicht nebeneinander anordnen, ohne dass ein Leerzeichen zwischen ihnen vorhanden ist . Aber weil sie nahe beieinander liegen, kann das Auge dazu verleitet werden, zu glauben, dass sie eine einzige durchgehende Linie bilden, und bemerkt nicht, dass sich die Neigung des Dreiecks auf halbem Weg nach unten ändert = „Kommentare“>

Das Bild rechts betrügt : die Teile Passen nicht wirklich perfekt zusammen, da ist eine Lücke dazwischen. Um dies zu beweisen, können wir die Größe der Lücke berechnen, indem wir die Größe eines Dreiecks berechnen, das gebildet wird durch:

• die längste Seite des gelben Dreiecks: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• die geneigte Seite des Trapezes: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• die Diagonale des Rechtecks auf dem rechts: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Die Fläche dieses Dreiecks kann nach der Formel von Heron berechnet werden:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

wobei

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Einsetzen der Werte in die Formel ergibt genau 0,5 für $ A $. Es gibt zwei solche Dreiecke, so dass „sa total 1 = die erwartete Diskrepanz.

Es ist ein irreführendes Diagramm. In Wirklichkeit stimmen die Winkel nicht überein – der größere Innenwinkel des orangefarbenen Dreiecks beträgt ungefähr 69,5 Grad, während es ist 68,2 für das graue Viereck. (Korrigieren Sie mich, wenn ich meinen Trigger hier falsch abstaube.) In der Abbildung mit Bereich 65 sind die orangefarbenen Bereiche tatsächlich Vierecke. Wenn Sie genau hinschauen, können Sie sehen, dass sie eine leichte Beugung haben, wo sie auf die andere Orange treffen Der zusätzliche Bereich ergibt sich aus der geringfügigen Erweiterung.

Die Dreiecke haben nicht die gleiche Steigung ;; Sie können sehen, dass sich die große diagonale Linie durch das „größere“ Rechteck biegt. Es wird von den dicken Linien um die Dreiecke verdeckt, aber es gibt ein sehr dünnes Loch mit einer Gesamtfläche von einem Quadrat – das gleiche Quadrat, das angeblich „aus dem Nichts erschienen“ ist.

Vergrößern Sie einfach das Bild und Sie werden sehen die Antwort.

Einfache Antwort :

Diese Formen (in Orange) auf der rechten Seite des Bildes sind überhaupt keine Dreiecke! Sie sind zwei Vierecke. Sie haben somit eine Fläche, die größer ist als visuell erwartet. Hier gibt es also kein Eigenkapital. Sie sind unterschiedlich und haben daher eine unterschiedliche Gesamtfläche.

Das Bild des unteren Rechtecks ist irreführend, weil es Menschen täuscht

Die tatsächliche Breite kann leicht berechnet werden – es ist ein Bruchteil der Gesamtbreite, definiert durch die Höhe des Punktes auf der Diagonale, oder bei genau 8/13 von 5, dh 3.076923077 (und nicht 3), qed

Kommentare

• Gemäß der Puzzle-Aussage sind die Dreiecke in Beide Diagramme sind identisch, und die Form der Dreiecke ist in der 8×8-Konfiguration definiert , um genau drei Einheiten mal acht Einheiten zu sein. Der Fehler ist in alexwlchan ‚ s Antwort und in mehreren anderen mathematisch erklärt: Die Teile ‚ passen in der 5×13-Konfiguration nicht zusammen. Dort ‚ eine dünne trapezförmige Lücke zwischen ihnen, Dies wird durch die dicke, schwarze und nicht ganz gerade diagonale Linie verdeckt, die in der ursprünglichen 5×13-Abbildung dargestellt ist.