Wie kann Fläche ein Vektor sein?

Dies könnte eher eine mathematische Frage sein . Dies ist eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums. Beachten Sie, dass ein Bereich wie eine Ebene in drei Dimensionen ein zweidimensionaler Unterraum ist. Auf einem Blatt Papier benötigen Sie nur zwei Zahlen, um einen Punkt eindeutig zu kennzeichnen.

Stellen Sie sich nun vor, Sie stehen auf dem Blatt Papier. Die Richtung, in die Ihr Kopf zeigt, ist immer ein Weg, um zu wissen, wie diese Ebene ausgerichtet ist im Weltraum. Dies wird als „normaler“ Vektor zu dieser Ebene bezeichnet, er steht im rechten Winkel zur Ebene.

Wenn Sie jetzt die Konvention so wählen, dass die Länge dieses Normalenvektors der Fläche dieser Oberfläche entspricht Sie erhalten eine vollständige Beschreibung der zweidimensionalen Ebene, ihrer Ausrichtung im dreidimensionalen Raum (des Vektorteils) und der Größe dieser Ebene (der Länge dieses Vektors).

Mathematisch können Sie dies ausdrücken durch das „Kreuzprodukt“ $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$, dessen Größe als $ | c | definiert ist = | a || b | sin \ theta $, was gleich der Fläche des Parallelogramms ist, die Vektoren (die wirklich eine Ebene definieren) überspannen. Um dieses Bild aus dem Artikel von Wikipedia über das Kreuzprodukt zu stehlen:

Wie ich am Anfang sagte Dies ist eine ganz besondere Sache für drei Dimensionen, in höheren Dimensionen funktioniert es aus verschiedenen Gründen nicht so ordentlich. Wenn Sie mehr über dieses Thema erfahren möchten, lautet das Schlüsselwort „Externe Algebra“

Update:

Prominente Beispiele für die physikalische Bedeutung dieses Konzepts sind Vektorfelder, die durch Oberflächen fließen. Nehmen Sie einen kreisförmigen Draht. Dieser Kreis kann in 3D auf verschiedene Arten ausgerichtet werden. Wenn Sie ein externes Magnetfeld haben, wissen Sie möglicherweise, dass dies einen elektrischen Strom induzieren kann, der proportional zur Änderungsrate der durch den Kreis fließenden Menge ist (stellen Sie sich vor, wie stark die Pfeile den Bereich durchbohren). Wenn die Magnetfeldvektoren parallel zum Kreis sind (und somit orthogonal zu seinem Normalenvektor), „perforieren“ sie den Bereich überhaupt nicht, so dass der Fluss durch diesen Bereich Null ist.Wenn andererseits die Feldvektoren orthogonal zur Ebene sind (dh parallel zur Normalen), „perforieren“ diese Bereiche maximal und der Fluss ist maximal.

wenn Sie die Ausrichtung zwischen diesen ändern In zwei Zuständen können Sie elektrischen Strom erhalten.

Kommentare

• +1 zur Erwähnung von Magnetfeldern. Nicht alle in der Physik verwendeten Oberflächenvektoren sind differentiell.
• Danke. Nur ein paar Klarstellungen. Sie haben mich gebeten, mir eine Person vorzustellen, die auf einem Papier steht. & Betrachten Sie die Richtung seines Kopfes als den normalen Vektor darstellend. Angenommen, diese Person stand genau auf der gegenüberliegenden Seite und ‚ bleibt die Ausrichtung des Papiers nicht gleich? Aber jetzt ist die Richtung des Vektors in die entgegengesetzte Richtung. Bitte klären Sie dies.
• Zweitens sagten Sie, dass dieses Konzept ‚ in höheren Dimensionen nicht so gut funktioniert. Bedeutet das also, dass meine Frage nach der Richtung des Bereichs einer Kugel ‚ ungültig ist? Wenn ja, ist area in diesem speziellen Fall ein Skalar, da die Betrachtung als Vektor seine Ausrichtung im Raum nicht angeben kann?
• Was ‚ hält Sie davon ab, zufrieden zu sein ?
• Es ‚ ist nicht zufriedenstellend, da axb zwar ein Vektor ist, | axb |, dh die Fläche, ein Skalar ist, daher ist es nicht überzeugend, dass diese Fläche ist ein Vektor.

Das Hauptnutzungsregime ist, wenn ein Bereich unendlich klein ist, wie man es tun würde Verwendung in einem Integral. In diesem Fall können wir leicht erkennen, dass es flach ist und die Form keine Rolle spielt. In diesem Fall können wir die Informationen als Vektor codieren, wobei die Größe den (skalaren) Bereich darstellt, die Wahl (wie Sie) bemerkt) von einer bestimmten Seite heraus zu zeigen ist genau das – eine Wahl – aber eine, die konsequent getroffen werden kann. Wir können dies auf nicht infinitesimale Ebenen ausweiten, aber es funktioniert nicht so gut für gekrümmte Oberflächen.

Um genau zu sein, möchten Sie wirklich einen Co-Vektor . Dies ist ein abstraktes Gadget, das einen Vektor nimmt und einen Skalar ausspuckt. Für eine Ebene soll dies die „Menge“ des Vektors darstellen, der durch die Ebene geht – also sollte er im Vektor linear sein (das Verdoppeln des Vektors verdoppelt die Ausgabe) und den Winkel berücksichtigen, unter dem der Vektor trifft es (gibt einen Faktor von $ \ cos $ an). Nun können wir die Frage stellen, wie dieser abstrakte Co-Vektor dargestellt wird, und es stellt sich heraus, dass ein Vektor eine gute Idee ist! Insbesondere können wir die Aktion so darstellen, dass sie das Punktprodukt nimmt, das natürlich die Linearität und den Kosinus codiert. Im Allgemeinen hat dies die gleiche Anzahl von Dimensionen wie ein geeigneter Vektor, aber dies codiert nur einen Bereich (eine 2D-Oberfläche) in 3D – in 2D würden Sie eine Linie erhalten, in 4D ein Volumen (ja! Ein 4-Vektor schneidet ein Volumen an einem Punkt!).

Wenn Sie mehr über diese Art von Dingen erfahren möchten, möchten Sie die Differentialgeometrie untersuchen, bei der es nur erforderlich ist, über diese Art von Dingen klar zu sein und keine Vektoren und Co-Vektoren (aufgerufen) zu verwechseln Formulare in diesem Feld). Eine gut lesbare Referenz ist Messfelder, Knoten und Schwerkraft , die von einem grundlegenden Überblick über die Mathematik ausgeht und diese für den physischen Gebrauch entwickelt.

Kommentare

• Im Kontext von Feldtheorien, wie zum Beispiel beim Elektromagnetismus, ist das Konzept von “ die Menge eines Vektors (Feldes) ), die durch ein ebenes Segment “ geht, erhält den Namen flow . Sie können sich also vorstellen, dass das Gebiet durch eine Funktion gekennzeichnet ist, die Vektoren (oder ein Vektorfeld) auf den Fluss dieses Vektors (Feldes) durch das Gebiet abbildet.
• @luksen das von ihm erwähnte Buch ist gut Für welches Niveau an mathematischen und physikalischen Kenntnissen? Um es neu zu formulieren, was sind die Voraussetzungen, um dem Buch effizient zu folgen? Und ist es ein Buch für Absolventen oder Studenten?

Denken Sie an Kraft ist Druck mal Bereich ($ F = P \ cdot A $). Sie wissen, dass Druck ein Skalar ist (es ist keine Richtung damit verbunden), und eine Kraft ist ein Vektor (sie wirkt entlang einer Achse). Was bedeutet das für den Druck?

Nehmen Sie eine kleine Fläche und sehen Sie, wie sie aufgrund des Drucks zur Gesamtkraft beiträgt.

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

Die Richtung der Kraft ist normal zur Fläche und ihre Größe ist proportional zur Größe der Fläche infinitesimaler Bereich $ {\ rm d} Ein $ kann ein Vektor sein. Es ist zweckmäßig, an (Vektor) = (Skalar) * (Vektor) zu denken.

Es gibt ein besonders malerisches Beispiel für das Gesetz der Pythagors in drei Dimensionen, das auf die Bereiche eines Simplex angewendet wird. (Mit „Simplex“ meine ich einen Raumabschnitt, der durch drei orthogonale Grenzen begrenzt ist Flugzeuge und eine beliebige Ebene.) Die Summe der Quadrate (der Flächen) der drei kleinen Flächen entspricht dem Quadrat der Fläche der schrägen Fläche. Dies lässt sich leicht durch die Argumente des Druck- / Strömungstyps erklären, die in den anderen hier veröffentlichten Antworten vorgebracht wurden, sowie durch die offensichtliche physikalische Verfassung, dass sich eine ungestörte Flüssigkeit im Gleichgewicht mit sich selbst befindet.