Wie können wir erklären, dass Beryllium positive Ladungsträger als Metall hat (aus Feynman Lectures)?

Der Unterschied zwischen einem Metall und einem Halbleiter besteht darin, dass das obere Energieband eines Metalls teilweise mit Elektronen gefüllt ist, während wir in einem Halbleiter das nach oben gefüllte Valenzband unterscheiden. und das Leitungsband, das leer ist (bei Nulltemperatur). Das teilweise gefüllte Band in einem Metall wird üblicherweise als Leitungsband bezeichnet. Die Analogie zum Leitungsband eines Halbleiters ist jedoch nur dann korrekt, wenn weniger als die Hälfte dieses Bandes gefüllt ist. Wenn andererseits mehr als die Hälfte dieses Bandes gefüllt ist, bewegen sich die Elektronen in dem Teil des Bandes mit der negativen Krümmung, dh ihr Verhalten ähnelt eher dem der Löcher im Valenzband eines Halbleiters . Ich weiß nicht, ob dies bei Berillium der Fall ist, aber ich glaube, dass die Antwort von @Agnius Vasiliauskas diesen Punkt hervorhebt.

Hinweis zum Bandenergie
Für freie Elektronen wird die Energie durch $$ \ epsilon (k) = \ frac {\ hbar ^ 2k angegeben ^ 2} {2m}, $$ , aber für Bandenelektronen ist dies nicht der Fall, da die Bandenergie von unten und von oben begrenzt wird. Eine gute Möglichkeit, dies zu visualisieren, ist die eindimensionale Enge. Bindungsmodell, wobei $$ \ epsilon (k) = – \ Delta \ cos (ka), $$ wobei $ 2 \ Delta $ ist die Bandbreite und $ a $ ist die Gitterkonstante. Wenn die Konzentration der Elektronen niedrig ist, ist es gerechtfertigt, diese Energie in der Nähe zu erweitern sein Minimum, $ k = 0 $ : $$ \ epsilon (k) \ approx – \ Delta + \ frac {\ Delta k ^ 2 a ^ 2} {2}. $$ Wir können dann t definieren Die effektive Masse $ m ^ * = \ hbar ^ 2 / (\ Delta a ^ 2) $ ( effektive Massenannäherung ) und Behandlung der Elektronen, als wären sie ein freies Elektronengas.

Wenn das Band jedoch fast gefüllt ist, ist es berechtigter, die Bandenergie nahe ihrem obersten Punkt, $ k = \ pi + q / a $ , mit dem Ergebnis $$ \ epsilon (k) \ approx \ Delta – \ frac {\ Delta q ^ 2a ^ 2} {2}. $$ In diesem Fall spricht man von negativer effektiver Masse , was zu einem ganz ähnlichen Verhalten der Leitfähigkeitseigenschaften führt.

Ein anderes Um dies zu betrachten, muss festgestellt werden, dass die Elektronengeschwindigkeit, die in den Ausdruck für den Strom eingeht, als Gruppengeschwindigkeit der Wahrscheinlichkeitswellen definiert ist: $$ v (k) = \ frac { 1} {\ hbar} \ frac {d \ epsilon (k)} {dk}, $$ , was uns den bekannten Impuls über die Masse für freie Elektronen gibt $ v (k ) = \ hbar k / m $ , sieht aber ganz anders aus Miete für Elektronen im Band, wo sie negative Werte annehmen können (d.h. lochartiges Verhalten aufweisen): $ v (k) = \ Delta a \ sin (ka) / \ hbar $ .

Kommentare

• Würde es Ihnen etwas ausmachen, herauszufinden, warum die Band in einem Metall überhaupt gekrümmt ist? Es scheint mir, dass es zwei Möglichkeiten gibt, es zu beschreiben: über Elektronengas, wie von @Agnius Vasiliauskas beschrieben, und über Bandstruktur, und ich sehe ‚ nicht, wie sie sich überlappen
• @fruchti Ich habe mehr Material hinzugefügt. Es ist wirklich zu kurz für eine Einführung in die Bandentheorie, aber ich hoffe, es wird helfen.

Als positive Ladungsträger können Löcher und Ionen sein. Wenn Sie sich die ersten Ionisierungsenergien von Metallen ansehen:

Sie werden sehen, dass die kleinste erste Ionisierungsenergie $ \ leq 5 \, \ text {eV} $ eine Alkalimetallgruppe hat:
Lithium (Li), Natrium (Na), Kalium (K), Rubidium (Rb), Cäsium (Cs), Francium (Fr).
Erdalkalimetallgruppe hat erste Ionisierungsenergien zwischen $ (10 \, \ text {eV} \ geq E _ {\ text {ionization}} \ geq 5 \, \ text {eV}) $ . Zu dieser Gruppe gehören:
Beryllium (Be) , Magnesium (Mg), Calcium (Ca), Strontium (Sr. ), Barium (Ba), Radium (Ra).
Niedrige Ionisationsschwellen in Alkali- und Alkalimetallen können als gute Unterstützung für eine höhere Konzentration freier Elektronen in solchen Metallen angesehen werden. Dies impliziert eine höhere Konzentration positiver Ladungen – Löcher & Ionen in ihnen auch, denn wenn das Atom ionisiert wird – lose gekoppeltes Elektron wird von ihm entfernt und wird ein freies Elektron, so wird Atom positiv geladenes Ion oder anders ausgedrückt – an einem Ort, an dem das Elektron vorher war, ist jetzt ein Loch, $ 𝑒 ^ + _ Ø $ Gebühr.

EDIT

Was die Frage betrifft, warum in diesem Fall positive Ladungen der Hauptladungsträger sind, – kenne ich die genaue Ursache nicht, aber meine physische Intuition sagt dies aus. Nach der kinetischen Theorie der Gase bedeutet dies frei Der Pfad des Partikels ist definiert als: $$ \ ell = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2 } p}} $$ Für $ \ pi d ^ {2} $ können Sie wirksam werden Die Querschnittsfläche der Kollision zwischen freien Elektronen und Atomen. Und weil freie Elektronen ein Fermigas bilden, können Sie für den Druck einen Elektronendegenerationsdruck nehmen, der lautet: $$ p = {\ frac {(3 \ pi ^ {2}) ^ { 2/3} \, n ^ {5/3} \, \ hbar ^ {2}} {5m}} $$

wobei $ n $ ist die Dichte der freien Elektronenzahl.

Wenn also die Zahlendichte zunimmt (wie dies bei diesen leicht ionisierbaren Materialien der Fall ist), steigt auch der entartete Elektronengasdruck an. Wenn der Fermigasdruck zunimmt, nimmt der mittlere freie Weg des Elektrons ab, was bedeutet, dass es für größere Elektronenkonzentrationen weitaus schwieriger ist, sich frei für sie zu bewegen. Da Löcher an ein Atom gebunden sind und keinen Gegenstand von Atomstreueffekten sind, reagieren sie gleichmäßiger auf den Hall-Effekt. Das ist meine 2-Cent-Vermutung.

Kommentare

• Können Sie genauer erläutern, wie eine höhere Konzentration an freien Elektronen zu einer höheren Konzentration führt? von Löchern und Ionen? Wenn wir genug von beidem haben, warum transportieren die Löcher dann die Ladungen, nicht die Elektronen?
• Ich ‚ habe meine Antwort geändert .
• Wenn ich Ihre Argumente gut verstehe, würden Sie einen positiven Hall-Koeffizienten für die Alkhali-Metalle vorhersagen? Aber dies wird nicht beobachtet. Ich bin auch erstaunt zu lesen, dass Löcher an ein Atom gebunden sind. Könnten Sie bitte genauer erklären, was Sie vorhaben?
• Ich meine, Löcher sind nicht wie freie Elektronen. Freie Elektronen sind nicht an ein Atom gebunden, sondern an Löcher sind , sie können sich zwischen Atomen bewegen, aber sie können ‚ kein Atom verlassen, da das Loch per Definition an einem Ort lebt, an dem das Elektron an ein Atom gebunden wurde.
• Dann denke ich, dass das falsch ist. Was ist mit meinem ersten Kommentar? Ihre Antwort impliziert einen positiven Hall-Koeffizienten für Alkhali-Metalle?

Ziman bietet die Lösung in „Electron in Metalle: Eine kurze Anleitung zur Fermi-Oberfläche „, in Teil III.

Die kurze Antwort lautet „wegen der Wechselwirkung zwischen den Elektronen und dem Gitter“.

Dies impliziert, dass das Modell der freien Elektronen (das zu einer sphärischen Fermi-Oberfläche führt) nicht erklären kann Dieses Verhalten.

Die etwas kompliziertere Antwort könnte sein: Wenn es keine Wechselwirkung zwischen freien Elektronen und dem Gitter gibt, die Fermi-Oberfläche (bestimmt durch $ E (\ vec k) $ ) wäre eine perfekte Kugel und die Geschwindigkeit der Elektronen, die zur Leitung beitragen, wäre parallel zum (Kristall-) Impuls $ \ vec k $ und es ist immer normal zur Fermi-Oberfläche.Das Vorhandensein des Gitters verändert jedoch die Form der Fermi-Oberfläche (verzerrt sie), so dass die Geschwindigkeit der (Quasi) Elektronen, $ \ vec v (\ vec k) = \ frac {1} {\ hbar} \ nabla_ \ vec k E (\ vec k) $ kann aufgrund der Wechselwirkung zwischen den Elektronen und dem Gitter ernsthaft verändert werden, wodurch sie eine Geschwindigkeit haben, die nicht parallel zum Kristall ist Impuls, aber immer noch senkrecht zur Fermi-Oberfläche.

Wenn nun ein elektrisches Feld senkrecht an ein Magnetfeld angelegt wird (Hall-Effekt), stehen die Elektronen unter einer Lorentz-Kraft. Wenn man die Lorentzkraft mit der oben beschriebenen Geschwindigkeitsformel kombiniert, kommt man zu dem Schluss, dass es so ist, als ob einige der Elektronen eine negative effektive Masse hätten. Diese können als „Löcher“ betrachtet werden.

Dieses Argument kann verwendet werden, um zu erklären, warum Be, Zn, Cd, Sn und Pb positive Hall-Koeffizienten aufweisen, obwohl sie „Metalle“ sind.