Ich habe eine Frage zum 1976 Black Model und Bachelier Model.
Ich weiß, dass eine geometrische Brownsche Bewegung im P-Maß ist $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ für einen Aktienkurs $ S_ {t} $ führt (nach einer Maßänderung) zum Schwarz- Scholes-Formel für einen Anruf:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Wobei $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ und $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Ich weiß eigentlich nicht, wie es möglich ist, die berühmte schwarze Formel anzuwenden ein Terminkontrakt:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
wo jetzt $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ und $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Sollte ich einfach $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ in die erste BS einfügen Formel, um die zweite zu erhalten?
Ich frage dies, weil ich versucht habe, die BS-Formel mit einer arithmetischen Brownschen Bewegung wie $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} abzuleiten ^ {P} $, a nd Ich bekomme:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
wobei $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ und $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ und daran erinnern, dass $ N (d) $ und $ n (d) $ die CDF und PDF sind.
aber die vorherige Ersetzung $ F (0, T. ) = S_ {0} e ^ {rT} $ scheint nicht zu dem bekannten Ergebnis zu führen $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
wobei jetzt $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Ich denke, ich könnte die Gleichungen vorwärts sowohl in der Geometrie erreichen Brownsche Bewegung und arithmetische Brownsche Bewegung unter Verwendung der Gleichungen
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ und $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $, aber ich nicht “ Ich weiß nicht, wie ich ihre Verwendung rechtfertigen soll.
Kommentare
- @Macro Willkommen bei Quant. S.E.! Möchten Sie nur einen Terminkontrakt oder eine Option auf einen Terminkontrakt bewerten?
- Hallo Neeraj, danke für Ihre Antwort. Ich ‚ möchte eine Option für einen Terminkontrakt bewerten!
- Ersetzen Sie einfach $ S_0 $ durch $ F e ^ {- rT} $ in Ihrer ursprünglichen BS-Formel oder Sie können einen risikoneutralen Ansatz verwenden. Beides führt zur gleichen Bewertungsformel.
- Ok, danke. Aber kann ich das auch für das ABM tun? Weil ich ‚ bei dieser Ersetzung nicht das Ergebnis erhalten kann.
Antwort
Europäische Option für die Zukunft
Um die europäische Option für die Zukunft zu bewerten, müssen Sie nur $ S_0 $ durch $ Fe ^ {- rT} $ in Ihrer ursprünglichen BS-Formel oder Sie können einen risikoneutralen Ansatz verwenden. Beides führt zu derselben Bewertungsformel.
Amerikanische Option für die Zukunft
Das obige Verfahren kann nicht verwendet werden, um die amerikanische Option für die Zukunft zu bewerten. In einem Papier erklärte Die Bewertung von Optionen auf zukünftige Kontrakte durch Ramaswamy , dass
Es ist keine analytische Lösung für die Bewertung der amerikanischen Option für zukünftige Kontrakte bekannt.
Die Autoren verwendeten die implizite Finite-Differenzen-Methode, um die amerikanische Option für zukünftige Kontrakte zu bewerten.
Bearbeiten: Ableitung des Preises der europäischen Option für einen zukünftigen Vertrag
Unter risikoneutraler Maßnahme zukünftiger Preis, $ F_t $ erfüllen folgende SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ wobei $ W_t $ ist ein Wiener Prozess. Es kann leicht gezeigt werden, dass: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T-W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) ,. \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Der Optionspreis für zukünftige Verträge $ (C_t) $ unter Das risikoneutrale Maß ist: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Sie können den obigen Ausdruck leicht lösen, um den Preis der Option für die Zukunft zu erhalten. Die Verteilung von $ F_T $ ist $ S_T $ (siehe diese Antwort) . Wenn Sie $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ ersetzen, erhalten Sie die gleiche Verteilung von $ S_T $ als risikoneutrale Maßnahme. Dies ist der Grund, warum wir $ S_t $ durch $ F_t e ^ {- ersetzen, um den Preis der Option für die Zukunft zu erhalten r (Tt)} $ im BS-Modell des europäischen Call-Option-Preises.
Kommentare
- Hallo Neeraj, eigentlich ich ‚ möchte eine europäische Option ab einem ABM bewerten.
- @Marco Bitte überprüfen Sie die Antwort zum Bearbeiten.
Antwort
Hier „ist eine einfache Möglichkeit, den Preis des Anrufs auf den Forward-Preis mithilfe einer risikoneutralen Preisgestaltung zu ermitteln.
Angenommen, wir haben einen europäischen Anruf, der bei $ t = T $ , $ (For () bezahlt. T, T ^ *) – K) ^ + $ , wobei $ T ^ * \ geq T $ . Nehmen wir weiter an, dass die Zinssätze konstant sind und durch „ $ r $ “ dargestellt werden. Sei $ c ^ {For} (t, s) $ der Preis des Aufrufs, wobei $ S (t) = s $ .
Wenn die Aktie keine Dividenden zahlt:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (Für (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Durch Replikation kann gezeigt werden, $ Für (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ und
$ c ^ {Für} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Sie sollten sofort bemerken, da die Zinssätze konstant und somit deterministisch sind, können wir die Mathematik „ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ “ Begriff außerhalb der Erwartung:
$ c ^ { Für} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Somit ist dies jetzt proportional zum Black Scholes-Call-Preis mit Strike $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {Für} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {Für} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T. )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {For } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , wobei $ F. = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
auch:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Dies ist die „berühmte schwarze Formel für einen Terminkontrakt“. Ich hoffe, das hilft!
Bitte beachten Sie, dass der Terminkurs und der Preis des Terminkontrakts nicht gleich sind. Der Preis des Terminkontrakts zum Zeitpunkt 0 ist 0, kann sich jedoch ändern. Der Terminkurs ist der Preis, den Sie bei Lieferung zu zahlen vereinbaren.
Wenn Sie neugierig sind, was es wäre, wenn es ein Anruf wäre Ich behaupte, der Futures-Preis anstelle eines Abrufs des Terminkurses ist derselbe, wenn der Vermögenspreis nicht mit dem Zinssatz korreliert. Andernfalls würde es zu Arbitrage kommen (unter der Annahme, dass kein Kontrahentenrisiko besteht usw.). Ich ermutige Sie, dies zu versuchen.
(PS: Auf die Antwort der vorherigen Kommentatoren, dass es keine Formel für eine amerikanische Option auf den Terminpreis gibt, hindert uns dies nicht daran, Monte Carlo zu verwenden!)