Überlagerungssatz
„ Der Überlagerungssatz für elektrische Schaltungen besagt, dass für ein lineares System die Die Antwort (Spannung oder Strom) in einem Zweig eines bilateralen linearen Schaltkreises mit mehr als einer unabhängigen Quelle entspricht der algebraischen Summe der Antworten, die von jeder unabhängigen Quelle verursacht werden, die alleine wirkt, wobei alle anderen unabhängigen Quellen durch ihre internen Impedanzen . „

Welche Arten von Schaltkreisen kann durch Überlagerung gelöst werden?

Schaltungen, die aus einer der folgenden Komponenten bestehen, können unter Verwendung des Überlagerungssatzes

• unabhängig gelöst werden Quellen
• Lineare passive Elemente – Widerstand, Kondensator und Induktor
• Transformator
• Lineare abhängige Quellen

Was sind die Schritte zum Lösen einer Schaltung unter Verwendung des Überlagerungssatzes?

Befolgen Sie den Algorithmus:

1. Antwort = 0;
2. Wählen Sie die erste unabhängige Quelle aus.
3. Ersetzen Sie alle unabhängigen Quellen im Originalstromkreis mit Ausnahme der ausgewählten Quelle durch ihre interne Impedanz.
4. Berechnen Sie die Größe (Spannung oder Strom) ) von Interesse und zur Antwort hinzufügen.
5. Beenden, wenn dies die letzte unabhängige Quelle war. Andernfalls fahren Sie mit Schritt 3 fort, indem Sie die nächste Quelle auswählen.

Die interne Impedanz einer Spannungsquelle ist Null und die einer Stromquelle ist unendlich. Ersetzen Sie daher die Spannungsquelle durch einen Kurzschluss und die Stromquelle durch einen offenen Stromkreis, während Sie Schritt 3 im obigen Algorithmus ausführen.

Wie werden verschiedene Arten von Quellen behandelt, wenn Lösen durch Überlagerung?

Die unabhängigen Quellen sind wie oben erläutert zu behandeln.

Berühren Sie abhängige Quellen nicht.

Überlagerung gilt nur, wenn Sie ein rein lineares System haben, dh:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

Im Rahmen der Schaltungsanalyse muss die Schaltung aus linear bestehen Elemente (Kondensatoren, Induktivitäten, Lineartransformatoren und Widerstände) mit N unabhängigen Quellen und das, wonach Sie suchen, müssen entweder Spannungen oder Ströme sein. Beachten Sie, dass Sie eine überlagerte Lösung für Spannung / Strom verwenden können, um andere Größen zu finden, die sind nicht linear (z. B. Verlustleistung in einem Widerstand), aber Sie können nichtlineare Größen nicht überlagern (addieren), um die Lösung für ein größeres System zu finden.

Nehmen wir zum Beispiel einen einzelnen Widerstand und schauen Sie sich das Ohmsche Gesetz an (ich verwende U und J für Spannung / Strom, kein besonderer Grund) und sehen Sie, wie der Strom von der Quelle \ beigetragen hat $ i \ $ beeinflusst die Spannung:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Ich kann also die Spannung an einem Widerstand ermitteln, indem ich den Strombeitrag von jeder Quelle unabhängig von einer anderen Quelle aufsummiere . Um den durch den Widerstand fließenden Strom zu ermitteln, gehen Sie wie folgt vor:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Wenn ich jedoch anfange In Bezug auf die Macht gilt die Überlagerung nicht mehr:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Der allgemeine Prozess zum Lösen Eine Schaltung mit Überlagerung lautet:

1. Ersetzen Sie für jede Quelle \ $ i \ $ alle anderen Quellen durch ihre äquivalente Nullquelle, dh Spannungsquellen werden 0 V (Kurzschlüsse) und Stromquellen werden 0 A ( Unterbrechungen). Suchen Sie die Lösung \ $ F_i \ $ für alle Unbekannten, an denen Sie interessiert sind.
2. Die endgültige Lösung ist die Summe aller Lösungen \ $ F_i \ $.

Beispiel 1

Nehmen Sie diese Schaltung mit zwei Quellen:

^{simuliert diese Schaltung – Schema erstellt mit CircuitLab}

Ich möchte nach dem Strom J suchen, der durch R1 fließt.

Wählen Sie V1 als Quelle 1 und I1 als Quelle 2.

Wenn Sie nach \ $ J_1 \ $ suchen, wird die Schaltung zu:

^{simuliert diese Schaltung}

Wir wissen also, dass \ $ J_1 = 0 \ $.

Jetzt lösen Für \ $ J_2 \ $ wird die Schaltung:

^{simuliere diese Schaltung}

Wir können also feststellen, dass \ $ J_2 = I_1 \ $.

Überlagerung anwenden, \ begin {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Beispiel 2

^{simuliert th ist Schaltung}

Jetzt interessiert mich der Strom durch R4 \ $ J \ $. Wenn ich nach dem zuvor beschriebenen allgemeinen Verfahren V1 als Quelle 1, V2 als Quelle 2 und I1 als Quelle 3 bezeichne, kann ich Folgendes finden:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

So. Die endgültige Lösung lautet: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Die Kraft der Überlagerung ergibt sich aus der Frage „Was ist, wenn ich eine Quelle hinzufügen / entfernen möchte?“ Angenommen, ich möchte eine aktuelle Quelle I2 hinzufügen:

^{simuliere diese Schaltung}

Anstatt von vorne zu beginnen, muss ich jetzt nur noch die Lösung für meine neue Quelle I2 finden und hinzufügen meine alte Lösung: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Kommentare

• Ich habe einige Kommentare, von denen ich hoffe, dass sie nützlich sind: 1. Ich finde die Verwendung U und J sind etwas verwirrend, V und ich sind besser; 2. Die erste Gleichung für U sollte keine Summation sein, da sie ‚ nur für die i ‚ -te Quelle gilt. 3. Die anderen Summierungen sollten meines Erachtens von i = 1 bis N genommen werden, nicht von i bis N; 4. Die Überlagerung in der Schaltungstheorie wird nur für Strom und Spannung verwendet, daher würde ich die Diskussion über Leistung später im Text verschieben. 5. In dem Beispiel, das dem einfachen von I1 und R1 folgt, sollte nicht ‚ t J3 = -I1 (…) sein, da I1 in die entgegengesetzte Richtung zu J3 wirkt?
• 1. Ich habe mich für U und J entschieden, weil ich meine Quellen mit V und I beschriftet habe und ‚ keine Verwirrung durch \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah}) wollte ) \ $. Ich sage klar, was U und J sind, um die Verwirrung zu begrenzen. 2. Ja, ich habe die Notation für die Summationsvariable und den Startindex klarer gemacht. 4. Meine Idee war es, alle grundlegenden Informationen über die Überlagerungstheorie vor die Beispiele zu stellen. Ich habe die Beispielabschnitte klarer gemacht, um die beiden zu trennen. 5. Ja, das war mein Fehler.