Wie weit können Papageien fliegen, ohne landen zu müssen?

Wir beginnen unsere Analyse des motorisierten Flugs mit Überlegungen Ein bestimmtes Flugzeug, beispielsweise ein Boeing 787-Passagierflugzeug. Um seine maximale Reichweite zu erreichen, würde das Flugzeug vollständig betankt sein, eine ebene Flugbahn mit konstanter Geschwindigkeit starten und fliegen, da jede Beschleunigung (durch Höhenänderung oder schnelleres Fahren) in die Taille gehen würde Kraftstoff. Wenn der Kraftstofftank trocken wird, haben Sie die maximale Reichweite des angetriebenen Flugs erreicht (natürlich ohne Gegen- oder Rückenwind).

Aus analytischer Sicht: Der vom 787 transportierte Kraftstoff ist die Energiequelle $ E_s $ , die ihn antreibt Motoren. Diese Motoren erzeugen die Schubkraft $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ , die horizontal parallel zur Längsachse des 787 gerichtet ist und auf die Flugbahn, die dem Effekt der atmosphärischen Widerstandskraft entgegenwirkt, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ , die sich widersetzt die Bewegung der 787 entlang ihrer Flugbahn. Unter stabilen Flugbedingungen (konstante Geschwindigkeit und Höhe) sind die horizontalen Nettokräfte auf die 787 Null, so dass $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ oder $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Wenn wir die Größe beider Seiten dieses Ausdrucks nehmen, finden wir, dass $ D = T $ , so dass $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Wir stellen fest, dass der von den Triebwerken erzeugte Schub die gleiche Größe hat, jedoch entgegengesetzt zum Luftwiderstand gerichtet ist.

Unter den gleichen Flugbedingungen finden wir eine ähnliche Beziehung für die vertikalen Komponenten der Kraft, die auf die Triebwerke wirken 787 wird sein Gewicht $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ durch den Auftrieb $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ , der von den Flügeln generiert wird, so dass $ F_w = m_p g = L $ und $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ wobei $ m_p $ ist die momentane Masse (= Startmasse der Ebene, $ m_ {p_0} $ abzüglich der so verbrauchten Kraftstoffmasse Fernerzeugungsschub) des 787 und $ g = 9.8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ ist die Standard-Gravitationsbeschleunigung auf der Erdoberfläche. Wir stellen hier fest, dass unter diesen Flugbedingungen sowohl $ \ mathbf {L} $ als auch $ \ mathbf {F} _w $ stehen senkrecht zu $ \ mathbf {T} $ und $ \ mathbf {D} $ .

Wenn der Schub entfernt wird, so dass $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , wird die Widerstandskraft nein länger entgegengesetzt sein und das Flugzeug verlangsamen, wodurch die Geschwindigkeit der über den Flügel strömenden Luft verringert wird, was wiederum dazu führt, dass der Flügel weniger Auftrieb erzeugt, wodurch der Sinkflug des Flugzeugs eingeleitet wird (sein Gewicht ist größer als der vom Flügel). Wenn die Ebene dann um einen Winkel $ \ alpha $ von der Horizontalen „heruntergefahren“ wird, die Projektion des Gewichtsvektors der Ebene, $ \ mathbf {F} _w $ auf der Längsachse der Ebene ist nicht mehr Null, sondern $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ nach vorne gerichtet gegen die Widerstandskraft.Wenn $ \ alpha $ so gewählt wird, dass die Summe dieser Projektion und des Widerstandsvektors Null ist, sinkt die Ebene mit einer konstanten Geschwindigkeit und der Größe des Widerstands wird durch $ D = F_w \ sin \ alpha $ angegeben. Die Projektion des Gewichtsvektors auf die Achse senkrecht zur Längsachse der Ebene, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , wird durch Gleichheit ausgeglichen Größe, aber entgegengesetzt gerichteter Auftriebsvektor, dessen Größe jetzt $ L = F_w \ cos \ alpha $ wird. Wenn wir das Verhältnis bilden $ D / L $ Wir finden \ begin {Gleichung} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {Gleichung} Die Umkehrung dieses Verhältnisses, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , ist in der Aerodynamik als Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand bekannt, während der Winkel $ \ alpha $ wird als Gleitneigungswinkel bezeichnet. Diese beiden Parameter sind wichtig für die Gesamtcharakterisierung der Aerodynamik eines Luftrahmens. Sobald dieses Verhältnis bekannt ist, kann es zur Schätzung des im Horizontalflug ziehen. Aber im Horizontalflug, Der Auftrieb entspricht in seiner Größe dem Gewicht der Ebene, $ L = F_w = m_p g $ . Einsetzen dieses Ausdrucks in Gleichung ~ $ \ eqref {1} $ und Auflösen nach dem Widerstand \ begin {Gleichung} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {Gleichung}

Wir haben den Punkt in erreicht Unsere Analysen besagen, dass wir das Massen- / Energiebudget für den Flug des Flugzeugs berücksichtigen müssen. Es wird nützlich sein, die Masse des Flugzeugs in seine leere Masse (ohne Treibstoff) zu trennen, $ m_ {p_e} $ und die Masse des verfügbaren Kraftstoffs $ m_f $ , wobei die anfängliche Startmasse des Kraftstoffs durch $ m_ {f_0} $ . Wenn diese Größen definiert sind, wird die anfängliche Startmasse der Ebene durch $ m_ {p_0} = m_ {p_e angegeben } + m_ {f_0} $ , während die momentane Masse durch $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ gegeben ist. Während des Fluges ist die Masse der Kraftstoff verfügbar, $ m_f $ variiert so, dass $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ während die Masse der Ebene $ m_p $ variiert als $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Es sind zwei zusätzliche Konstanten erforderlich, um die effektive Nettoenergie zu bestimmen, die verfügbar ist, um gegen die Widerstandskraft zu arbeiten, wenn die (Differenz-) Menge $ \ delta m_f $ Kraftstoff während des Fliegens der (Differenz-) Distanz $ \ delta \ mathbf {r} $ . Die erste davon, $ \ kappa $ , bestimmt die gesamte (differentielle) Energie, $ \ delta E $ , verfügbar aus der Verbrennung der Menge $ \ delta m_f $ Kraftstoff \ begin {Gleichung} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {Gleichung} Für ein amerikanisches Flugzeug wie die 787 $ \ kappa $ wird Einheiten wie BTU pro Pfund verbrauchten Kraftstoff haben. Der zweite, $ \ eta $ , gibt die Effizienz der Umwandlung der verfügbaren Energie in tatsächliche Arbeit an, $ \ delta W $ , wodurch ein Schub erzeugt wird, der dem Widerstand entgegenwirkt. \ begin {Gleichung} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {Gleichung} wobei $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ ist ein Differenzverschiebungsvektor entlang der Flugbahn bei konstanter Geschwindigkeit, horizontaler Bewegung und Minus Das Zeichen erklärt die Tatsache, dass die Energiespeicher des Flugzeugs verbraucht werden, da diese Energie verwendet wird, um dem Luftwiderstand entgegenzuwirken (ein grundlegend dissipativer Prozess).

Lassen Sie den $ \ Delta $ werden zu Ableitungen, die durch $ m_p $ geteilt werden und $ m_p = m_ {p_e} verwenden + m_ f $ und Ersetzen der integrierten Variablen durch vorbereitete Größen, Gleichung ~ $ \ eqref {4} $ kann in der integralen Form \ begin {Gleichung} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm „} {m_ {p_0} + m“} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr „\ tag {5} \ label {5} \ end {Gleichung} mit den beim Start ausgewerteten Integrationsgrenzen und der aktuellen Position im unteren Bereich um einen Abstand $ r $ vom Start.

Wenn wir die in Gleichung ~ $ \ eqref {5} $ angegebenen Integrationen ausführen und vereinfachen, erhalten wir das Ergebnis \ begin {Gleichung} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {Gleichung} Wir stellen fest, dass die Masse der Ebene, $ m_p $ , eine exponentiell abnehmende Funktion der geflogenen Entfernung ist, $ r $ . $ r = r_m $ ist der maximale Bereich der Ebene, in der der gesamte Kraftstoff verbraucht wurde (wenn $ m_f = 0 $ so dass $ m_p = m_ {p_e} $ ), Gleichung ~ $ \ eqref {6} $ wird zu \ begin {Gleichung} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ tag {7} \ label {7} \ end {Gleichung} Wir stellen die Ähnlichkeit dieses Ausdrucks mit der der Tsiolkovsky-Raketengleichung fest.

Gl. ~ $ \ eqref {7} $ kann für den maximalen Bereich $ r_m $ gelöst werden \ begin {Gleichung} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {Gleichung} ein erstaunlich einfaches Ergebnis, alles in allem! Dieses Ergebnis gilt weiterhin für jedes aerodynamische System, das seinen Auftrieb durch Vorwärtsbewegung durch die Luft erhält, die von einem Antriebssystem bereitgestellt wird, das Masse verbraucht, um Schub zu erzeugen. Es könnte auf eine Cessna 172 oder sogar auf ein funkgesteuertes (RC) Modell mit Stickstoffantrieb (172) angewendet werden. Es könnte nicht auf ein elektrisch (batteriebetriebenes) Modell der 172 angewendet werden, da es solche gibt Kein Massenverlust durch eine Batterie oder irgendeinen Segelflugzeugtyp (kein Schub oder Massenverlust). Und es kann jedoch auf jeden Flugvogel angewendet werden, einschließlich unseres Papageien!

Für den Papagei ist die Energiequelle das in seinem Körper gespeicherte Fett. Diese Masse wird durch Stoffwechselprozesse verbraucht, die sie in $ \ text {CO} _2 $ und Wasserdampf umwandeln, der während der Atmung ausgestoßen wird, sowie durch Schweiß und Urin wie der Papagei Fliegen (sozusagen der „Auspuff“ des Papageien!) Der Energiegehalt von Körperfett ( $ \ kappa $ wie in Gleichung ~ $ \ eqref {3} $ ) ist 9 (Lebensmittel) Kalorien pro Gramm. Eine Lebensmittelkalorie entspricht einer Kilokalorie, was wiederum 4184 Joule in SI-Einheiten entspricht, siehe Wikipedia Artikel Nahrungsenergie .

Die Effizienz der Umwandlung gespeicherter Energie im menschlichen Körper in mechanische Arbeit wurde auf $ 18 \% $ – $ 26 \% $ (siehe Wikipedia-Seite Muskel ). Man würde ähnliche Zahlen für andere warmblütige Wirbeltiere erwarten, so dass wir für eine signifikante Zahl $ \ eta = 20 \% = 0,2 $ (eine dimensionslose Menge).

Es scheint einen sehr breiten Bereich für den Prozentsatz der Körpermasse zu geben, der fett ist. Einige Zugvögel haben bis zu $ 70 \% $ (siehe Übergewichtige Supersportler: Fettgetriebene Migration bei Vögeln und Fledermäusen Der Papagei wird jedoch im Allgemeinen nicht als Zugvogel betrachtet. Die Webseite Der Vergleich der Flugkilometer für verschiedene wilde Papageienarten gibt eine Migrationsentfernung von 320 an km zum Beispiel für Papageien mit dicker Rechnung. Daher ist die Zahl $ 70 \% $ wahrscheinlich viel zu groß. Im anderen Extrem gilt Hackfleisch als mager, wenn es $ 10 \% $ Fett, aber im Allgemeinen ist es näher an $ 20 \% $ . Wir werden einen Wert auswählen Etwas unterhalb des Medians dieser Extreme sagen wir $ 35 \% $ .

Eine typische Masse für einen Papagei ist eine weitere schwer zu ermittelnde Zahl ist ein sehr großer Unterschied in der Körpermasse für die verschiedenen Mitglieder der Papageienfamilie. Die Webseite Durchschnittliche Vogelgewichte der häufigsten Papageienarten enthält Daten für 52 Papageienarten mit Links zu vier anderen Arten mit jeweils mehreren Einträgen. Diese variieren von 10 Gramm für den Zebrafink bis zu 1530 Gramm für den Grünflügelara, der einen Massenbereich von über zwei Größenordnungen abdeckt! Fazit: Es gibt keinen „typischen“ Papagei! Wir werden den Dickschnabelpapagei wählen, da wir einige Ferndaten haben, mit denen wir unser Ergebnis vergleichen können. Die Wikipedia-Seite Dickschnabelpapagei gibt ihren Massenbereich als 315-370 Gramm an, wir werden 370 Gramm verwenden, damit $ m_ {p_0} = 0,37 \, \ text {kg} $ , $ 35 \% $ davon gilt als Kraftstoff, so dass $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ belässt die „leere Masse“ des Papageien bei $ m_ {p_e} = 0,24 \, \ text {kg} $ .

Wir müssen noch einen Parameter schätzen, nämlich den Gleitneigungswinkel $ \ alpha $ , mit dem der Auftrieb ermittelt wird Widerstandsverhältnis oben. Betrachten Sie die Größenordnungsschätzungen von $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ ca. 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0.1 \, \ text {radian} \ ca. 6 ^ o $ oder $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0,01 \, \ text {radian} \ ca. 0,6 ^ o $ . $ 60 ^ o $ ist eindeutig auch viel steil und $ 0.6 ^ o $ ist viel zu flach, so dass $ 6 ^ o $ die einzig akzeptable Reihenfolge von ist Wahl der Größe, daher setzen wir $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ Bogenmaß, eine Zahl, die für die meisten Flugvögel gültig ist.

Wiederholen Gl. ~ $ \ eqref {8} $ oben, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right) $$ und Ersetzen der Werte des Papageien von oben (einschließlich Einheitenumrechnungsfaktoren)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ right) \ left (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ right) \ right ] \ left (0.2 \ right)} {\ left (\ frac {9.8 \, \ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right) \ left (\ tan \ left (0.1 \ right) \ rechts)} \ ln \ left (\ frac {0.37 \, \ text {kg}} {0.24 \, \ text {kg}} \ right) \ ca. 370 \ text {km} $$

finden wir die Antwort auf die Frage: „Wie weit kann ein Papagei an einem einzigen Tag [unter Strom] fliegen?“

$$ \ boxed {r_m \ ca. 370 \, \ text {km}} $$

a Anzahl, die in enger Übereinstimmung mit den (begrenzten) verfügbaren Daten steht, die eine tatsächliche (vs maximale ) tägliche Migrationsreichweite von 320 km ergaben.

Es Es ist interessant festzustellen, dass diese maximale Reichweite für Motorflug als minimale Reichweite angesehen werden kann, wenn Gleitflug enthalten ist. Unter idealen Wetterbedingungen Die tatsächliche maximale Reichweite könnte erheblich erweitert werden, wenn der Papagei von der verfügbaren Thermik profitieren würde, auf die er während seines Fluges gestoßen ist.