Es gibt bereits eine Frage wie diese hier , damit meine Frage berücksichtigt werden kann Duplikat, aber ich werde versuchen, klar zu machen, dass dies eine andere Frage ist.
Gibt es eine Möglichkeit, das Biot-Savart-Gesetz aus dem Lorentz-Kraftgesetz oder nur aus Maxwells Gleichungen abzuleiten?
Der Punkt ist, dass wir normalerweise basierend auf Experimenten definieren, dass die Kraft, die eine sich bewegende Ladung auf das Vorhandensein eines Magnetfelds ausübt, $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ times ist \ mathbf {B} $, aber in diesem Fall muss das Magnetfeld normalerweise später definiert werden.
Kann dieses Kraftgesetz nun auf irgendeine Weise verwendet werden, um das Biot-Savart-Gesetz zu erhalten, wie wir die Gleichung für das elektrische Feld direkt aus Coulombs Kraftgesetz erhalten?
Ich wollte wissen, dass, wie in der von mir erwähnten Frage ausgeführt, obwohl Maxwells Gleichungen als grundlegender angesehen werden können, diese Gleichungen erhalten werden, nachdem wir die Gesetze von Coulomb und Biot-Savart kennen, also wenn wir mit Maxwell beginnen s Gleichungen, um Biot-Savarts zu erhalten, die es verwenden, um Maxwells Gleichungen zu finden, dann werden wir wahrscheinlich in ein zirkuläres Argument geraten.
In diesem Fall, ohne auf Maxwells Gleichungen zurückzugreifen Der Weg, um das Gesetz von Biot-Savart zu erhalten, ist durch Beobachtungen oder kann es irgendwie abgeleitet werden?
Kommentare
- Weder Maxwell noch Biot-Savart sind grundlegend – Alle diese Formeln folgen aus Coulomb und einer gut gewählten Definition von $ B $, wie tangential in dieser kurzen Parole erwähnt.
- @ ChrisWhite, Maxwell ergeben sich nicht nur aus dem Coulomb-Gesetz, der speziellen Relativitätstheorie und den Definitionen. Zum Beispiel kann das Gaußsche Gesetz für die nicht geradlinige Bewegung von Ladungen nicht ohne weitere Annahmen abgeleitet werden.
- Ich denke, @Hans de Vries kann eine elegante Antwort liefern.
Antwort
$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ Das Biot-Savart-Gesetz ist eine Folge von Maxwells Gleichungen.
Wir nehmen an Maxwells Gleichungen und wählen Sie das Coulomb-Messgerät $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Dann $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Aber $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partiell \ VE} {\ partiell t} = \ mu_0 \ VJ. $$ Im stationären Zustand impliziert dies $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Wir haben also die Poisson-Gleichung für jede Komponente der obigen Gleichung. Die Lösung lautet $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr „)} {| \ vr- \ vr“ |} d ^ 3 r „. $$ Jetzt müssen wir nur noch $ \ VB = \ nabla \ times \ VA berechnen $. Aber $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr „)} {| \ vr- \ vr“ |} = \ frac {\ VJ (\ vr „) \ times (\ vr- \ vr“)} {| \ vr- \ vr „| ^ 3} $$ und so $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr“) \ times (\ vr- \ vr „)} {| \ vr- \ vr“ | ^ 3} d ^ 3 r „. $$ Dies ist das Biot-Savart-Gesetz für einen Draht endlicher Dicke. Für einen dünnen Draht reduziert sich dieser Wert auf $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr „)} {| \ vr- \ vr „| ^ 3}. $$
Nachtrag : In Mathematik und Naturwissenschaften ist es wichtig zu behalten Denken Sie an die Unterscheidung zwischen der historischen und der logischen Entwicklung eines Subjekts. Die Kenntnis der Geschichte eines Subjekts kann nützlich sein, um ein Gefühl für die beteiligten Persönlichkeiten zu bekommen und manchmal eine Intuition über das Subjekt zu entwickeln. Die logische Darstellung des Subjekts ist die Art und Weise, wie Praktiker darüber denken. Es fasst die Hauptideen auf vollständigste und einfachste Weise zusammen. Unter diesem Gesichtspunkt ist Elektromagnetismus das Studium von Maxwells Gleichungen und des Lorentz-Kraftgesetzes. Alles andere ist zweitrangig, einschließlich des Biot-Savart-Gesetzes.
Kommentare
- Aber wie ich ‚ es gesehen habe, Maxwell ‚ s Gleichungen werden aus dem Biot-Savart-Gesetz abgeleitet, das dieses Zirkular machen würde.
- @JLA: Ich ‚ habe etwas hinzugefügt Adressieren Sie die “ Zirkularität „, auf die Sie sich beziehen.
- @JLA, es ist nicht möglich, Maxwell ‚ s Gleichungen aus dem Biot Savart Gesetz. Was die Leute manchmal tun, ist, die Gleichungen von Maxwell ‚ aus dem Biot-Savart-Gesetz für einen bestimmten Fall wie stationäre Ströme abzuleiten und dann durch Worte auf alle Situationen zu verallgemeinern / li>
- Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden Differentialoperatoren auf $ {\ bf r} $ und nicht auf $ {\ bf r ‚} $, diese ‚ beschreibt, wie sie mit Integralen über $ {\ bf r ‚} $ ausgetauscht werden.
- @AG In der Tat macht es keinen Sinn, die Ableitung in Bezug auf $ {\ bf r ‚} $ zu nehmen.Wir haben $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ teilweise / \ teilweise x_i $, nicht $ \ sum \ hat e_i \ teilweise / \ teilweise x ‚ _i $ (für die ich würde $ \ nabla ‚ $ oder ähnliches schreiben).
Antwort
Es mag wahr sein, dass Menschen in früheren Tagen die Kraft gemessen haben, die aus einem Filamentstrom resultiert, das Biot-Savart-Gesetz entdeckt und diese dann wiederum als Inspiration verwendet haben, um Maxwells Gleichungen zu konstruieren. Wenn das so ist wie es tatsächlich historisch passiert ist, gut.
Aber dies ist analog zu einem außerirdischen Archäologen, der in 10 Millionen Jahren eine skelettartige Hand und einen skelettartigen Fuß in der Erde gefunden hat. Aus der Hand versteht der Archäologe, was das Tier, das diese Hand hatte, gerne damit machte: dass es Werkzeuge greifen und benutzen konnte und so weiter. Vom Fuß, dem Archäologen, wird klar, dass das Tier, zu dem es gehörte, auf zwei Beinen lief und dass es im Erwachsenenalter typischerweise etwa 100 bis 300 Pfund wog.
Erst später erkennt der Archäologe, dass die Hand und das Fuß beide gehörten demselben Tier – einem Menschen. Aber die Art der Arbeit bedeutet, dass das Rätsel, was ein Mensch war, in Stücke zerlegt werden muss, die individuell verstanden werden können, bevor das ganze Bild zusammenkommen kann. Das heißt, es wäre rückwärts zu behaupten, dass Hand und Fuß grundlegender sind als der Mensch selbst.
Die Maxwell-Gleichungen wurden so konstruiert, dass sie mit dem Biot-Savart-Gesetz und anderen Informationen übereinstimmen Sie können also Biot-Savart von Maxwell ableiten, aber nicht umgekehrt, denn Maxwell ist allgemeiner und umfassender.
Wenn Sie bereits wissen it dem Lorentz-Kraftgesetz können Sie die Stärke des Magnetfelds aus einem Draht ableiten, indem Sie geladene Testpartikel in der Nähe des Drahtes abschießen und deren Bewegung beobachten. Dies stellt jedoch in Frage, wie Sie das Lorentz-Kraftgesetz bereits kennen, und so weiter on.
Sie können den ganzen Tag im Kreis darüber fahren, was grundlegend ist oder nicht, was auf experimentellen Beobachtungen beruhen muss und was lediglich so konstruiert ist, dass es mit diesen Beobachtungen übereinstimmt, aber häufig gibt es eine Präferenz für „einfache“ experimentelle Beobachtungen, die als fundamentale vs. theoretische Konstrukte betrachtet werden t hat viele solcher Beobachtungen enthalten – siehe Chris Whites Kommentar, dass Maxwells Gleichungen aus Coulombs Gesetz und einigen anderen Dingen abgeleitet werden können.
Für mich ist das albern. Maxwells Gleichungen enthalten die Gesamtsumme unserer Beobachtungen (zumindest diejenigen, die zum klassischen Regime passen). Für mich ist es das, was wir über den klassischen Elektromagnetismus wissen. Zu sagen, dass Sie Maxwell ableiten können s Gleichung mit nur einem Ergebnis plus ein paar Annahmen … nun, es fehlt der Punkt, dass diese Annahmen auch zuerst getestet und verifiziert werden mussten. Für mich ist es sehr, sehr rückständig, Sonderfälle (rein elektrische, rein magnetische, statische oder dynamische Felder) herauszugreifen und sie als „grundlegend“ zu behandeln.
Bearbeiten: aber wirklich ein Physiker muss in beide Richtungen arbeiten. Um eine neue Theorie zu erstellen, haben wir oft Sonderfälle, von denen wir nicht wissen, dass sie miteinander verbunden sind und die wir miteinander verbinden müssen. Das baut Maxwells Gleichungen aus Coulombs Gesetz und Biot-Savart auf. Um ein bestimmtes Problem am einfachsten zu analysieren, für das wir uns nicht sicher sind, ob es eine Sonderfallformel gibt, müssen wir auf die allgemeinste Beschreibung (Maxwell) zurückgreifen und versuchen, sie auf etwas zu reduzieren, das einfacher und leichter zu lösen ist (in der Wenn keine Strom- und keine Zeitabhängigkeit vorliegt, können Sie zum Coulombschen Gesetz zurückkehren. Beide Ansätze sind erforderlich, um so flexibel wie möglich zu sein.
Antwort
Ausgehend von einem Experiment vom Typ Rowland Ring kann definiert werden Permeabilität als Maß für den Fluss, der in einer Volumeneinheit pro Amperewindung erzeugt wird. Wenn wir dann annehmen, dass sich dieser Fluss als inverses Quadratgesetz auflöst, erhalten wir das Biot-Savart-Gesetz als magisches Analogon des Coulombschen Gesetzes, wobei das Kreuzprodukt hinzugefügt wird, wobei die Rechtwinkligkeit der Feldrichtung berücksichtigt wird, und zwar streng nach dem Verständnis, dass Es ist eine Arbeitshypothese, die durch ihre Nützlichkeit bestätigt wird, da ein aktuelles Element nicht isoliert vom Rest seines Schaltkreises existieren kann. Mein Rat – Ignorieren Sie alle Versuchungen, mehr Mathematik als das erforderliche Minimum zu verwenden, das Sie zum Verständnis führen wird. Ich hoffe, dies hilft .
Antwort
Folgen Sie bitte dem folgenden Link. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot und bitte gehen Sie zur Überschrift „Arbeit“. Es heißt, dass das Gesetz im Jahr 1820 experimentell entdeckt wurde, dh 45 Jahre bevor die Maxwell-Gleichungen veröffentlicht wurden. Die allgemeine Formulierung zum Das Biot-Savart-Gesetz wurde von P. Laplace gegeben. Der Ausdruck des Biot-Savart-Gesetzes (die Integration) zeigt, dass der pri Ein Überlagerungsprinzip ist bereits darin enthalten.Maxwell-Gleichungen wurden später entwickelt und geeignet entworfen, um die Auswirkungen des Biot-Savart-Gesetzes zu erfassen. Vielleicht ist dies der Grund, warum wir Maxwells Gleichungen aus dem Biot-Savart-Gesetz ableiten können und umgekehrt. P. >
Bitte gehen Sie zu diesem Link https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force und gehen Sie zum Abschnitt „Verlauf“ Im Jahr 1881, dh 16 Jahre nach Veröffentlichung der Maxwell-Gleichungen, leitete Thomson zunächst eine Form des Lorentz-Kraftgesetzes aus Maxwell-Gleichungen ab. Schließlich wurde die moderne Form des Lorentz-Kraftgesetzes 1892 von Lorentz aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet.
Die historische Abfolge ist also wie folgt:
Biot-Savarts Gesetz ==> Maxwells Gleichungen ==> Lorentz-Kraftgesetz.
Aber in den Klassenzimmern sind wir in der folgenden Reihenfolge gelehrt:
Erstens: Das Lorentz-Kraftgesetz, um das Konzept einzuführen, dass das Magnetfeld Kraft auf eine sich bewegende Ladung ausübt.
Zweitens: Das Biot-Savart-Gesetz, um Stellen Sie das Konzept vor, dass sich Cha bewegt rges erzeugen ein Magnetfeld.
Drittens: Die Maxwell-Gleichungen; die Verallgemeinerung aller experimentellen Beobachtungen im Elektromagnetismus.
Die Schlussfolgerung lautet also:
(1) Das Biot-Savartsche Gesetz ist ein experimentell beobachtetes Gesetz. Dieses Gesetz schließt auch die Idee ein Dieses Überlagerungsprinzip gilt auch für die Magnetostatik. Dieses Gesetz bildete die Grundlage für die Magnetostatik.
(2) Maxwells Gleichungen wurden so abgeleitet, dass sie die Ergebnisse des Biot-Savartschen Gesetzes umfassen ( zusammen mit anderen experimentellen Beobachtungen des Elektromagnetismus). Es ist eine theoretische Verallgemeinerung. Maxwells Gleichungen sind grundlegender als jede andere experimentelle Beobachtung, da Experimente normalerweise unter bestimmten Umständen durchgeführt werden und daher keine verallgemeinerten Informationen liefern können.
(3) Das Lorentz-Kraftgesetz wurde jedoch aus Maxwells Gleichungen abgeleitet kann direkt experimentell verifiziert werden.
HINWEIS
„Beobachtung und dann Verallgemeinerung“: Ich denke, so wird die Physik entwickelt. Beobachtung (Experiment) bildet immer die Grundlage. Die Verallgemeinerung umfasst die Beobachtung und erweitert ihre Verwendbarkeit auf andere vorstellbare Konfigurationen, Fälle und Umstände. Daher ist es immer möglich, eine Verallgemeinerung aus der Beobachtung abzuleiten und umgekehrt [Das Biot-Savart-Gesetz kann aus Maxwell-Gleichungen und die Maxwell-Gleichungen aus dem Biot-Savart-Gesetz abgeleitet werden ] .
Hier wird betont, dass das Biot-Savartsche Gesetz die wichtige Beobachtung ist, mit der das Feld der Magnetostatik begonnen hat. Maxwell-Gleichungen (Verallgemeinerung) und das Konzept des Vektorpotentials (eine allgemeine Eigenschaft des Vektorfeldes) können verwendet werden das Gesetz von Biot-Savart abzuleiten, aber das bedeutet nicht, dass das Gesetz nur ein Zwischenschritt bei der Entwicklung von Wissen über Magnetostatik ist. Dass es möglich ist, Biot-Savarts Gesetz aus Maxwell-Gleichungen abzuleiten, und das Konzept des Vektorpotentials nur bestätigt, dass die Verallgemeinerung in Maxwell-Gleichungen korrekt ist.
Kommentare
- Aber das OP fragte nicht nach der historischen Reihenfolge der Ereignisse.
Antwort
Wir müssen uns die Zeitlinie (die Geschichte) ansehen. Das Biot-Savart-Gesetz wurde veröffentlicht vor der Veröffentlichung der Maxwell-Gleichungen. Es ist also das Gaußsche Gesetz für Magnetfelder (die zweite Maxwell-Gleichung), das vom Biot-Savart-Gesetz abgeleitet ist und nicht umgekehrt. Die Ableitung des Gaußschen Gesetzes für Magnetfelder (die zweite Maxwell-Gleichung) ) aus dem Biot-Savart-Gesetz kann hier gelesen werden Gaußsches Gesetz für Magnetfelder
Antwort
Das Problem mit dem Biot-Savartschen Gesetz ist, dass es theoretisch in Bezug auf den Strom formuliert ist Elemente $ Idl $ und dann integriert. In den meisten Lehrbüchern wird es jedoch auch für POINT-Gebühren formuliert, und zwar in Form von $ qv $ . Das Problem hierbei ist, dass sich das Magnetfeld in einer Punktladung $ q $ mit der Geschwindigkeit $ v $ bewegt Nahe gelegene Räume ÄNDERN sich mit der Zeit, dh wir haben einen $ \ frac {dB} {dt} $ , und dann finden Induktionseffekte statt und die magnetostatische Bedingung wird verletzt. Im Gegensatz dazu ist das Feld $ B $ konstant (magnetostatisch), wenn $ Idl $ entlang eines durchgehenden Drahtes integriert ist ). Die beiden Situationen sind sehr unterschiedlich und nach meinem besten Wissen wurde das Feld Punktladung $ B $ nie direkt gemessen. Die Kraft auf $ qv $ , ja, aber nicht das Feld, das von $ qv $ erzeugt wird. P. >