Wo wird der Atiyah-Singer-Indexsatz in der Physik verwendet?

Die Bewegungsgleichungen oder die Gleichungen von Instantonen oder Solitonen oder Einsteins Gleichungen oder fast alle Gleichungen in der Physik sind Differentialgleichungen. In vielen Fällen interessieren wir uns für den Raum der Lösungen einer Differentialgleichung. Wenn wir die gesamte (möglicherweise nichtlineare) interessierende Differentialgleichung als $ L (u) = 0 schreiben, können wir in der Nähe einer Lösung $ u_0 linearisieren , dh wir schreiben $ u = u_0 + v $ und Erweitern Sie $ L (u_0 + v) = 0 + L ‚ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $, um eine lineare Gleichung $ D zu konstruieren (v) = 0 $ in der Verschiebung $ v. $

Eine lineare Differentialgleichung ist wie eine Matrixgleichung. Denken Sie daran, dass eine $ n \ times m $ -Matrix $ M $ eine Abbildung von $ R ^ n $ auf $ R ^ m $ ist und $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ unabhängig von der jeweiligen Matrix (oder allgemeiner linearer Transformation). Diese Nummer wird als „Index“ bezeichnet. In unendlichen Dimensionen sind diese Zahlen im Allgemeinen nicht endlich, aber häufig (insbesondere für elliptische Differentialgleichungen) und hängen nur von bestimmten „globalen“ Informationen über die Räume ab, auf die sie wirken.

Der Indexsatz gibt an, wie der Index eines linearen Differentialoperators ($ D, $ oben) lautet. Sie können es verwenden, um die Dimension des Lösungsraums für die Gleichung $ L (u) = 0 zu berechnen. $ (Wenn der Lösungsraum eine Mannigfaltigkeit ist [eine andere Geschichte], ist die Dimension die Dimension des Tangentenraums, den die Gleichung $ D (v) = 0 $ beschreibt.) Er sagt Ihnen nicht , was der tatsächliche Raum der Lösungen ist. Das ist eine schwierige, nichtlineare Frage.

Kommentare

• Ich denke, ‚ ist eine schöne mathematische Antwort Für Physiker, die ‚ die Aussage des Indexsatzes noch nicht kennen. Aber ich sehe kein tatsächliches physikalisches Beispiel. Schade, ich bin sicher, dass Eric viele von ihnen kennen muss Ich weiß, dass die Leute es die ganze Zeit in der Stringtheorie verwenden. Aber ich ‚ weiß nicht genug, um eine eigene Antwort zu geben.
• Der Indexsatz lautet Sehr allgemein und gilt für alle Beispiele, die ich zitiert habe (Instantonen, Solitonen, Einsteins ‚ Gleichungen). Zum Beispiel der Modulraum von $ SU (2) $ Instantonen auf den vier -sphere $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ mit konstantem Verhalten im Unendlichen) mit der Instanton-Zahl $ k $ entspricht nach dem Indexsatz $ 8k – 3 $.
• Nun, Sie sagten “ fast alle Gleichungen in der Physik „, die in direktem Widerspruch zu meinem Alltag stehen Beobachtung 🙂 Was ich mir erhofft hatte, waren einige konkrete Beispiele wie die, die Steve gab. Oder so etwas wie Ihr Instanton-Beispiel (ich denke, Sie meinten aber $ S ^ 3 $?). Ich würde gerne mehr davon sehen, insbesondere im Zusammenhang mit einer physischen Interpretation. Vielen Dank im Voraus 🙂
• Es ist wahr, dass fast jede Gleichung in der Physik eine Differentialgleichung ist! Nicht alle führen jedoch zu Indexproblemen. (Ich meinte S ^ 4. Instantons sind zeitabhängige Feldkonfigurationen.) Ein Beispiel aus der Stringtheorie, deren Feynman-Diagramme zweidimensionale QFT-Amplituden sind. Diese 2d-Feldtheorie beschreibt Karten von einer Oberfläche zu einer Raumzeit, und die Instantonen dieser Theorie sind holomorphe Karten. Die Dimension des Raums solcher Karten wird durch eine Indexformel ermittelt. Für ein CY ist diese Dimension Null, was bedeutet, dass Sie Lösungen zählen können (dies hängt mit der topologischen Stringtheorie zusammen).
• +1 auf die nette Antwort und Erwähnung von Instantonen. Aber gibt es tatsächlich eine Anwendung auf die Einstein-Gleichung ‚? AFAIK Der Indexsatz ist auf lineare elliptische Operatoren anwendbar …

Eric und andere haben Gutes gegeben Antworten darauf, warum man erwartet, dass der Indexsatz in verschiedenen physikalischen Systemen entsteht. Eine der frühesten und wichtigsten Anwendungen ist die Auflösung des $ U (1) $ -Problems durch „t Hooft“. Dies bezieht sich auf das Fehlen eines neunten Pseudo-Goldstone-Bosons (wie die Pionen und Kaons) in QCD, das man naiv von einem Bruch der chiralen Symmetrie erwarten würde. Die Auflösung besteht aus zwei Teilen. Das erste ist die Tatsache, dass das chirale $ U (1) $ anomal ist. Das zweite ist die Erkenntnis, dass es Konfigurationen endlicher Wirkung (Instantonen) gibt, die zu Korrelationsfunktionen beitragen, die die Divergenz des axialen Stroms $ U (1) $ beinhalten. Die Analyse stützt sich stark auf den Indexsatz für den Dirac-Operator, der an das $ SU (3) $ -Messfeld von QCD gekoppelt ist. Für eine ausführlichere Erklärung siehe S. Colemans Erice-Vorlesungen Die Verwendung von Instantonen.“Es gibt auch wichtige Anwendungen für die S-Dualität von $ N = 4 $ SYM, die den Indexsatz für den Dirac-Operator für Monopolmodulräume beinhalten.

Kommentare

• Jeff, bleiben Sie auf dem Laufenden! Ich denke, Physics Stack Exchange könnte für die Physik-Community hilfreich sein, wenn es so weit verbreitet und klug wie Math Overflow eingesetzt wird – z. B. von Leuten wie Ihnen!
• Danke Eric. Ich nehme an, dass dies gerade neu gestartet wurde. Ich hoffe, es funktioniert. Es hat noch einige Wege vor sich, bevor es MO-Qualität hat.
• In der Tat. Ich denke, es gibt ‚ s ist jetzt eine Site in der Entwicklung (Theoretical Physics Stack Exchange), die eher dem Math Overflow ähneln soll, aber diese hat den Vorteil, dass sie noch vorhanden ist.

Lassen Sie mich zunächst erklären, worauf sich der betreffende Index bezieht Wenn die Mathematik zu voll mit Jargon wird, lass es mich in den Kommentaren wissen.

In der Physik interessieren wir uns oft für die Spektrum verschiedener Operatoren auf einigen Verteilern, die uns wichtig sind. Beispiel: der Dirac-Operator in 3 + 1 Raumzeit. Insbesondere die niederenergetische Langstreckenphysik ist in den Nullmoden (Grundzuständen) enthalten.

Nun, was der „Index“ misst, für den Dirac-Operator $ D $ und eine gegebene Mannigfaltigkeit $ M $: ist die Differenz zwischen der Anzahl der linkshändigen Nullmodi und der Anzahl der rechtshändigen Nullmodi. Technischer:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

wobei $ D $ ist der betreffende Betreiber; $ ker \, D $ ist der Kern von $ D $ – die Menge von Zuständen, die durch $ D $ vernichtet werden; und $ ker \, D ^ {+} $ ist der Kern seines Adjunkts. Wie Sie sehen können, zählt $ ind \, D $ dann den Unterschied zwischen den Dimensionen dieser beiden Räume. Diese Zahl hängt nur von der Topologie von $ M $ ab.

Kurz gesagt, das ASI-Theorem bezieht die Topologie eines Verteilers $ M $ auf die Nullmodi oder Grundzustände eines Differentialoperators $ D $, auf den einwirkt $ M $. Dies sind offensichtlich Informationen, die für Physiker relevant sind.

Vielleicht kann jemand anderes mehr auf die physikalischen Aspekte eingehen.

Die beste Referenz für dieses und andere mathematische Physik-Themen ist meiner Meinung nach Nakahara .

Im Fall von a Dirac-Operator, der Index ist die (vorzeichenbehaftete) Überdimension des Raums der Vakuummoden einer Chiralität w / r / t der anderen: dh die Anzahl anomaler „Geister“ -Zustände in einer chiralen Feldtheorie.

Anomalien entstehen, wenn die Korrespondenz zwischen klassischer und Quantensymmetrie unter Renormierung zusammenbricht (eine globale Anomalie könnte für die Quarkmasse in QCD verantwortlich sein; das Auflösen der lokalen chiralen Anomalie in der SM berücksichtigt Quarks und Leptonen; das Auflösen in der Superstringtheorie fixiert das Messgerät Gruppe [entweder zu SO (32) oder E8 x E8], und die Auflösung einer konformen Anomalie legt die Dimension der Raumzeit und den Fermionengehalt fest). Wenn man versucht, die Stringtheorie in tatsächliche Physik umzuwandeln, fragt man

• Kann sie drei Generationen chiraler Fermionen erklären?
• Kann es die experimentellen Ergebnisse zum Protonenzerfall erklären?
• Kann es die Kleinheit der Elektronenmasse erklären?
• Kann es [Dinge über die kosmologische Konstante] erklären?

und AST hilft bei der Beantwortung dieser Fragen.