El sistema de dos cuerpos se puede analizar de manera más simple usando masa reducida, ya que el problema básicamente se reduce a un solo cuerpo. La primera aproximación se puede obtener asumiendo que, m1 >> m2, como un planeta que orbita la estrella, porque el centro de gravedad coincide con m1. Por tanto, se puede suponer que el cuerpo pesado está en reposo y el más ligero se mueve a su alrededor.
Derivación: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {ser una masa y posición del cuerpo masivo y} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {el más claro.} $$
$$ \ text {Se supone que} \, m_1 > > m_2 \, \ text {La fuerza entre las masas (gravedad) depende de los vectores de diferencia de posiciones}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {donde}: $$
$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {es la fuerza en el cuerpo 1 debido al cuerpo 2} $$ En nuestra aproximación asumimos que la masa pesada está en reposo en origen. Por lo tanto: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ Y la ecuación de movimiento se convierte en: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ que puede resolverse para obtener la posición.
Para obtener el movimiento «verdadero», resulta que nuestra aproximación puede hacerse exacta considerando el centro de masa (CM) (que es una masa promedio ponderado de las posiciones de dos masas en este caso) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Lo haremos cantidad de llamadas} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {masa reducida} $$ $$ \ text {Así}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Se puede demostrar fácilmente que la fuerza externa neta en el sistema es igual a la masa total multiplicada por la aceleración del centro de masa. Si no está convencido, he escrito antes de dicha derivación en este POST
Dado que se supone que no hay fuerzas externas presentes (la fuerza de gravedad entre masas «cuenta» como interna), el centro de masa se mueve a velocidad constante. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ includes \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Sea CM el origen de un sistema de coordenadas inercial. Por lo tanto, la posición de las dos masas viene dada por: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ means \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implica \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Desde}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {obtenemos:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implica \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ implica \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento son}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W que es nuestra ecuación obtenida previamente en nuestra aproximación con masa reducida. Tenga en cuenta que si m1 >> m2 la masa reducida es casi igual que m2.
Este sistema de movimiento de dos cuerpos consiste en su CM y el movimiento a su alrededor. El movimiento a su alrededor se puede describir en términos de una sola masa reducida que se mueve alrededor de un centro fijo.