Diferencia entre números enteros y números decimales

«Contar» (lo que lleva a contar números) Es un caso especial (con ambigüedades) de «medir», donde el papel de «la medida / unidad» es más visible. Obviamente (creo que) la unidad natural implícita en situaciones de «conteo» es alguna unidad atómica relevante (como «persona operativa completa», en lugar de una parte más pequeña no tan funcional de una persona).

Es decir, contar implícitamente las medidas con la unidad de la medida más pequeña / atómica factible / operativa (a menudo tan universalmente implícita que está más allá de toda discusión).

Un análogo más elegante surge cuando los estudiantes universitarios más avanzados se exponen por primera vez a la idea de que las sumas infinitas (también conocidas como «series») caen bajo el paraguas de las «integrales», pero con «medida de conteo» … y que los conjuntos discretos tienen al menos una medida de Borel positiva regular natural, a saber, la medida de conteo / p>

Comentarios

• 1. Eso es a lo que me refería en mi oración inicial y, por supuesto, estoy de acuerdo. y me gusta el matiz particular que le estás dando. 2. Pero, ¿cómo respondes a los estudiantes principiantes que preguntan » por qué ‘ no digamos 0.04 DekaPeople ya que podemos decir 0.04 KiloPeople? De alguna manera, que 0.04 DekaPeople = 0.4 People y 0.04 KiloPeople = 40 People no ayuda: su punto de vista es que una vez que operamos en el sistema métrico decimal, no deberíamos recurrir a consideraciones ajenas y las cosas no deberían depender de si » denominador » es Personas o litros de leche .
• @schremmer, yo ‘ diría que sin » recurrir a consideraciones externas » la aritmética todavía tiene sentido, claro, pero la relevancia / aplicabilidad a veces puede verse afectada. El contexto importa.
• Por supuesto, el contexto es esencial, como sucede la mayor parte del tiempo. Estos, sin embargo, son los llamados estudiantes de desarrollo y es muy difícil tener en cuenta la lógica.Pero luego, una vez que comienzan, naturalmente, se obsesionan con cosas como esa. Intento decirles que siempre podrán distinguir por el » denominador «, con el que están de acuerdo, pero aún así insisten que » debería haber una regla » independiente de si estamos hablando de personas de litros de leche. Eso es lo que ‘ no sé cómo responder.
• @schremmer, puede decirles que no todo (incluso en matemáticas) se puede reducir a un lista de reglas inequívocas. Me doy cuenta de que hay varias situaciones de desarrollo, pero, aun así, trato de asegurarles a los estudiantes de todos los niveles que no deben suspender su propio juicio crítico … pero / y que tienen la responsabilidad de usarlo , en lugar de simplemente usar pensamiento mágico o invocar » inexplicables reglas «.
• Mi respuesta a una pregunta como » ¿Por qué ‘ decimos 0.04 DekaPeople [0.4 personas] » es que ciertamente podemos decir algo así. P.ej. Pregunta: ¿Cuál es la densidad de población en las Islas Malvinas por kilómetro cuadrado? Respuesta: 0,26 personas. enlace

¿Por qué» no podemos decir » 0,04 personas » si podemos decir » 0.04 KiloPeople «?

Algunas cantidades (p. Ej., Personas) son cantidades discretas y algunas (por ejemplo, metros, dólares) son cantidades continuas.

La siguiente discusión es de aquí . (He enfatizado las palabras » número natural » y » decimal. «)

Clasificación de cantidades

Una cantidad es discreta o continua . Una cantidad discreta es la magnitud de un conjunto contable (uno cuyos elementos están «mutuamente separados e individualmente distintos»). Su valor numérico es un número natural (“la división en una cantidad menor que una unidad no puede considerarse”) y su unidad es claro al principio. Un ejemplo de una cantidad discreta es «tres niños».

Una cantidad continua es la magnitud de un «continuo» («una entidad continua que se puede dividir en cualquier número de partes más pequeñas» de modo que «cualquier dos de estas entidades pueden combinarse en una más grande ”). Su valor numérico (un decimal o una fracción) y su unidad “no se han determinado a priori . » Un ejemplo de una cantidad continua es «tres dólares».

Una cantidad continua es extensa o intensiva . El primero expresa amplitud o magnitud (como área o peso); este último expresa calidad o intensidad (como densidad o velocidad). Una cantidad extensa tiene aditividad: el atributo de la unión de dos cuerpos es igual a la suma de los atributos de los dos cuerpos. Una cantidad intensiva no tiene aditividad. Por ejemplo, el peso de dos cuerpos es necesariamente la suma de sus pesos, pero la velocidad de dos cuerpos no es necesariamente la suma de sus velocidades.

El texto está escrito para educadores de matemáticas, pero se puede reformular para que los principiantes lo entiendan más fácilmente.)

Mi respuesta original (incluida aquí para el contexto) que señaló el OP no abordó la pregunta prevista:

Algunas cantidades, como, por ejemplo, $ 1/3 $ litro, tienen representaciones decimales ( $ 0. \ overline {3} $ litros) pero no representaciones de números enteros.

Comentarios

• ¿Qué tiene esto que ver con mi pregunta?
• Su pregunta era » ¿Dónde traza la línea entre entero y decimal y cómo se lo explica a los estudiantes principiantes que quieren entender ? » I Te propongo que dibujes la línea cuando la representación decimal no termina y que este ejemplo debe ser claro para los » principiantes » muy crudos. .
• @Los principiantes muy crudos con los que estoy tratando no tienen idea de lo que puede representar un decimal, y mucho menos de una representación decimal que no termina. Además, 1/3 litro de leche es 1 , que es un número entero que numera las cosas _ denominadas_ por de las cuales se necesitan 3 para hacer un litro de leche , así que aquí está la representación del número entero.En cualquier caso, eso tiene poco que ver con la pregunta original.
• Entonces, ¿qué tal $ \ sqrt {2} $ metros, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con cada cateto de longitud $ 1 $ ¿metro? ¿Estaría de acuerdo en que tiene una representación decimal pero no una representación de números enteros?
• Por supuesto, pero ¿qué tiene que ver con la pregunta original? Sigues respondiendo una pregunta que nunca hice . La pregunta que hice cambia: ¿Por qué ‘ t decimos » 0,04 personas » ya que podemos decir » 0.04 KiloPeople «?

Creo que la confusión es en gran parte consecuencia del hecho de que muchas personas encuentran los prefijos del sistema métrico ( kilo- , centi- , etc.) desconocidos, y encontrar decimales (incluso los terminales) menos intuitivos que las «fracciones vulgares» que representan.

Si alguien me preguntara «¿Cómo es posible que 0.004 Kilómetros, un número decimal, lo mismo que 4 metros, un número entero «? (como el OP menciona en los comentarios debajo de su pregunta), respondería con algo como esto:

¿También le molesta el hecho de que $ 1 / ¿2 $ una docena de huevos, una fracción, es lo mismo que 6 huevos, un número entero?

Lo que vendría después depende de la respuesta del interrogador. . Pero supongamos que responden con algo como: «Está bien, supongo que lo entiendo. Pero, ¿por qué puedo decir» 0,04 kilopersonas «pero no puedo decir» 0,04 personas «?» En ese caso, respondería con :

¿También le molesta el hecho de que puede hervir media docena de huevos, pero no puede hervir medio huevo?

El objetivo de estas respuestas, para ser claros, no es cerrar la conversación con un zinger, sino más bien sacar a la superficie cuáles son los problemas subyacentes: » 1 kilopersonas «significa lo mismo que» 1000 personas «, y puedes tener la mitad de mil personas de la misma manera que puedes tener la mitad de una docena huevos. Por otro lado, no puede tener $ 1/7 $ de mil personas, exactamente de la misma manera que no puede tener $ 1/7 $ de una docena de huevos.

Comentarios

• Mi problema con una pregunta como » ¿Por qué ‘ Si decimos ‘ 0.04 personas ‘ «, ¿es que Me parece que ciertamente podemos decir eso. Por ejemplo, podría ser la densidad de población por kilómetro cuadrado en una determinada región. De hecho: 0,04 personas en realidad es exactamente la densidad de población (por km ^ 2) en las islas Svalbard y Jan Mayen de Noruega. enlace .
• @mweiss Los estudiantes de desarrollo que comienzan a hacer preguntas no les gusta que se les responda con una pregunta. Descartarían a tu » ¿También te molesta … » como » profesor? truco «. Más adelante, en la discusión, por supuesto, no tendrían objeciones a su línea de razonamiento y de hecho la aceptarían. Sin embargo, de lo que creo que se trata realmente su pregunta, como le comenté a Paul Garrett, es: » una vez que operemos en el sistema métrico decimal, no deberíamos recurrir a consideraciones ajenas y las cosas no deberían depender de si el » denominador » es Personas o litros de leche. »