¿Dónde se usa el teorema del índice de Atiyah-Singer en física?

Las ecuaciones de movimiento, o las ecuaciones de instantones, o solitones, o las ecuaciones de Einstein, o casi cualquier ecuación en física, son ecuaciones diferenciales. En muchos casos, nos interesa el espacio de soluciones de una ecuación diferencial. Si escribimos la ecuación diferencial total (posiblemente no lineal) de interés como $ L (u) = 0, $ podemos linealizar cerca de una solución $ u_0, $ es decir, escribir $ u = u_0 + v $ y expanda $ L (u_0 + v) = 0 + L ‘ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ para construir una ecuación lineal $ D (v) = 0 $ en el desplazamiento $ v. $

Una ecuación diferencial lineal es como una ecuación matricial. Recuerde que una matriz $ n \ times m $ $ M $ es un mapa de $ R ^ n $ a $ R ^ m $, y $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ independiente de la matriz particular (o transformación lineal, más generalmente). Este número se llama «índice». En dimensiones infinitas, estos números no son generalmente finitos, pero a menudo (especialmente para ecuaciones diferenciales elípticas) lo son y dependen solo de cierta información «global» sobre los espacios en los que actúan.

El teorema del índice le dice cuál es el índice de un operador diferencial lineal ($ D, $ arriba). Puedes usarlo para calcular la dimensión del espacio de soluciones a la ecuación $ L (u) = 0. $ (Cuando el espacio de la solución es una variedad [otra historia], la dimensión es la dimensión del espacio tangente, que describe la ecuación $ D (v) = 0 $.) no le dice cuál es el espacio real de soluciones. Esa «es una pregunta difícil y no lineal.

Comentarios

• Supongo que ‘ una buena respuesta matemática para los físicos que ‘ no conocen ya el enunciado del teorema del índice. Pero no veo ningún ejemplo físico real. Lo cual es una pena, estoy seguro de que Eric debe conocer muchos de ellos. . Sé que la gente lo usa en la teoría de cuerdas todo el tiempo. Pero yo ‘ no sé lo suficiente para dar una respuesta propia.
• El teorema del índice es muy general y se aplica a todos los ejemplos que he citado (instantones, solitones, ecuaciones de ‘ de Einstein). Por ejemplo, el espacio de módulos de $ SU (2) $ instantones en los cuatro -esfera $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ con comportamiento constante en el infinito) con número instanton $ k $ es igual a $ 8k – 3 $ según el teorema del índice.
• Bueno, dijiste » casi cualquier ecuación en física » que está en contradicción directa con mi rutina diaria observación 🙂 Lo que esperaba eran algunos ejemplos concretos como los que dio Steve. O algo como su ejemplo instanton (aunque creo que se refería a $ S ^ 3 $). Me encantaría ver más de estos, especialmente relacionados con alguna interpretación física. Gracias de antemano 🙂
• Es es cierto que casi cualquier ecuación en física es una ecuación diferencial. Sin embargo, no todos conducen a problemas de índice. (Quise decir S ^ 4. Los instantones son configuraciones de campo dependientes del tiempo). Un ejemplo de la teoría de cuerdas, cuyos diagramas de Feynman son amplitudes QFT bidimensionales. Esa teoría del segundo campo describe mapas desde una superficie a un espacio-tiempo, y los instantes de esa teoría son mapas holomórficos. La dimensión del espacio de tales mapas se calcula mediante una fórmula de índice. Para un CY, esta dimensión es cero, lo que significa que puede contar soluciones (esto está relacionado con la teoría de cuerdas topológica).
• +1 en la buena respuesta y mención de instantons. Pero, ¿existe realmente una aplicación a la ecuación de Einstein ‘? AFAIK el teorema del índice es aplicable a los operadores elípticos lineales …

Eric y otros han dado buenos responde sobre por qué se espera que el teorema del índice surja en varios sistemas físicos. Una de las primeras y más importantes aplicaciones es la resolución de «t Hooft» del problema $ U (1) $. Esto se refiere a la falta de un noveno bosón pseudo-Goldstone (como los piones y Kaons) en QCD que uno esperaría ingenuamente de la ruptura de la simetría quiral. Hay dos partes en la resolución. El primero es el hecho de que el $ U (1) $ quiral es anómalo. El segundo es darse cuenta de que hay configuraciones de acción finita (instantanos) que contribuyen a las funciones de correlación que involucran la divergencia de la corriente axial $ U (1) $. El análisis se basa en gran medida en el teorema del índice para el operador de Dirac acoplado al campo de calibre $ SU (3) $ de QCD. Para una explicación más completa, consulte las conferencias de Erice de S. Coleman «Los usos de los instantones».»También hay aplicaciones importantes para la dualidad S de $ N = 4 $ SYM que involucran el teorema del índice para el operador de Dirac en espacios de módulos monopolares.

Comentarios

• Jeff, mantente en la línea. Creo que Physics Stack Exchange podría ser útil para la comunidad física si se usa tan ampliamente y con tanta sabiduría como Math Overflow, por ejemplo, ¡de personas como tú!
• Gracias Eric. Supongo que esto acaba de reiniciarse. Espero que funcione. Hay algunos caminos por recorrer antes de que sea calidad MO.
• De hecho. Creo que ‘ s ahora es un sitio en desarrollo (Theoretical Physics Stack Exchange) que tendrá como objetivo parecerse más a Math Overflow, pero este tiene la ventaja de estar existente.

Primero déjame explicarte a qué se refiere el index en cuestión. . Si las matemáticas se llenan de jerga, hágamelo saber en los comentarios.

En física, a menudo estamos interesados en espectro de varios operadores en algunas variedades que nos interesan. Por ejemplo: el operador de Dirac en el espacio-tiempo 3 + 1. En particular, la física de larga distancia de baja energía está contenida en los modos cero (estados fundamentales).

Ahora, lo que mide el «índice», para el operador de Dirac $ D $ y una variedad determinada $ M $ es la diferencia entre el número de modos cero para zurdos y el número de modos cero para diestros. Más técnicamente:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

donde $ D $ es el operador en cuestión; $ ker \, D $ es el kernel de $ D $ – el conjunto de estados que son aniquilados por $ D $; y $ ker \, D ^ {+} $ es el kernel de su adjunto. Entonces, como puede ver, $ ind \, D $ cuenta la diferencia entre las dimensionalidades de estos dos espacios. Este número depende solo de la topología de $ M $.

En resumen, el teorema de ASI relaciona la topología de una variedad $ M $ con los modos cero o estados fundamentales de un operador diferencial $ D $ que actúa sobre $ M $. Obviamente, esta es información de relevancia para los físicos.

Quizás alguien más pueda desarrollar más los aspectos físicos.

La mejor referencia para este y otros temas de física matemática, en mi opinión, es Nakahara .

En el caso de un Operador de Dirac, el índice es la dimensión en exceso (con signo) del espacio de modos de vacío de una quiralidad con / r / t la otra: es decir, el número de estados «fantasma» anómalos en una teoría de campo quiral.

Las anomalías surgen cuando la correspondencia de simetría clásica / cuántica se rompe bajo la renormalización (una anomalía global podría ser responsable de la masa de quarks en QCD; resolver la anomalía quiral local en las cuentas SM de quarks y leptones; resolverla en la teoría de supercuerdas corrige el indicador grupo [a SO (32) o E8 x E8], y la resolución de una anomalía conforme fija la dimensión del espacio-tiempo y el contenido de fermiones). Al intentar convertir la teoría de cuerdas en física real, uno se pregunta:

• ¿Puede explicar tres generaciones de fermiones quirales?
• ¿Puede explicar los resultados experimentales sobre la desintegración de protones?
• ¿Puede explicar la pequeñez de la masa del electrón?
• ¿Puede explicar [cosas sobre la constante cosmológica]?

y AST ayuda a responder estas preguntas.