A menudo oigo hablar de la teoría de cuerdas y su complicada estructura matemática como teoría física, pero no puedo decir que alguna vez haya visto alguna de las matemáticas relacionadas. En general, tengo curiosidad por saber cómo se ven las matemáticas de la teoría de cuerdas, ¿alguien puede señalarme algunas referencias? En concreto, quiero saber si hay una ecuación fundamental en la teoría de cuerdas que se asume como punto de partida para la mayoría de los problemas, ¿algo comparable a la segunda ley de Newton en mecánica o la ecuación de Schrodinger en QM?
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Hace mucho que me interesa esto, pero la impresión que tengo es (hablando como un aficionado estricto con una comprensión razonable de la QM y la relatividad) simplemente no hay nada como, por ejemplo, la ecuación de Schrodinger o la ecuación de campo de Einstein teoria de las cuerdas. La teoría de cuerdas se desarrolla escribiendo la acción (que es el área de la hoja del mundo de cuerdas), usándola para encontrar las ecuaciones (clásicas) de movimiento, tratando de encontrar una cuantificación consistente de estas (construyendo supersimetría en algún lugar del camino) luego resolviendo las ecuaciones resultantes imposiblemente complicadas y difíciles usando la teoría de la perturbación. La impresión que tengo (NB como un forastero) es que, debido a que es tan difícil, la gente lo ha atacado desde muchos ángulos diferentes de muchas maneras diferentes, por lo que lo que conocemos como teoría de cuerdas son en realidad muchos bits superpuestos en lugar de un monolito elegante como GR .
La mejor introducción no nerd que he leído es Teoría de cuerdas desmitificada de David McMahon. Si trabaja en esto, al menos puede tener una idea de cómo está todo armado, aunque todavía nos dejará a usted (¡ya mí!) Muy lejos de cualquiera que realmente trabaje en el campo. El enlace de Amazon que le he dado le permite leer capítulos seleccionados del libro y, en cualquier caso, es bastante barato de segunda mano.
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- La teoría de cuerdas se formula utilizando Feynman ' s suma sobre el formalismo histórico. La ecuación básica es solo la integral de ruta. Lo que dificulta las cadenas, en cierto sentido, es que no ' No entiendo muy bien qué variables deberíamos usar en esta integral de ruta.
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Lo que quiero decir aquí está relacionado con el comentario del usuario1504.
Como explica Lenny Susskind en this y this , cómo describir el comportamiento de dispersión de las partículas es casi la definición de la teoría de cuerdas. Por lo tanto, las fórmulas para dispersar amplitudes pueden considerarse de alguna manera como ecuaciones fundamentales que definen la teoría. Muy esquemáticamente, la ecuación para calcular la amplitud de dispersión $ A $ se puede escribir como
$$ A = \ int \ limits _ {\ rm {period}} d \ tau \ int \ limits _ {\ rm {superficies}} \ exp ^ {- iS} \ Delta X ^ {\ mu} (\ sigma, \ tau) $$
Considerando, por ejemplo, el proceso de dos cadenas que se unen y se vuelven a dividir, uno tiene para integrar en todas las hojas del mundo $ \ Delta X ^ {\ mu} (\ sigma, \ tau) $ que comienzan y terminan con dos cadenas distintas. Se debe realizar una segunda integral durante todos los períodos de tiempo posibles $ d \ tau $ que se unen las cadenas. La acción $ S $ puede, por ejemplo, estar dada por
$$ S = \ int d \ tau d \ sigma \ left [\ left (\ frac {\ partial X ^ {\ nu}} {\ parcial \ tau} \ derecha) ^ 2 – \ izquierda (\ frac {\ parcial X ^ {\ nu}} {\ parcial \ sigma} \ derecha) ^ 2 \ derecha] $$
La información sobre las partículas entrantes y salientes todavía falta en la primera ecuación y debe insertarse a mano incluyendo factores multiplicativos adicionales (operadores de vértice)
$$ \ prod \ limits_j e ^ {ik_ {j_ \ mu} X ^ {\ mu} (z_j)} $$
Estos factores representan una partícula con un vector de onda $ k $, y $ z $ es la ubicación de la inyección (por ejemplo, en el círculo unitario cuando transformando conformemente el problema al disco unitario) sobre el cual finalmente también debe integrarse.
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- Las partículas entrantes / salientes (operadores de vértice) son " introducidos a mano " pero, naturalmente, dada la correspondencia estado-operador.