Encontrar el radio de la órbita usando el modelo de Bohr y la ecuación de Rydberg

Para empezar, es un problema de tarea, bastante extenso.

Una partícula de masa igual a 208 veces la masa de un electrón se mueve en una órbita circular alrededor de un núcleo de carga $ + 3e $. Suponiendo que el modelo de Bohr del átomo es aplicable a este sistema,

  1. Derive una expresión para el radio de $ n $ ésima órbita de Bohr.
  2. Encuentre el valor de $ n $ para el cual el radio es igual al radio de la primera órbita del hidrógeno.
  3. Encuentre la longitud de onda de la radiación emitida cuando la partícula giratoria salta de la tercera órbita a la primera.

Ahora, hice la primera parte y obtuve la respuesta correcta. Esto es lo que hice.

Suponga que la masa de la partícula que gira es $ M $, su velocidad es $ v $ y $ M = 208 m_ {e} $. La fuerza electrostática es la fuerza centrípeta . Por lo tanto

$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$

Desde el modelo de Bohr,

$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$

donde $ h $ es la constante de Planck. Por lo tanto,

$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$

Cuadrándolo,

$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$

Igualando las dos ecuaciones que tienen $ v ^ 2 $ en ellas ,

$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$

Después de resolver $ r $, obtenemos algo como esto,

$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$

Todo lo anterior es correcto. El problema está en la segunda y tercera parte; cuando pongo $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ NO obtengo la respuesta requerida. Para abordar la tercera parte, comencé con la ecuación de Rydberg estándar,

$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$

Ingresé cada valor, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; pero nuevamente no obtuve la respuesta correcta.

La respuesta a la segunda parte es 25 $ (n = 25) $; y a la tercera es 55,2 picómetros.

Responder

Para responder a la segunda parte:

Sabemos $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .

La primera parte tiene un error, ya que

$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implica & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$

También conocemos el radio de Bohr:

$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$

Por lo tanto, podemos escribir y cancelar:

$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ por lo tanto & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ por lo tanto & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$

La tercera parte:

La fórmula de Rydberg se da como

$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$

con el Constante de Rydberg $ \ mathcal {R} $ definida para un fotón emitido por un electrón. Supondremos que la masa del núcleo es de 7 unidades atómicas (tres protones + cuatro neutrones). Teniendo en cuenta que $ m_p \ approx 1836m_e $ , llegamos a

$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$

Ahora la constante de Rydberg debe modificarse para incluir la masa de la partícula:

$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$

Con $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), llegué a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55.6 ~ \ mathrm {pm} $ .

Sin tener en cuenta la masa reducida, es decir, $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ llegué a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .

Ambos valores están razonablemente cerca de la solución dada.

(Si la pregunta era realmente sobre el muón, la relación de peso más precisa es 206,77 y las longitudes de onda correspondientes 55,1 pm y 56,0 pm).

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