Para empezar, es un problema de tarea, bastante extenso.
Una partícula de masa igual a 208 veces la masa de un electrón se mueve en una órbita circular alrededor de un núcleo de carga $ + 3e $. Suponiendo que el modelo de Bohr del átomo es aplicable a este sistema,
- Derive una expresión para el radio de $ n $ ésima órbita de Bohr.
- Encuentre el valor de $ n $ para el cual el radio es igual al radio de la primera órbita del hidrógeno.
- Encuentre la longitud de onda de la radiación emitida cuando la partícula giratoria salta de la tercera órbita a la primera.
Ahora, hice la primera parte y obtuve la respuesta correcta. Esto es lo que hice.
Suponga que la masa de la partícula que gira es $ M $, su velocidad es $ v $ y $ M = 208 m_ {e} $. La fuerza electrostática es la fuerza centrípeta . Por lo tanto
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Desde el modelo de Bohr,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
donde $ h $ es la constante de Planck. Por lo tanto,
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Cuadrándolo,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Igualando las dos ecuaciones que tienen $ v ^ 2 $ en ellas ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Después de resolver $ r $, obtenemos algo como esto,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Todo lo anterior es correcto. El problema está en la segunda y tercera parte; cuando pongo $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ NO obtengo la respuesta requerida. Para abordar la tercera parte, comencé con la ecuación de Rydberg estándar,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Ingresé cada valor, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; pero nuevamente no obtuve la respuesta correcta.
La respuesta a la segunda parte es 25 $ (n = 25) $; y a la tercera es 55,2 picómetros.
Responder
Para responder a la segunda parte:
Sabemos $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
La primera parte tiene un error, ya que
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implica & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
También conocemos el radio de Bohr:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Por lo tanto, podemos escribir y cancelar:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ por lo tanto & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ por lo tanto & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
La tercera parte:
La fórmula de Rydberg se da como
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
con el Constante de Rydberg $ \ mathcal {R} $ definida para un fotón emitido por un electrón. Supondremos que la masa del núcleo es de 7 unidades atómicas (tres protones + cuatro neutrones). Teniendo en cuenta que $ m_p \ approx 1836m_e $ , llegamos a
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Ahora la constante de Rydberg debe modificarse para incluir la masa de la partícula:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Con $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), llegué a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55.6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Sin tener en cuenta la masa reducida, es decir, $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ llegué a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Ambos valores están razonablemente cerca de la solución dada.
(Si la pregunta era realmente sobre el muón, la relación de peso más precisa es 206,77 y las longitudes de onda correspondientes 55,1 pm y 56,0 pm).