¿Es el dado de siete lados no cilíndrico de GameScience ' un dado equilibrado / justo?

El experimento real es difícil

Los dados vinculados en la pregunta están agotados, por lo que solo las personas que ya tienen muchos de estos dados y están dispuestos a realizar las pruebas estadísticas pueden dar la » true » respuesta. Sospecho que esa población es bastante pequeña. Sin embargo, creo que la literatura existente y un poco de deducción pueden dar una perspectiva teórica e histórica sobre la equidad de este d7.

Es posible tener un d7 justo en escenarios específicos

Primero, es definitivamente teóricamente posible tener un dado de siete lados. El dado como se muestra es un prisma pentagonal. Geométricamente, la equidad del dado se ve más fuertemente afectada por la relación de tamaño de las caras pentagonales a los lados rectangulares . He hecho una maqueta rápida de los dos extremos:

• Las caras son más grandes que los lados: Esto corresponde a la forma en el lado izquierdo. Este extremo favorece fuertemente las caras pentagonales – es básicamente una moneda, y es difícil imaginar que alguna vez aterrice en los bordes.

• Los lados son más grandes que las caras: Esto corresponde a la forma de la derecha . En este caso, el dado es más parecido a un lápiz y casi siempre caerá por los lados.

A medida que se ajusta suavemente la proporción de tamaño entre los lados y las caras, habrá un punto específico donde habrá un transición entre favorecer los lados y favorecer las caras. Esta intersección es el punto en el que el dado es justo. Por lo tanto, es posible tener un dado de 7 lados justo.

Sin embargo, esta proporción mágica m Puede que no sea el mismo para todas las condiciones. Esta respuesta en MathOverflow argumenta que para el dado no isoédrico, la equidad del resultado depende de cómo lo arroje. Asimismo, esta página aleatoria en Internet afirma que diferentes superficies pueden afectar el resultado de la tirada. Ninguna fuente proporciona evidencia sólida para sus afirmaciones, pero vale la pena considerar que el argumento del valor intermedio presentado anteriormente no prueba que un solo d7 pueda ser justo bajo todos los condiciones .

La patente de este d7 muestra que se probó su imparcialidad

Entonces, la pregunta es, ¿esos dados específicos tienen la geometría necesaria para ser justos? La página de descripción del producto a la que se vincula el OP contiene un número de patente: PAT de EE. UU. No. D-4,900,034. Este número corresponde a la patente » Piezas de juego de apuestas aleatorias y diseño y mesa de juego para usar con el mismo » presentado por Bernard Bereuter en 1988.Esta patente, entre otras cosas, describe la construcción y la equidad de este d7 en particular con fines de juego:

Usando piezas de juego formadas de plástico duro de un tipo como el que podría usarse para dados estándar, la experimentación ha demostrado que el aterrizaje aleatorio deseado de las piezas se logra si el pentágono regular de sección transversal encaja con precisión en un círculo de 1 pulgada de diámetro (lo que da como resultado bordes periféricos 3 de una longitud de 0,588 pulgadas) y la longitud del prisma es de 0,753 pulgadas, para piezas enrolladas sobre fieltro con respaldo de espuma estirado sobre una superficie horizontal dura.

…

A pieza de juego aleatoria que comprende un prisma no rectangular … que tiene marcas espaciadas uniformemente alrededor de su circunferencia, la longitud de dicho prisma es diferente a la longitud de un lado de la sección transversal del polígono regular y es igual a la longitud requerida para que la probabilidad de dicho prisma que aterriza en cualquiera de sus extremos es aproximadamente igual al a la probabilidad de aterrizar en cualquiera de sus caras laterales.

Por lo tanto, el Sr. Bereuter aparentemente ha realizado las pruebas empíricas necesarias para determinar la proporción de tamaño ideal para un dado de siete lados justo, al menos en una superficie en particular.

Desafortunadamente, porque Sus datos no son públicos y los dados no están disponibles actualmente, no podemos verificar o repetir sus resultados nosotros mismos. Ciertamente es posible que los dados comprados en ese sitio no sean justos también por otras razones. Aún así, el inventor de este d7 claramente puso un esfuerzo significativo en determinar las dimensiones necesarias para crear un dado justo.

Si GameScience siguió con precisión las dimensiones de la patente que citan, entonces su d7 probablemente sea lo suficientemente justo para los propósitos de los juegos de rol. Después de todo, la patente original pretendía que el dado se utilizara para juegos de apuestas y, en mi experiencia, los TTRPG son mucho menos sensibles a los dados injustos que los juegos de azar.

Comentarios

• Tengo una objeción con esta respuesta (lo siento por no respaldarlo con fuentes): la probabilidad de que un dado descanse sobre una cara depende (también) de cuán afilado / redondeado sea el borde, si el dado tiene suficiente impulso para rodar sobre este borde. Dado que el momento de inercia y la altura del centro de gravedad del dado son diferentes según el tipo de borde, la redondez nocturna también debe ser diferente. No ‘ veo esto en ninguna parte. Además, no ‘ no hice los cálculos si la diferencia es significativa para las diferentes caras, puede que no sea mucho.
• @mart que ‘ es cierto, y no tengo forma de abordar ese problema. Traté de mencionarlo cuando dije que podría haber otras razones por las que los dados no ‘ t justa. Para probar que ‘ no solo tienes que conseguir los dados reales, que están agotados, sino también un montón de dados que no ‘ t tienen bordes redondeados pero son idénticos.
• Me pregunto si alguien con una impresora 3D podría crear diferentes dados después de escanear una » regulación » muere. Luego jugando con los parámetros en los bordes.

No, no son justos a menos que ignore los lados

Hay algunos requisitos para que un dado sólido uniforme sea justo.

Los lados activos deben ser transitivos.

Los dados solo son justos si todos de los lados que se están utilizando tienen la misma probabilidad de aterrizar. Para que esto sea cierto, debe ser transitivo a la cara, lo que significa que todos los lados tienen la misma forma. Más específicamente …

Figura isoédrica

En geometría, un politopo de dimensión 3 (un poliedro) o superior es isoédrico o transitivo de caras cuando todas sus caras son iguales. Más específicamente, todas las caras no deben ser meramente congruentes sino transitivas, es decir, deben estar dentro de la misma órbita de simetría. En otras palabras, para cualquier cara A y B, debe haber una simetría de todo el sólido por rotaciones y reflexiones que mapee A sobre B. Por esta razón, los poliedros isoédricos convexos son las formas que harán dados justos.

Figura isotoxal

Los poliedros regulares son isoédricos (transitivos por caras), isogonales (transitivos por vértices) e isotoxales (transitivos por bordes).

Este dado de 7 caras no es ninguna de esas cosas. Pero lo es si ignoramos todos los resultados en los lados pentagonales.

Dicho de otra manera, dada una cara en el dado, debe haber una rotación (al menos una) que resulte en cada otra cara, borde, y el vértice se mapea en el mismo lugar que una cara, borde y vértice diferentes, respectivamente. Probémoslo en 2-d.

Esto hace un buen bidimensional morir. Al girar el triángulo 120 grados alrededor del centro, se asigna cada vértice y borde del triángulo a otro. Llevemos eso a 3 dimensiones, digamos un cubo. A d6. Todos estamos familiarizados. Un d6 es un dado justo porque existe al menos una rotación que da como resultado que cada cara, borde y vértice se mapee en la ubicación de uno diferente. Una de esas rotaciones, obviamente, sería una rotación que se puede representar por «90 grados en un eje y 90 grados en otro». O en ángulos de Euler , 90, 90, 0. O, si ayuda, cabeceo de 90 grados y guiñada de 90 grados. O cualquier combinación de cabeceo, guiñada y balanceo.

Todos los demás dados de feria tienen esta propiedad. Existe una rotación que mapea cada cara, arista y vértice de un d4 en una cara, arista y vértice diferente. Existe uno para un d20. De hecho, hay muchas rotaciones que hacen esto para estos dados justos. Pero no hay rotación que haga esto para un d7. Podrías girarlo 180 grados alrededor del eje «arriba» (sentado en 6 o 7), pero entonces el borde superior no se habría trasladado a la posición de otro borde. Podrías colocarlo plano en 6 y girarlo 72 grados, pero entonces las caras pentagonales no se habrían traducido a otra cara.

El centro de cada cara debe ser equidistante al centro de masa.

Cuando se trata de dados (justos), el el centro de masa está en el centro exacto del objeto. Esto significa que todas las caras están equidistantes de él. El resultado de esto es que, después de una tirada, todos los rostros tienen la misma oportunidad de aparecer. Sin embargo, si el centro de masa se mueve desde el centro geográfico del dado, entonces el eje de rotación cambia y el dado ya no es justo. fuente

Cambiar el centro de masa se conoce como ponderar el dado. A medida que el centro de masa se aleja del centro del dado, la cara efectivamente más clara se enrollará hacia arriba la mayoría de las veces.

Hacer dados justos ignorando caras

Los dados con un número impar de caras planas se pueden hacer como «dados largos». [ 26] Se basan en un conjunto infinito de prismas. Todas las caras (rectangulares) en las que pueden aterrizar son congruentes, por lo que son igualmente justas. (Los otros 2 lados del prisma están redondeados o cubiertos con una pirámide, diseñada para que el dado nunca descanse sobre esas caras) Fuente

Esa última oración es la parte más importante. Este dado de 7 caras es justo para los rangos 1-5, siempre que ignore las caras 6 y 7. Como leímos anteriormente, cualquier prisma puede ser justo siempre que los extremos estén «tapados» o ignorados ( ver Long Dice ). Por lo tanto, un d7 real estaría hecho de un prisma heptagonal . Entonces, ignorando los extremos, existe una rotación que mapea cada cara, vértice y borde en la ubicación de una cara, borde y vértice diferente. Volvamos al ejemplo anterior. Lo colocamos plano sobre el sexto borde y lo giramos 72 grados. ¡Voila! Cada una de las caras está ahora en la ubicación de donde solía estar una cara, cada borde está en el lugar donde estaba un borde diferente y cada vértice está en el lugar de un vértice diferente . Excepto por las tapas, que hemos ignorado.

Más recientemente, es posible que haya notado los dados de barril. Utilizan el mismo principio básico, excepto que sus lados son triángulos en lugar de rectángulos.

¿Por qué no funcionan las formas poco ortodoxas no simétricas?

El resultado de que el dado sea transitivo por las caras y tenga un centro de masa equidistante de los centros de las caras es que requiere la misma cantidad de fuerza en una dirección para darle la vuelta sin importar la cara que tenga aterrizado en. Cuando miramos hacia atrás en el d7, podemos adivinar fácilmente que aplicar fuerza para ir de la cara 1 a la cara 2 es la misma cantidad de fuerza que la cambiará de la cara 2 a la cara 3 mientras descansa sobre la mesa. Esto se debe al hecho de que los ángulos entre las caras son iguales y a que las caras son iguales en esos lados. Hay tanta superficie tocando la mesa cuando «1» está arriba como cuando «2» está arriba. Consideremos las caras 6 y 7.

Cuando la cara 6 está hacia arriba, la cara 7 está hacia abajo. Ahora hay una mayor superficie sobre la mesa. Además, el ángulo entre la cara 6 y cualquier otra cara que la toque es mayor (90 grados frente a 72 grados). Ambos significan que se requiere más fuerza para empujarlo hacia una de las otras caras.Entonces, cuando el dado está dando vueltas y la cara 6 o 7 golpea la mesa cerca del final de la caída y pierde algo de su velocidad y velocidad de rotación, es más probable que X cantidad de fuerza no dan como resultado que el dado caiga sobre esa cara para aterrizar en 1-5.

Comentarios

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