La función de transferencia del filtro de Bessel se define mediante polinomios de Bessel. Si consideramos, por ejemplo, un filtro de segundo orden, la función de transferencia es: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Quería construir una simulación para dicho filtro con una arquitectura Sallen-Key. Por lo tanto, consulté esta guía de diseño de TI. Definen la función de transferencia de un paso bajo de segundo orden como:
Ao es 1 ya que quiero que la ganancia sea la unidad. Miré la tabla a continuación para calcular correctamente los valores C y R.
Por lo tanto, la función de transferencia se convierte en: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Ejecuté la simulación y miré el diagrama de Bode. Mostró el resultado deseado (la frecuencia de corte de -3db fue la calculada).
Sin embargo, no entiendo por qué la función de transferencia se ve tan diferente. Definitivamente no es un polinomio de Bessel. Verifiqué la respuesta al escalón y observé un rebasamiento del 0,4% como cabría esperar de un filtro Bessel. Por lo tanto, tengo 3 preguntas:
- ¿Por qué la función de transferencia en la guía de diseño de ti no es un polinomio de bessel?
- ¿Debería la ubicación del polo de un filtro Bessel de segundo orden ¿Puede ser el mismo para cualquier filtro con una determinada frecuencia de corte?
- ¿Puede un paso bajo bessel de segundo orden tener un factor Q diferente de 0.5773?
¡Gracias!
Comentarios
- La constante en el denominador de la última ecuación H (s) debe ser » 1 » en lugar de » 3 «. Última pregunta: ¡NO !. Es solo el factor Q lo que determina la respuesta de Bessel.
- Tiene razón, fue un error tipográfico. Todavía no tiene mucho que ver con un polinomio de bessel.
- ¿Por qué no? Es una función de filtro típica con una respuesta de frecuencia llamada » Thomson-Bessel «. ¿Cual es tu problema? Por supuesto, la función de filtro no es idéntica a la » polinominal matemático de Bessel «.
- Yo no ‘ No entiendo por qué tiene esta definición matemática por un lado y una función de transferencia que es completamente diferente por el otro. ¿De dónde provienen estos coeficientes?
- Los coeficientes de los llamados filtros de Bessel se calculan sobre el requisito de un retardo de grupo máximo plano en la banda de paso (para compararlo con una amplitud máxima plana para los filetes Butterworth) . Se puede demostrar que durante el cálculo de los coeficientes utilizamos los polinominales de Bessel conocidos (este es un procedimiento bastante complicado), pero esto no significa que la magnitud de la función de transferencia tenga una respuesta que se parezca a las funciones de Bessel. Es, como se mencionó, el procedimiento matemático detrás del hallazgo de los coeficientes. ¿De acuerdo?
Responder
¿Cómo es que la transferencia La función en la guía de diseño de ti no es un polinomio de bessel.
Veamos la función de transferencia que ha escrito: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Reordenando: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
La ecuación ahora está en forma estándar: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
Y claramente \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ por lo tanto 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Este bit es importante porque es \ $ \ sqrt3 \ $.
Para un filtro de paso bajo de segundo orden de Bessel 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $, por tanto, zeta es 0,866.
En la imagen he manipulado R para darme una relación de amortiguación (zeta) de exactamente 1,732; mire el pico en el respuesta escalonada – 1,00433 voltios – exactamente adecuada para Bessel. Mire el retardo de fase trazado en el gráfico superior: máximo plano y gradualmente convirtiéndose en 90 grados en la frecuencia de resonancia natural. Fd (la frecuencia amortiguada) es precisamente 0.5 – también indicativo de Bessel.
¿Puede un paso bajo de Bessel de segundo orden tener un factor Q diferente de 0.5773?
0.5773 es el recíproco de \ $ \ sqrt3 \ $ y no tiene que ser esa Q para un LPF de Bessel.
Comentarios
- La razón por la que el polinomio es diferente es por la escala de frecuencia. Un Bessel sin escala (OP ‘ s primera fórmula) tendrá \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, con una atenuación de ~ -1.597dB @ 1Hz – nada inusual, Bessel normalmente es para retardo de grupo plano, no frecuencia – por lo que TI lo escaló para que ‘ sea el clásico -3dB.
- @aconcernedcitizen ¿por qué no convertir esto en una respuesta en lugar de fijarla a mi respuesta a menos que, por supuesto, estés señalando con demasiada sutileza un error en mi respuesta que ‘ soy demasiado estúpido para reconocer?
- Había escrito esto como un comentario para que la respuesta a la que estoy haciendo el comentario se pueda actualizar, si es necesario. Pero si dices que debería ser una respuesta, que así sea. No ‘ no sé de dónde viene el » estúpido «.
Respuesta
Un filtro de Bessel tiene, como muestra correctamente en su primera fórmula, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. No es inusual si piensa que, normalmente, se usa un filtro de Bessel por su retardo de grupo plano, en lugar de su comportamiento de frecuencia (como dice @LvW en su comentario). Pero implementar un filtro con esa función de transferencia dará un ~ Atenuación de 1.597dB@1Hz, que no hace que la respuesta sea clásica. Entonces, TI aplicó una escala de frecuencia para que la atenuación sea -3dB @ 1Hz. Da la casualidad de que la frecuencia al cuadrado (pulsación) es \ $ \ phi \ $ = 1.618 …, después de lo cual reorganizaron los términos para que se ajustaran a su topología opamp.