¿Hasta dónde pueden volar los loros sin necesidad de aterrizar?

Las aves de vuelo fueron la inspiración original para el diseño de una máquina que podía volar y llevar a una persona en alto, por lo que no es Es sorprendente que la aerodinámica del vuelo de las aves y los aviones tengan mucho en común. Específicamente, ambos consumen masa como fuente de energía para mantener el vuelo; combustible para aviones o gasolina en el caso de los aviones, y grasa corporal almacenada en las aves, y ambos tienen alas que proporcionan sustentación aerodinámica a medida que el aire se mueve sobre ellos durante el vuelo. Además, ambos comparten otra característica del vuelo, la capacidad de planear , para continuar el vuelo sin proporcionar nada de su propia energía para mantener ese vuelo. Esta energía es proporcionada por la atmósfera misma en forma de corrientes de aire ascendentes causadas por una diferencia de temperatura de un «bolsillo» local de aire; una bolsa de aire que es más caliente que el aire circundante se elevará porque tiene menor densidad, el Principio de Arquímedes en acción. Un proceso similar ocurre cuando una porción de aire húmedo está rodeada de aire seco a la misma temperatura que el aire húmedo, por lo tanto, es menos denso que el aire seco. La tercera fuente de aire ascendente se debe a la topografía local; el aire en el lado de barlovento de una cresta o montaña se fuerza hacia arriba y las aves lo utilizan con frecuencia como fuente de sustentación.

Cualquier discusión sobre vuelo en planeo inevitablemente involucrará algunos aspectos de la física atmosférica (también conocido como clima), no es diferente aquí. Como se dijo anteriormente, una porción de aire húmedo rodeada de aire (más) seco en la misma temperatura aumentará. Mientras esa temperatura esté por encima de la temperatura de saturación (el punto de rocío) para esa parcela de aire, el agua permanecerá en forma de vapor. Todos sabemos que a medida que subimos en la atmósfera, la temperatura desciende; hace más frío en la cima de una montaña que en su base. Por lo tanto, a medida que nuestra parcela de aire húmedo aumenta, su temperatura bajará y, finalmente, esa temperatura será la misma que el punto de rocío en esa parcela, lo que provocará la condensación de esa humedad, es decir, se formará una nube. Como una superficie de temperatura constante en la atmósfera es casi una superficie nivelada, vemos nubes en el cielo cuyas bases están todas al mismo nivel, el nivel donde comienza esta condensación. Ahora, un poco de termodinámica; cuando hervimos agua añadiéndole calor (que es energía), estamos convirtiendo el agua líquida en vapor (vapor).Aquí está la cosa, cuando enfriamos ese vapor hasta el punto de rocío, se condensará de nuevo en agua líquida, y al hacerlo, recuperamos el calor (que se puso para que hierva) de nuevo ! Ese calor recuperado se muestra como un aumento en la temperatura del aire que acaba de liberar el vapor de agua. Este aumento de temperatura hace que el aire continúe subiendo, ahora debido a una diferencia de temperatura con el aire circundante en lugar de una diferencia de presión de vapor de agua ; la nube continúa creciendo hacia arriba. Esta es la fuente de las nubes cumulonimbus que vemos en el cielo que eventualmente pueden formar tormentas eléctricas. Esta discusión resalta un Hecho clave sobre el clima que se relaciona directamente con nuestra discusión sobre el vuelo en planeo; si no hay corrientes ascendentes, no hay nubes. Eso es correcto, para que se forme una nube, debe haber corrientes ascendentes que contengan aire húmedo. . Sin nubes indica que no hay corrientes ascendentes. Si no hay corrientes ascendentes, no hay vuelo de planeo. Sin embargo, observamos que el aire realmente seco es muy difícil de encontrar; todavía puede haber térmicas alrededor, pero no es probable, y no muy fuertes. La conclusión de esta discusión es la siguiente: si queremos incluir aumentos en el alcance máximo que resultan del vuelo en planeo, debemos ser capaces de predecir el clima (que no ha sucedido todavía, y lo digo como alguien que ha pasado años como estudiante de pregrado y posgrado activo en investigación atmosférica). Por lo tanto, el vuelo sin motor de larga distancia no se abordará más aquí.

Comenzamos nuestro análisis del vuelo propulsado considerando un avión específico, digamos un avión de pasajeros Boeing 787. Para encontrar su alcance máximo, el avión se cargará completamente, despegará y volará una trayectoria de vuelo nivelada y de velocidad constante, como cualquier aceleración (al cambiar de altitud o ir más rápido) combustible. Cuando el tanque de combustible se seca, ha alcanzado el rango máximo de vuelo propulsado (suponiendo que no haya vientos en contra o en cola, por supuesto).

Desde un punto de vista analítico, el combustible que transporta el 787 es la fuente de energía, $ E_s $ , que alimenta su motores. Estos motores producen la fuerza de empuje, $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ dirigida horizontalmente, paralela al eje longitudinal del 787 «. y a la ruta de vuelo, que contrarresta el efecto de la fuerza de arrastre atmosférica, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ que se opone el movimiento del 787 a lo largo de su trayectoria de vuelo. En condiciones de vuelo constantes (velocidad y altitud constantes), las fuerzas horizontales netas en el 787 son cero, por lo que $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ o $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Tomando la magnitud de ambos lados de esta expresión, encontramos que $ D = T $ de modo que $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Encontramos que el empuje generado por los motores tiene la misma magnitud, pero dirigido en sentido opuesto a la resistencia atmosférica.

En las mismas condiciones de vuelo, encontramos una relación similar para las componentes verticales de la fuerza que actúan sobre el 787, su peso, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ se equilibra con la elevación $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ generado por las alas para que $ F_w = m_p g = L $ y $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ donde $ m_p $ es la masa instantánea (= masa de despegue del avión, $ m_ {p_0} $ , menos la masa de combustible gastada empuje de generación lejana) del 787 y $ g = 9.8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ es la aceleración gravitacional estándar en la superficie de la Tierra. Observamos aquí que, en estas condiciones de vuelo, tanto $ \ mathbf {L} $ y $ \ mathbf {F} _w $ son perpendiculares a $ \ mathbf {T} $ y $ \ mathbf {D} $ .

Si se elimina el empuje de modo que $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , la fuerza de arrastre no se opondrá más tiempo y ralentizará el avión, reduciendo la velocidad del aire que fluye sobre el ala, lo que a su vez hará que el ala genere menos sustentación, iniciando así el descenso del avión (su peso es mayor que la sustentación producida por el alas). Si el avión se inclina hacia abajo en un ángulo $ \ alpha $ desde la horizontal, la proyección del vector de peso del avión, $ \ mathbf {F} _w $ en el eje longitudinal del plano ya no será cero, sino que será $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ dirigido hacia adelante oponiéndose a la fuerza de arrastre.Si se elige $ \ alpha $ de modo que la suma de esta proyección y el vector de arrastre sea cero, entonces el avión descenderá a una velocidad constante y la magnitud del arrastre viene dado por $ D = F_w \ sin \ alpha $ . La proyección del vector de peso sobre el eje perpendicular al eje longitudinal del plano, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , está equilibrada por la igual magnitud pero vector de elevación dirigido de manera opuesta, cuya magnitud ahora se convierte en $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Si formamos la proporción $ D / L $ encontramos \ begin {ecuación} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {ecuación} La inversa de esta razón, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , se conoce en aerodinámica como la relación de elevación y arrastre mientras que el ángulo $ \ alpha $ se denomina ángulo de la pendiente de planeo . Estos dos parámetros son importantes en la caracterización general de la aerodinámica de un air-frame. Una vez que se conoce esta relación, se puede utilizar para estimar la arrastre en vuelo nivelado. Pero en vuelo nivelado, la elevación es igual en magnitud al peso del avión, $ L = F_w = m_p g $ . Sustituyendo esta expresión en la ecuación ~ $ \ eqref {1} $ y resolviendo para el arrastre \ begin {ecuación} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {ecuación}

Hemos llegado al punto en nuestros análisis de que necesitamos abordar el balance de masa / energía para el vuelo del avión. Será útil separar la masa del avión en su masa vacía (sin combustible), $ m_ {p_e} $ , y la masa de combustible disponible, $ m_f $ , con la masa inicial de despegue de combustible dada por $ m_ {f_0} $ . Con estas cantidades definidas, la masa inicial de despegue del avión viene dada por $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ mientras que la masa instantánea viene dada por $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . Durante el vuelo, la masa del combustible disponible, $ m_f $ , varía de manera que $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ mientras que la masa del avión, $ m_p $ , varía según $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Hay dos constantes adicionales necesarias para determinar la energía neta efectiva disponible para trabajar contra la fuerza de arrastre cuando se consume la cantidad (diferencial) $ \ delta m_f $ de combustible mientras vuela la distancia (diferencial) $ \ delta \ mathbf {r} $ . El primero de estos, $ \ kappa $ , determina la energía total (diferencial), $ \ delta E $ , disponible a partir de la combustión de la cantidad $ \ delta m_f $ de combustible \ begin {ecuación} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {ecuación} Para un avión estadounidense como el 787, $ \ kappa $ tendrá unidades algo así como BTU por libra de combustible gastado. El segundo, $ \ eta $ , especifica la eficiencia de convertir la energía disponible en trabajo real, $ \ delta W $ , generando un empuje que contrarresta la resistencia \ begin {ecuación} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ etiqueta {4} \ etiqueta {4} \ end {ecuación} donde $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ es un vector de desplazamiento diferencial a lo largo de la trayectoria de vuelo durante la velocidad constante, el movimiento horizontal y el signo menos El signo explica el hecho de que las reservas de energía del avión se consumen ya que esa energía se usa para contrarrestar la resistencia (un proceso fundamentalmente disipativo).

Dejar que el $ \ delta $ «s se convierten en derivados, dividiéndolos entre $ m_p $ y usando $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ y reemplazando las variables integradas por cantidades primarias,, Eq. ~ $ \ eqref {4} $ puede reescribirse en la forma integral \ begin {ecuación} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm «} {m_ {p_0} + m»} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr «\ tag {5} \ label {5} \ end {ecuación} con los límites de integración evaluados en el despegue y la posición actual del rango descendente una distancia $ r $ desde el despegue.

Realizando las integraciones indicadas en la Ec. ~ $ \ eqref {5} $ y simplificando, tenemos el resultado \ begin {ecuación} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ etiqueta {6} \ etiqueta {6} \ end {ecuación} Encontramos que la masa del avión, $ m_p $ , es una función exponencialmente decreciente de la distancia recorrida, $ r $ . Dejando que $ r = r_m $ sea el rango máximo de avión donde se ha gastado todo el combustible (cuando $ m_f = 0 $ para que $ m_p = m_ {p_e} $ ), Eq. ~ $ \ eqref {6} $ se convierte en \ begin {ecuación} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ etiqueta {7} \ etiqueta {7} \ end {ecuación} Observamos la similitud de esta expresión con la de la ecuación del cohete Tsiolkovsky .

Eq. ~ $ \ eqref {7} $ se puede resolver para el rango máximo $ r_m $ \ begin {ecuación} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {ecuación} ¡un resultado increíblemente simple, considerando todo! Este resultado sigue siendo válido para cualquier sistema aerodinámico que obtenga su sustentación a través del movimiento hacia adelante a través del aire proporcionado por un sistema de propulsión que consume masa para producir empuje. Podría aplicarse a un Cessna 172, o incluso a un modelo controlado por radio (RC) nitro de un 172. No podría no aplicarse a un modelo del 172 alimentado eléctricamente (con batería) porque hay sin pérdida de masa de una batería, o de cualquier tipo de planeador (sin pérdida de masa de empuje o ). Y, sin embargo, se puede aplicar a cualquier ave en vuelo, ¡incluido nuestro loro!

Para el loro, la fuente de energía es la grasa almacenada en su cuerpo. Esta masa se consume a través de procesos metabólicos que la convierten en $ \ text {CO} _2 $ y vapor de agua que se expulsa durante la respiración, y como sudor y orina como el loro. moscas (¡el loro «s» agota «por así decirlo!). El contenido energético de la grasa corporal ( $ \ kappa $ como se define en la Ec. ~ $ \ eqref {3} $ ) son 9 (alimentos) Calorías por gramo. Una caloría alimentaria es igual a una kilocaloría, que a su vez es igual a 4184 julios en unidades SI, consulte la Wikipedia artículo Energía alimentaria .

La eficiencia de convertir la energía almacenada en el cuerpo humano en trabajo mecánico se ha estimado en $ 18 \% $ – $ 26 \% $ (consulte la página de Wikipedia Muscle ). Uno esperaría números similares para otros vertebrados de sangre caliente, de modo que, a una cifra significativa, tomamos $ \ eta = 20 \% = 0.2 $ (una cantidad adimensional).

Parece haber un rango muy amplio para el porcentaje de masa corporal que es grasa. Algunas aves migratorias tienen hasta $ 70 \% $ (ver Superatletas obesos: migración alimentada por grasa en aves y murciélagos , sin embargo, el loro generalmente no se considera un ave migratoria. La página web La comparación de kilometraje de vuelo para varias especies de loros silvestres indica una distancia de migración de 320 km para loros de pico grueso, por ejemplo. Por lo tanto, el número $ 70 \% $ probablemente sea demasiado grande. En el otro extremo, la carne molida de res se considera magra si contiene $ 10 \% $ fat, pero en general está más cerca de $ 20 \% $ . Seleccionaremos un valor algo por debajo de la mediana de estos extremos, digamos $ 35 \% $ .

La masa típica de un loro es otro número difícil de determinar, ya que es una diferencia muy grande en la masa corporal de los distintos miembros de la familia de los loros. Por ejemplo, la página web Promedio de peso de las aves de las especies de loros comunes proporciona datos para 52 especies de loros con enlaces a otras cuatro especies, cada una con varias entradas. ¡Estos varían desde 10 gramos para el pinzón cebra hasta 1530 gramos para el guacamayo de alas verdes que cubren un rango de masa de más de dos órdenes de magnitud! Resultado: ¡no existe un loro «típico»! Elegiremos el loro de pico grueso ya que tenemos algunos datos de larga distancia para comparar nuestro resultado. La página de Wikipedia Loro de pico grueso da su rango de masa como 315-370 gramos, usaremos 370 gramos para que $ m_ {p_0} = 0.37 \, \ text {kg} $ , $ 35 \% $ del cual se considerará combustible, por lo que $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ dejando el loro «s» masa vacía «en $ m_ {p_e} = 0.24 \, \ text {kg} $ .

Tenemos un parámetro restante para estimar, que es el ángulo de la pendiente de planeo, $ \ alpha $ , que se usa para encontrar la elevación a relación de arrastre anterior. Considere el orden de magnitud estimado de $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ approx 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0.1 \, \ text {radian} \ approx 6 ^ o $ o $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0.01 \, \ text {radian} \ approx 0.6 ^ o $ . Claramente, $ 60 ^ o $ es demasiado steep y $ 0.6 ^ o $ es demasiado superficial, dejando $ 6 ^ o $ como el único orden aceptable de elección de magnitud, por lo tanto, establecemos $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ radianes, un número válido para la mayoría de las aves en vuelo.

Repetición Ec. ~ $ \ eqref {8} $ arriba, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right) $$ y sustituyendo los valores del loro de arriba (incluidos los factores de conversión de unidades)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ right) \ left (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ right) \ right ] \ left (0.2 \ right)} {\ left (\ frac {9.8 \, \ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right) \ left (\ tan \ left (0.1 \ right) \ derecha)} \ ln \ left (\ frac {0.37 \, \ text {kg}} {0.24 \, \ text {kg}} \ right) \ approx 370 \ text {km} $$

encontramos la respuesta a la pregunta, «¿Hasta dónde puede volar un loro [bajo energía] en un solo día?» para ser

$$ \ boxed {r_m \ approx 370 \, \ text {km}} $$

a número que está muy de acuerdo con los (limitados) datos disponibles que dieron un rango de migración diaria real (frente al máximo ) de 320 km.

Se Es interesante observar que este rango máximo para vuelos con motor se puede ver como el rango mínimo cuando se incluye el vuelo planeador . En condiciones climáticas ideales , el rango máximo real podría extenderse considerablemente si el loro aprovechara las térmicas disponibles que encontró durante su vuelo.