友人から数学教育についてのパワーポイントのスライドが提示され、彼のスライドの1つで「7つのベンチマークの数値」について話しました。彼は次のように述べています。
「完全な」数値センスを開発するための7つのベンチマーク数値は、$ 0、\ frac {1} {10}、\ fracです。 {1} {2}、1、10、12、$および$ 100 $。これらの数字は、初等中等教育における数学カリキュラムの基礎を形成しています。
残念ながら、そうするように迫られたとき、私の友人はこれらの理由を説明できませんでした数字は「ベンチマーク」でした。誰かが彼が何を指しているのか知っていますか、あるいはもっと良いことに、彼がこの情報をどこから得ているのか誰か知っていますか？
コメント
- なぜ
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あなたは彼に情報源を尋ねますか？奇妙なことに、彼は'説明できない'資料を提示しています。
回答
初等数学に関するまともなボリュームは小学校教師向けの数学です（Beckmann、2010年）。この本は、初等カリキュラム（特に改革カリキュラム）のアイデアの背後にある数学の教師の知識を強化するのに役立つことを目的としています。そのため、このようなことを確認するのに適した場所であることがよくあります。
分数を比較するコンテキストでベンチマーク（「ランドマーク」とも呼ばれます）が導入されます。学生がどの分数であるかを判断しようとしている場合より大きな$ \ frac {4} {9} $または$ \ frac {3} {5} $の場合、提案される1つの戦略は、学生が分数$ \ frac {1} {などの他の数値との関係について推論することです。 2} $：
$ \ frac {4} {9} $と$ \ frac {3} {5} $の両方を比較して比較した場合$ \ frac {1} {2} $の分数では、$ \ frac {1} {2} $をベンチマーク（またはランドマーク）として使用しました。分数$ \ frac {1} {2} $、$ \ frac {1} {4} $、$ \ frac {3} {4} $、$ \ frac {1} {3 } $、および$ 1 $は、ベンチマークとして使用するのに適しています。（p。73）
このテキストから、数値がいくらか任意であることは明らかです。 ;ベンチマーク数の明確なリストを意味するものではありません。学生は、比較に役立つ分数ベンチマークを選択します。
他の人が同じようにベンチマークを使用しているかどうかはわかりません（いくつかを簡単に見てください）。私が手の届く範囲にある他の本は用語を表示しません）。ただし、ここでの使用は明らかです：ベンチマーク数値は、問題について推論するのに役立つ数値です。この場合、ベンチマークは、分数を比較するための参照ポイントとして使用されます。
目的は、手順ではなく推論を促進することです。一部の学生にはアルゴリズムがあります。分数の比較に使用するように教えられています。これにより、数学的な推論をいくつかの記憶されたステップといくつかの算術に置き換えることができます。しかし、推論により、推測を練習し、答えの正当性を考え出すことができ、最終的には「これが手順で作成されたものです」以外の回答を擁護します。
推論に使用される有用な数をインクでベンチマークと呼ぶことができます。たとえば、別の質問（ここに表示）への回答で、減数を$ 2000 $に変換する学生の推論について書きました。その場合、$ 2000 $が役に立ちます。
ベンチマークの恩恵を受ける可能性のある別のタイプの数学的推論は、推定です。答えを単に球場にすることを目的としている場合は、数値を近くのベンチマークに置き換えることができます。これにより、計算が迅速になります（多くの実際のアプリケーションで非常に役立つ戦略です）。
要約すると、ベンチマークの明確なリストはサポートされていないと思います。ベックマン博士が提供するものは提案（「使いやすい」）ですが、実際のテストは、それらが数学的推論の最中に思想家に役立つかどうかです。
引用された作品：
Beckmann、S。（2010）。小学校教師のための数学。ニューヨーク：PearsonAddison-Wesley。
コメント
- 多分それ'私は怠け者ですが、子供の頃は、2つの分数を比較するために10進展開を計算するだけだと思います。I'この感情を反映する物理学の歴史を読んだことがあります… 10進数システムはニュートン'の思考の近似の側面にとって非常に重要でした…しかし、私は'専門家ではありません。
- @ JamesS.Cook It 'は怠惰ではありません。 tはあなたのスキルと手元のアプリケーションに適合します。もちろん、教室での作業には追加の学習目標があります。この場合、比較の理由に目を向けます（つまり、他の"トリック"メソッドとは対照的です）。好奇心から、子供の頃に分数と小数を比較していたとき、分数と小数の表現を結び付けた理由は何ですか？言い換えれば、小数表現が本当に同じ数であることをどのようにして非公式に証明したのですか？
- 思い出すと、それは議論の余地がありますが、それが標準的な意味だったと思います。たとえば、$ 1/4 = 0.2 + 0.05 $なので、$ 10,1,1 / 10、1 / 100 $ …の整数倍を足し合わせて小数を作成します。シリーズの必要性はずっと後になって初めて認識されました。子供の頃の私の目的には近似値で十分でした。'遊び場での収束について熟考したことを思い出せません。
- @JamesS .Cookつまり、ここでの"アトミック"の知識は、$ \ frac {1} {10} = 0.1 $（など）です。 10の累乗を含む他の分数についてはオン）。ただし、$ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $であることを正当化する必要もあります。一見すると、これはベンチマークに基づいて2つの分数を比較するよりも洗練されているように見えます（つまり、'この時点でそのベンチマーク戦略を必要とすることはできません）。 10の分母の分数の累乗は、場所の値が分数の値にどのように適用されるかを理解する上で明らかに重要な部分です。
回答
これをバックアップすることはできませんが、ここでは数学者であり、学齢期の子供たちの父親であると考えています（ベンチマークが発生するため）：
1：アイデア全体を表します数が何であるかの。 1を取得したら、2、3、…、9を覚えるだけです。
0：数量/数も何もないことを理解していることを表します。
10：最初、「10」は「7」のような数字の単なる別の記号です。しかし、実際に「sa 1と0」であることがわかった場合、記号11、…、99はすぐに理解できるようになります。
100：「10」を理解することは1つのことです。次のステップは理解することです。 10 sの新しい名前が必要だということです。「百」になると、「千」、「万」、「百万」などが暗記になります。
1/2：できること1/2を真に理解するということは、分数が何であるかを理解することを意味します。生徒が分数に本当に苦労していることは知っていますが、すべては1/2から始まります。
1/10：分数を取得したら、10進数の問題表現は自然です。ですから、1/10は本当に0.1を理解することを意味するはずだと思います。
12：リストにあるちょっと変わったボール。私の推測は2つの可能性のうちの1つです：ほとんどの学生が九九を12x12に記憶するため、または英語では「12」はその名前が小数表現について何も教えてくれない最後の数字であるため、重要です。 「seconteen」と呼ばれます。
コメント
- よく見ると、" 12 "には少なくとも" twoの形式が含まれています。" etymonline.com/index.php?term=twelve 。
- 12は最初の豊富な数字であり、一部の教師が小数に使用する時計モデルのキーでもあります。 'それがリストに'ある理由かどうかはわかりませんが、確かにそれがリストにある理由はある程度理にかなっています。 4年生と5年生の重要な数字のリスト。
- 整数" 1 "はUniversalMultiplicativeIdentityです。 。" 2 "は整数の基礎として必要ではありませんが' 何かに整数2を掛けることは、それ自体に追加することと同じであるという事実を考慮してください。 " 4 "は重要だと思います。なぜなら、何かに4を掛けることは、それ自体に何かを追加して結果を<に追加することと同じだからです。 i>それ自体、" 3 "は重要です。これは、3を掛けるには、それ自体に何かを追加してから結果を追加する必要があるためです。 元の物に。