Bhattacharya係数とBhattacharya距離の直感？

Bhattacharyya係数は $$ BC（h、 g）= \ int \ sqrt {h（x）g（x）} \; dx $$ 連続した場合。優れたウィキペディアの記事 https://en.wikipedia.org/wiki/Bhattacharyya_distance 。これ（および関連する距離）を理解する方法は？多変量の通常の場合から始めましょう。これは有益で、上のリンクにあります。 2つの多変量正規分布は同じ共分散行列を持ち、バタチャリヤ距離はマハラノビス距離と一致しますが、2つの異なる共分散行列の場合は、第2項があるため、マハラノビス距離を一般化します。バタチャリヤ距離はマハラノビスよりもうまく機能します。 Bhattacharyyaの距離は、Hellingerの距離 https://en.wikipedia.org/wiki/Hellinger_distance とも密接に関連しています。

上記の式では、確率論的な解釈を見つけることができます。書き込み $$ \ DeclareMathOperator {\ E} {\ mathbb {E}} BC（h、g）= \ int \ sqrt {h（x）g（x）} \; dx = \\ \ int h（x）\ cdot \ sqrt {\ frac {g（x）} {h（x）}} \; dx = \ E_h \ sqrt {\ frac {g（X）} {h（X）}} $$ したがって、これは、分布 $ h $ （ $ X $ のヌル分布）。これは、カルバックライブラー（KL）発散に関する直感との比較になります。これは、カルバックライブラー発散を対数尤度比統計の期待値として解釈します（ただし、代替の $ g $ ）。このような視点は、一部のアプリケーションでは興味深い場合があります。

さらに別の視点として、次のように定義されるf-divergenciesの一般的なファミリと比較します。 / a> $$ D_f（h、g）= \ int h（x）f \ left（\ frac {g（x）} {h（x）} \ right）\ ; dx $$ $ f（t）= 4（\ frac {1 + t} {2}-\ sqrt {t}）$ を選択した場合結果として得られるf-divergenceはHellinger発散であり、そこからBhattacharyya係数を計算できます。これは、レニーエントロピーから得られたレニーダイバージェンスの例としても見ることができます。上記のリンクを参照してください。

バタチャリヤ距離は、次の式を使用して定義されます

ここで $ \ mu_i $ と $ \ sum_i $ は、 $ i ^ {th} $ クラスター。

コメント

• 興味深いですが、これは一般的な結果です。 2つの分布平均と共分散の場合、またはこれは特定の分布を指しますか？