1976年のブラックモデルとバシュリエモデルについて質問があります。
Pメジャーの幾何ブラウン運動を知っています。 $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $の株価$ S_ {t} $は、（メジャーの変更後）ブラックにつながります-呼び出しのショールズ方程式：
$$ C = S_ {0} N（d_ {1}）− Ke ^ {− rT} N（d_ {2}）$$。
Where $ d_ {1} = \ frac {ln（\ frac {S_ {0}} {K}）+（r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}）T} {\ sigma \ sqrt {T}} $および$ d_ {2} = d_ {1}-\ sigma \ sqrt {T} $
実際には、有名な黒の式を取得する方法が「わかりません」フォワードコントラクト：
$$ C = e ^ {-rT}（FN（d_ {1}）− KN（d_ {2}））$$。
ここで$ d_ {1} = \ frac {ln（\ frac {F} {K}）+ \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $および$ d_ {2} = d_ {1}-\ sigma \ sqrt {T} $
最初のBSに$ F（0、T）= S_ {0} e ^ {rT} $を挿入するだけでよい2番目のものを取得する式？
$ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t}のような算術ブラウン運動を使用してBS式を導出しようとしたので、これを求めています。 ^ {P} $、 nd I get：
$$ C = S_ {0} N（d）+ e ^ {-rT} [v n（d）-K N（d）] $$。
ここで、$ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $および$ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {− 2rT}} {2r}} $であり、$ N（d）$と$ n（d）$がCDFとPDFであることを思い出してください。
ただし、前の置換$ F（0、T ）= S_ {0} e ^ {rT} $は既知の結果をもたらさないようです$ C = e ^ {-rT} [（FK）N（d）-\ sigma \ sqrt {T} n（d ）] $
ここで$ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
幾何学的な両方で前方の方程式に到達できると思います方程式を使用したブラウン運動と算術ブラウン運動
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $と$ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ですが、私はしません」それらの使用を正当化する方法を知っています。
コメント
- @MacroQuantへようこそ。 S.E.！先渡契約または先渡契約のオプションの価格を設定しますか？
- こんにちはNeeraj、回答ありがとうございます。 '先渡契約のオプションの価格を設定したいのですが！
- 元のBS式で$ S_0 $を$ F e ^ {-rT} $に置き換えるだけです。または、リスク中立アプローチを使用できます。どちらも同じ評価式になります。
- わかりました、ありがとう。しかし、ABMについても同じことができますか？ 'この置換を行っても結果が得られないためです。
回答
将来のヨーロッパオプション
将来のヨーロッパオプションの価格を設定するには、 $ S_0 $ を
将来のアメリカンオプション
上記の手順を使用して、将来のアメリカンオプションの価格を設定することはできません。論文の中で、 Ramaswamyによる先物契約のオプションの評価は、
先物契約におけるアメリカンオプションの評価に対する既知の分析的解決策はありません。
著者は、先物契約におけるアメリカンオプションの価格設定に暗黙の有限差法を使用しました。
編集：先物契約におけるヨーロッパオプションの価格の導出
リスク中立測定、先物価格、 $ F_t $ 次のSDEを満たします： $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ ここで、 $ W_t $ はウィーナープロセスです。 $$ F_T | F_t = F_t e ^ {-\ frac {1} {2} \ sigma ^ 2（Tt）+ \ sigma（W_T- W_t ）} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left（ln（F_t）-\ frac {1} {2} \ sigma ^ 2（Tt）、 \ sigma ^ 2（Tt）\ right）$$
先物契約のオプションの価格
上記の式を簡単に解いて、先物に書かれたオプションの価格を取得できます。 $ F_T $ の分布は、 $ S_T $ （この回答を参照）。 $$ ln（F_t）= ln（S_t）+ r（Tt）$$ を置き換えると、同じ分布の $ S_T $ はリスク中立措置の下にあります。これが理由です。将来のオプションの価格を取得するために、 $ S_t $ を
コメント
- こんにちはNeeraj、実際にはI ' ABMから始まるヨーロッパのオプションの価格を設定したい。
- @Marco編集回答を確認してください。
回答
ここでは、リスク中立価格を使用してフォワード価格でコールの価格を取得する簡単な方法を紹介します。
$ t = T $ 、 $（For（）で支払うヨーロッパの通話があるとします。 T、T ^ *）-K）^ + $ 、ここで $ T ^ * \ geq T $ 。さらに、金利が一定であり、「 $ r $ 」で表されると仮定します。 $ c ^ {For}（t、s）$ を通話料金とします。ここで、 $ S（t）= s $ 。
次に、株式が配当を支払わない場合：
$ c ^ {For}（t、s）= \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {-r（Tt）}（For（T、T ^ *）-K）^ + | S（t）= s] $ 、複製により、 $ For（T、T ^ *）= S（T）e ^ {r（T * –T）} $ 、および
$ c ^ {For}（t、s）= \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {-r（Tt）}（S（T）e ^ {r（T * –T）} –K）^ + | S（t）= s] $
金利は一定であり、決定論的であるため、すぐに気付くはずです。「 $ e ^ {r（T ^ * -T）} $ “の予想外の用語：
$ c ^ { For}（t、s）= e ^ {r（T * -T）} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {-r（Tt）}（S（T）-e ^ {-r（ T * –T）} K）^ + | S（t）= s] $
したがって、これはストライク $ X = e ^ {-r（T * –T）} K $
$ c ^ {For}（t、 s）= e ^ {r（T * –T）} c ^ {BS}（t、s | X = e ^ {r（T * –T）K} $ ） $ c ^ {For}（t、s）= e ^ {r（T ^ * –T）} [SN（d_ +）-e ^ {-r（Tt）} e ^ {-r （T * -T）} KN（d _-）] $ $ c ^ {For}（t、s）= e ^ {r（T ^ * -T ）} [SN（d_ +）-e ^ {-r（T * -t）} KN（d _-）] $
$ c ^ {For }（t、s）= e ^ {-r（T –t）}（FN（d_ +）-KN（d _-））$ 、ここで $ F = Se ^ {r（T ^ * –t）} $
また：
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln（\ frac {S} {K}）+（r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2）（Tt）] $
これは「フォワード契約の有名なブラックフォーミュラ」です。これがお役に立てば幸いです！
先渡価格と先渡契約の価格は同じではないことに注意してください。時間0での先物契約の価格は0ですが、変更される可能性があります。先物価格は、配達時に支払うことに同意した価格です。
それがコールだった場合にどうなるか知りたい場合は、先物価格の代わりに先物価格、資産価格が金利と相関していない場合、それらは同じであると私は主張します、そうでなければ裁定取引があります（カウンターパーティリスクがないなどの仮定の下で）。これを試してみることをお勧めします。
（PS先渡価格にアメリカンオプションの公式がないという以前のコメント投稿者の回答に対して、これはモンテカルロの使用を妨げるものではありません！）