ビオ・サバールの法則は経験的に得られたものですか、それとも導き出すことができますか？

$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ビオ・サバールの法則はマクスウェルの方程式の結果です。

マクスウェルの方程式を使用して、クーロンゲージ$ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $を選択します。次に、$$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times（\ nabla \ times \ VA）= \ nabla（\ nabla \ cdot \ VA）-\ nabla ^ 2 \ VA =-\ nabla ^ 2 \ VA。$ $しかし、$$ \ nabla \ times \ VB- \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ。$$定常状態では、これは$$を意味します。 \ nabla ^ 2 \ VA =-\ mu_0 \ VJ。$$したがって、上記の方程式の各成分に対してポアソン方程式があります。解は$$ \ VA（\ vr）= \ frac {\ mu_0} {です。 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ（\ vr “）} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r “。$$これで、$ \ VB = \ nabla \ times \ VAを計算するだけで済みます。 $。しかし、$$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ（\ vr “）} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ（\ vr “）\ times（\ vr- \ vr”）} {| \ vr- \ vr “| ^ 3} $$など$$ \ VB（\ vr）= \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ（\ vr”）\ times （\ vr- \ vr “）} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r “。$$これは、有限の太さのワイヤーのBiot-Savartの法則です。細いワイヤーの場合、これは次のようになります。 $$ \ VB（\ vr）= \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times（\ vr- \ vr “）} {| \ vr- \ vr “| ^ 3}。$$

補遺：数学と科学では、維持することが重要です主題の歴史的発展と論理的発展の違いを念頭に置いてください。主題の歴史を知ることは、関係する個性を理解し、時には主題についての直感を発達させるのに役立ちます。主題の論理的表現は実践者がそれについて考える方法。それは最も完全で単純な方法で主要なアイデアをカプセル化します。この観点から、電磁気学はマクスウェルの方程式とローレンツ力の法則の研究です。ビオ・サバール法を含め、他のすべては二次的なものです。

コメント

• しかし、私が’どのようにそれを行ったか、マクスウェル’の方程式は、ビオ・サバールの法則から導き出され、これにより循環します。
• @JLA：I ‘に何かを追加しました参照する”循環性”に対処します。
• @JLA、マクスウェルを数学的に導出することはできません’のビオサバールの法則からの方程式。人々が時々行うことは、定常流のような特定のケースについてビオサバールの法則からマクスウェル’の方程式を推測（到達）し、それらをすべての状況に単語で一般化することです。
• わかりやすくするために、微分演算子は$ {\ bf r ‘} $ではなく$ {\ bf r} $に適用されます。’は、$ {\ bf r ‘} $を超える積分とどのように交換されるかを示しています。
• @AG実際、$ {\ bf r ‘} $に関して導関数を取ることは意味がありません。$ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x_i $がありますが、$ \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x ‘ _i $ではありません（私は$ \ nabla ‘ $などと書くでしょう。

昔の人々は、フィラメント状の流れから生じる力を測定し、ビオ・サバールの法則を発見し、それをマクスウェルの方程式を構築するためのインスピレーションとして使用したことは事実かもしれません。歴史的にどのように起こったのか、問題ありません。

しかし、これは、1000万年後に地球で骨格の手と足を見つけたエイリアンの考古学者に似ています。考古学者は手から、その手を持っていた動物がそれをどうするのが好きか、つまり道具などをつかんで使うことができることを理解するようになります。足から、考古学者は、それが属していた動物が2本の足で歩いていて、通常、成人期には約100〜300ポンドの体重があったことを理解するようになります。

考古学者は、手と足は両方とも同じ動物、つまり人間のものでした。しかし、作品の性質上、人間が何であるかというパズルは、全体像をまとめる前に、個別に理解できるチャンクに分解する必要があります。とはいえ、手と足が人間自体よりも基本的であると示唆するのは逆です。

マクスウェルの方程式は、ビオ・サバールの法則やその他の情報と一致するように構築されています。 、クーロンの法則のように。したがって、マクスウェルからビオサバールを導出することはできますが、その逆はできません。マクスウェルはより一般的で包括的なものだからです。

すでに知っている / em>ローレンツ力の法則では、帯電した試験粒子をワイヤーの近くで発射してその動きを観察するだけで、ワイヤーから磁場の強さを推測できますが、これは、ローレンツ力の法則をどのように知っているかという疑問を引き起こします。

基本的なものとそうでないもの、実験的な観察に基づいている必要があるもの、それらの観察と一致するように構築されているものについて、一日中円を描くことができますが、多くの場合、好みがあります。基本的な構成と理論的な構成と見なされる「単純な」実験的観測の場合t帽子にはそのような多くの観察が組み込まれています。マクスウェルの方程式はクーロンの法則やその他の要素から導き出せるというChrisWhiteのコメントを参照してください。

私にとって、これはばかげています。マクスウェルの方程式には、私たちの観測値（少なくとも古典的な体制に適合するもの）の合計が組み込まれています。私にとって、それは古典電磁気学について私たちが知っていることです。マクスウェルを導き出すことができると言うことです。」結果が1つだけで、いくつかの仮定がある方程式…まあ、そもそもそれらの仮定もテストして検証する必要があるという点を見逃しています。 私にとって、特別な場合（純粋な電場、純粋な磁場、静的または動的な場）を選び出し、それらを「基本的な」ものとして扱うことは非常に逆です。

編集：しかし実際には、物理学者両方向で動作する必要があります。新しい理論を作成するには、接続されているかどうかわからない特殊なケースがあり、それらを相互に橋渡しする必要があります。これは、クーロンの法則とビオサバールからマクスウェルの方程式を構築することです。特定の問題を最も簡単に分析するには、特別な場合の式があるかどうかわからないため、最も一般的な説明（Maxwell）に頼って、それをより単純で解決しやすいものに減らすようにする必要があります（現在および時間依存性がない場合は、クーロンの法則に戻ることができます）。どちらのアプローチも、可能な限り柔軟である必要があります。

ローランドリングタイプの実験から始めて、定義することができます。アンペアターンあたりの単位体積で生成されるフラックスの尺度としての透磁率。次に、このフラックスが逆二乗の法則として散逸すると仮定すると、フィールド方向の垂直性を処理する外積を追加して、厳密に次のことを理解した上で、クーロンの法則の魔法の類似物としてビオサバールの法則を取得します。現在の要素はその回路の残りの部分から分離して存在することはできないため、それはその有用性によって検証された作業仮説です。私のアドバイス-必要最小限よりも多くの数学に陥る誘惑をすべて無視してください。これが理解につながることを願っています。 。

次のリンクをたどってください。 https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot 」と「作業」という見出しに移動します。この法則は、1820年、つまりマクスウェル方程式が公開される45年前に実験的に発見されたと書かれています。ビオ・サバールの法則はP.ラプラスによって与えられました。ビオ・サバールの法則（統合）の表現は、重ね合わせの原理はすでに含まれています。マクスウェル方程式は後で開発され、ビオサバールの法則の意味を包含するように適切に設計されました。おそらくそれが、マクスウェルの方程式をビオサバールの法則から導き出すことができる理由です。

このリンク https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force に移動し、[履歴]セクションに移動してください。 1881年、つまりマクスウェル方程式が発表されてから16年後、トムソンは最初にマクスウェル方程式からローレンツ力の法則の形式を導き出しました。最後に、ローレンツ力の法則の現代的な形式は、マクスウェル方程式から1892年にローレンツによって導き出されました。

つまり、履歴シーケンスは次のようになります。

ビオサバールの法則==>マクスウェルの方程式==>ローレンツ力の法則。

しかし、教室では次の順序で教えられます：

最初：ローレンツ力の法則、磁場が移動する電荷に力を及ぼすという概念を導入します。

2番目：ビオ・サバールの法則、動くチャという概念を紹介するrgesは磁場を生成します。

3番目：マクスウェルの方程式。電磁気学におけるすべての実験的観測の一般化。

結論は次のとおりです。

（1）ビオ・サバールの法則は実験的に観測された法則です。この法則にはアイデアも含まれています。その重ね合わせの原理は静磁気学でも有効です。この法則は静磁気学の基礎を提供しました。

（2）マクスウェルの方程式は、ビオ・サバールの法則の発見を包含するような方法で導き出されました（電磁気学の他の実験的観察とともに）。それは理論的な一般化です。マクスウェルの方程式は、他のどの実験観測よりも基本的です。実験は通常、特定の状況下で行われるため、一般化された情報を提供できないためです。

（3）ローレンツ力の法則は、マクスウェルの方程式から導出されましたが、実験的に直接検証することができます。

注

「観察してから一般化する」：これが物理学の開発方法だと思います。観察（実験）は常に基盤を確立します。一般化には観察が含まれ、その使いやすさを他の考えられる構成、ケース、状況に拡張します。したがって、観測から一般化を導出することは常に可能であり、その逆も可能です。 [ビオサバールの法則はマクスウェルの方程式から導出でき、マクスウェルの方程式はビオサバールの法則から導出できます。 ] 。

ここでは、ビオ・サバールの法則が静磁気の場を開始した重要な観測であることが強調されています。マクスウェル方程式（一般化）とベクトルポテンシャルの概念（ベクトル場の一般的な特性）を使用できます。ビオ・サバールの法則を導き出すことですが、それは、法則が静磁気に関する知識の開発の中間段階にすぎないことを意味するものではありません。 マクスウェル方程式からビオサバールの法則を導出することが可能であり、ベクトルポテンシャルの概念は、マクスウェル方程式の一般化が正しいことを証明するだけです。

コメント

• しかし、OPはイベントの歴史的な順序について質問していませんでした。

タイムライン（履歴）を確認する必要があります。ビオサバールの法則が公開されました。マクスウェル方程式の公開前。つまり、ビオ・サバールの法則から導出されたのはガウスの磁場の法則（2番目のマクスウェル方程式）であり、その逆ではありません。ガウスの磁場の法則（2番目のマクスウェル方程式）の導出）ビオサバールの法則からここで読むことができます磁場のガウスの法則

ビオ・サバールの法則の問題は、理論的には電流の観点から定式化されていることです。要素 $ Idl $ そして統合されます。しかし、ほとんどの教科書では、 $ qv $ の観点から、POINT料金についても定式化されています。ここでの問題は、点電荷 $ q $ が速度 $ v $ で移動するときの磁場です。近くの空間は時間とともに変化します。つまり、 $ \ frac {dB} {dt} $ があり、誘導効果が発生し、静磁気条件に違反します。対照的に、 $ Idl $ が連続ワイヤに沿って統合されている場合、 $ B $ フィールドは一定です（静磁気）。 2つの状況は大きく異なり、私の知る限り、ポイントチャージ $ B $ フィールドが直接測定されたことはありません。 $ qv $ に対するフォース、はい。ただし、 $ qv $ によって生成されたフィールドではありません。