問題は基本的に1体に減少するため、2体システムは換算質量を使用してより簡単に分析できます。最初の近似は、重心がm1と一致するため、星を周回する惑星など、m1 >> m2と仮定することで取得できます。したがって、重い物体は静止していて、軽い物体はその周りを移動していると見なすことができます。
導出： $$ \ text {Let} \、m_1、\ vec r_1 \ text {巨大な物体の質量と位置であり、} \、m_2、\ vec r_2 \、\ text {軽いもの。} $$
$$ \ text {想定される} \、 m_1 > > m_2 \、\ text {質量間の力（重力）は位置ベクトルの違いに依存します}：\ vecF_ {12} = \ vec F（\ vec r_ {12}）、\ text {where}：$$
$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \、\ text {はボディ2によるボディ1への力} $$ 近似では、重い質量は次のようになります。原点で休む。したがって、次のようになります。 $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ そして、運動の方程式は次のようになります。 $$ \ vec F（\ vec r_ {21}）= m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ これを解いて位置を取得できます。
「真の」運動を取得するには、重心（CM）（質量）を考慮することで近似を正確に行うことができます。この場合の2つの質量の位置の加重平均） $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {呼び出し量} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \、\ text {換算質量} $$ $$ \ text {したがって}：\ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ システムにかかる正味の外力が総質量に重心の加速度を掛けたもの。確信が持てない場合は、そのような派生の前に、この POST
外力が存在しないと想定されているため（力質量間の重力は内部のものとして「カウント」されます）、重心は一定の速度で移動します。 $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implies \ frac {d \ vec r} {dt} = const。$$ CMを慣性座標系の原点と見なします。したがって、2つの質量の位置は次の式で与えられます。 $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implies \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} =-\ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implies \ vec r_1 =-\ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \、\ vec r_2 =-\ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Since}：\ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \、\ text {we get：} $$ $$ \ vec r_ {21} =-\ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 =-\ vec r_1（\ frac {m_1 + m_2} {m_2}） \ implies \ vec r_1 =-\ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2（\ frac {m_1 + m_2} {m_1}）\ implies \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {したがって、運動の方程式は}：$$ $$ \ vec F（\ vec r_ {21}）= m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F（\ vec r_ {12}）= \ vec F（-\ vec r_ {21}）= m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} =-\ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W hichは、換算質量を使用した近似で以前に取得した方程式です。 m1 >> m2の換算質量がm2とほぼ同じである場合、注意してください。
これは、2体システムの運動がCMとその周囲の運動で構成されます。その周りの動きは、固定された中心の周りを移動する単一の換算質量の観点から説明できます。