ボゴリューボフ変換はユニタリ変換ではありませんよね？

正解です。ボゴリューボフ変換は、一般的に単一ではありません。 定義上、

ボゴリューボフ変換は、代数的関係を保持する生成/消滅演算子の線形変換です。 >それらの中で。

代数的関係は主に、ボソニック/フェルミ粒子演算子を定義する転流/反転流関係です。定義のどこにも、変換が単一であるべきだと指定していませんでした。実際、ボゴリューボフ変換（最も一般的な形式）は シンプレクティック for bosons および orthogonal for fermions 。どちらの場合も、ボゴリューボフ変換は単一ではありません。ボゴリューボフ変換は、古典力学におけるオシレーターの線形正準変換に対応し（ボソンはオシレーターの量子であるため）、線形正準変換は、古典位相空間のシンプレクティック構造のためにシンプレクティックであることがわかっています。

より具体的には、ボゴリューボフ変換の制限は何ですか？ボソン$ b_i $またはフェルミ粒子$ f_i $のいずれかの$ n $単一粒子モードの場合を考えてみましょう（$ i = 1,2、\ cdots、n $は、運動量固有状態などの単一粒子状態にラベルを付けます）。 $ b_i $と$ f_i $はどちらもエルミート演算子ではなく、一般的な扱いにはあまり便利ではありません（$ b_i $と$ b_i ^ \ dagger $はまだ関連しているため、単純に独立した基準として扱うことができないためです。したがって、演算子を次の線形の組み合わせとして書き直すことにします（複素数を$ z = x + \ mathrm {i} y $のような2つの実数に分解するというアイデアに動機付けられています）：$$ \ begin {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i -\ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ここで、$ a_i = a_i ^ \ dagger $と$ c_i = c_i ^ \ dagger $（$ i = 1,2、\ cdots、2n $の場合）はエルミート演算子（実数に類似）です。それらは、「複雑な」ボソン$ b_i $とフェルミ粒子$ f_i $から転流または反転流関係を継承する必要があります：$$ \ begin {split} [b_i、b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}、[b_i、b_j] = [b_i ^ \ dagger、b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i、a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i、f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}、\ {f_i、f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger、f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i、c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ここで、$ g_ {ij} ^ a $と$ g_ {ij} ^ c $は、ボソンとフェルミ粒子のそれぞれについて、量子メトリックと呼ばれることもあります。行列形式では、$$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ timesで与えられますn} \\-\ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin {マトリックス} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right]、$$、$ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $は$ n \ times n $単位行列です。したがって、生成/消滅演算子間の代数的関係を維持することは、量子メトリックを維持することです。演算子$ a_i $と$ c_i $の一般的な線形変換は、$$ a_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ cの形式を取ります。 c_j、$$ここで、演算子$ a_i $と$ c_i $が残るようにするには、変換行列要素$ W_ {ij} ^ a、W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $が実数でなければなりません。変身後のエルミート。次に、量子メトリックを保持するには、$$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c。$$が必要です。上記の条件を満たす実際の線形変換は、最も一般的な意味でのボゴリューボフ変換です。次に、量子メトリックのプロパティに応じて、ボゴリューボフ変換はシンプレクティックまたは直交のいずれかになります。ボソン量子メトリックの場合、$ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $は反対称であるため、変換$ W ^ a $はシンプレクティックです。フェルミ粒子量子メトリックの場合、$ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $は対称であるため、変換$ W ^ c $は直交です。

コメント

• この形式、つまり生成/消滅演算子を複素数”と量子メトリックの保存？

量子力学的変換のユニタリー性は、生成演算子と消滅演算子をどのように組み合わせるかによって決まりません。 （混合には、どの種類の行列—直交、シンプレクティック、またはユニタリ—が含まれるかは関係ありません！）むしろ、1つ変換がヒルベルト空間に作用するユニタリ作用素に関連付けられているかどうかを調べる必要があります。

引用されたボゴリューボフ変換OPは、次のように表すことができます（$ \ textbf {k} $-依存関係は抑制されます）：$$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \、\ cosh \ lambda \、\ hat {a} \、+ \、\ sinh \ lambda \、\ hat {b } ^ {\ dagger}、\\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \、\ dagger} = \、\ sinh \ lambda \、\ hat {a} \、+ \、\ cosh \ lambda \、\ hat {b} ^ {\ dagger}、$$ここで、$ \ lambda $は実数です。この変換は、ユニタリ演算子が存在する場合にのみユニタリになります。 $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {-1}、\\ \ hat {b} ^ {\ prime \、\ dagger} = U \のような$ U $ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {-1}。$$確かに、これらの関係は次の選択で満たされます：$$ U = \ exp \ Big [\ lambda（\ hat {a} \ hat {b }-\ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ dagger}）\ Big]、$$なので、変換は単一です。

行列方程式のこの部分に取り組みましょう$$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$重要な部分は、フィールドの変換とトランスが表示されることです。行列の形成$$ \ Gamma〜 =〜\ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix}〜\ rightarrow〜 \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix}〜= 〜M ^ \ dagger \ Gamma M、$$ここで$ M ^ \ dagger〜 = 〜M $。これの行列式は$ det（M \ Gamma M）〜= 〜det（M）det（\ Gamma）det（M）$ $ = 〜det（\ Gamma）$です。$ M $の行列式は$ u_k ^を与えます。 2〜-〜v_k ^ 2〜 = 〜1 $。これらは、$ u_k〜 = 〜sinh（k）$および$ v_k〜 = 〜cosh（k）$で表すことができます。

次に、整流子$ [a_k、〜a ^ \ dagger_k] $を評価します。 $$ [a_k、〜a ^ \ dagger_k]〜= 〜u_k ^ 2 [\ alpha_k、〜\ alpha_k ^ \ dagger]〜+ 〜v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k、〜\ beta_k]〜= 〜u_k ^ 2 [\ alpha_k、〜\ alpha_k ^ \ dagger] 〜-〜v_k ^ 2 [\ beta_k、〜\ beta ^ \ dagger_k]。 $$コミュニケーター$ [\ alpha_k、〜\ alpha_k ^ \ dagger]〜=〜[\ beta_k、〜\ beta_k ^ \ dagger]〜= 〜1 $の場合、$ [a_k、〜a_k ^ \ dagger] 〜= 〜1 $。同じことが明らかに$ [b_k、〜b_k ^ \ dagger]〜= 〜1 $にも当てはまります。これは、$ N \ hbar $のアクションユニットを持つシステムが一定であることを意味します。システムの位相空間ボリュームに変化はありません。これは、ボゴリューボフ変換が事実上ユニタリであることを意味します。

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• したがって、一般的なユニタリ変換’定義は、教科書から学んだ$ U ^ {\ dagger} = U ^ {-1} $より長くなっていますか？ ‘ ‘がわかりません。これは、Nℏのアクションユニットを持つシステムが一定であることを意味します。システムの位相空間ボリュームに変化はありません’、説明しますか？
• ちなみに、変換に制限はありますか？ボソン系（ハミルトニアン）の？
• @ZJX ‘ボソリューボフ変換が”事実上単一”。私は彼らが一般的にシンプレクティックであるべきだと思います。制限は、ボソン演算子の定義を保持することから生じます（ボソン演算子が変換中もボソンのままであるように）。ボソン系（ハミルトニアン）から来る制限はありません。ハミルトニアンがエルミートである限り、それは正当なハミルトニアンです。ハミルトニアンに適用されるシンプレクティック変換は、正当なボゴリューボフ変換です。

いいえ、ユニタリです。ただし、ハミルトニアンの電子&の穴を一緒に検討する場合に限ります。

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• しかし、ここでは、モデルはスピンに関するものであり、’はフェルミ粒子ではありません。右？