宿題の問題から始めるには、かなり長いです。
電子の質量の208倍に等しい質量の粒子が電荷$ + 3e $の原子核の周りを円軌道で移動します。原子のボーアモデルがこのシステムに適用可能であると仮定すると、
- $ n $番目のボーア軌道の半径の式を導き出します。
- $ n $の値を見つけます。半径が水素の最初の軌道の半径に等しいもの。
- 回転する粒子が3番目の軌道から最初の軌道にジャンプするときに放出される放射の波長を見つけます。
これで、最初の部分を実行して、正解を得ました。これが私がしたことです。
回転する粒子の質量が$ M $、速度が$ v $、$ M = 208 m_ {e} $であるとします。静電力は求心力です。 。したがって、
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {（ke）（3e）} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
ボーアモデルから、
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
ここで、$ h $はプランク定数です。したがって、
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
二乗
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4（\ pi）^ 2（m_e）^ 2r ^ 2} $$
$ v ^ 2 $を含む2つの方程式を等しくする、
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4（\ pi）^ 2（m_e）^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
$ r $を解くと、次のようになります。
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4（\ pi）^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
上記はすべて正しいです。問題は2番目と3番目の部分にあります。 $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {-10} m} $を入力すると、必要な答えが得られません。 3番目の部分に近づくために、標準のリュードベリの式から始めました。
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left（\ frac {1} { n_f ^ 2}-\ frac {1} {n_i ^ 2} \ right）$$
各値を接続しました、$ n_i = 3、n_f = 1、Z = 3 $;しかし、やはり「正解は得られませんでした。
2番目の部分の答えは25 $（n = 25）$で、3番目の部分の答えは25 $（n = 25）$です。 55.2ピコメートル。
回答
2番目の部分に回答するには：
$ M = 208m_e $ 、 $ Z = 3 $ 、 $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ 。
パート1には間違いがあります
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {（\ mathcal {e}）（Z \ mathcal {e}）} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implies & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
ボーア半径もわかっています：
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \約5 {、} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
したがって、書き込みとキャンセルが可能です：
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \したがって、& & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \したがって、& & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ upperx25 \ end {align} $$
3番目の部分：
Rydberg式は次のように与えられます
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left（\ frac {1} {n_1 ^ 2}-\ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right）$$
電子から放出される光子に対して定義されたリュードベリ
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
ここで、Rydberg定数を変更して、粒子の質量：
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e、\ infty} $$
$ \ mathcal {R} _ {m_e、 \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7〜 \ mathrm {m ^ {-1}} $ （ウィキペディア）、 $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55.6〜 \ mathrm {pm} $ 。
換算質量を考慮せずに、つまり $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ に到着しました $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8〜 \ mathrm {pm} $ 。
どちらの値も、指定された解にかなり近い値です。
（質問が本当にミューオンに関するものである場合、より正確な重量比は206.77であり、対応する波長は55.1pmと56.0pmです。）