ボルツマンのエントロピーの定義の意味は何ですか？

この定義の2つの明らかな望ましい機能は次のとおりです。

• 2つのシステムを1つのシステムと見なして隣り合わせに配置すると、可能なマイクロステートの総数。 $ \ Omega_t $は、2つのシステムの$ \ Omega $ sの積、$ \ Omega_t = \ Omega_1 \ times \ Omega_2 $に等しくなります。ただし、tの場合彼のシステムのエントロピーはエントロピーの合計であり、指数定義の必要性を示しています。
• $ \ ln $関数には、1つのミクロ状態$（\ Omega = 1）を持つシステムのエントロピーという特性があります。 ）$はゼロであり、これは望ましいことです。

この関係は、事前確率が等しいという仮定から取得できます。平衡は、ミクロ状態の最大数を持つマクロ状態に対応します。

それぞれがマクロ状態$ E_i ^ {（0）}、V_i、N_i $（エネルギー、体積、粒子の数）。それらのそれぞれには、$ \ Omega_i（N_i、V_i、E_i ^ {（0）}）$の可能なマイクロステートの総数があります。

次に、エネルギーを交換できるように、熱的に接触させます。この時点以降、$ E_t = E_1 “+ E_2” = \ text {constant} $になります。各システムの$ N $と$ V $は変更されません。各システムで可能なマイクロステートの総数は$ \になります。 Omega_i（N_i、V_i、E_i “）$および複合システムの場合：$$ \ Omega = \ Omega_1（N_1、V_1、E_1″）\ times \ Omega_2（N_2、V_2、E_2 “）= \ Omega_1（E_1″） \ Omega_2（E_2 “）= $$ $$ \ Omega（E_t、E_1）$$

を仮定すると、$ \ Omega $が最大になる時点で平衡が発生します 、$ \ Omega（E_t、E_1）$を最大化する$ E_1 ^ * $（したがって$ E_2 ^ * $）の値を見つけます：$$ d \ Omega = 0 \ to \ left（\ frac {\ partial \ Omega_1（E_1）} {\ partial E_1} \ right）_ {E_1 = E_1 ^ *} \ Omega_2（E_2 ^ *）+ \ Omega_1（E_1 ^ *）\ left（\ frac {\ partial \ Omega_2（E_2）} {\ partial E_2} \ right）_ {E_2 = E_2 ^ *} \ frac {\ partial E_2} {\ partial E_1} = 0 \ tag {1} $$ $$ \ frac {\ partial E_2} {\ partial E_1 } = -1 \ to $$ $$ \ beta_1 = \ left（\ frac {\ partial \ ln \ Omega_1（E_1）} {\ partial E_1} \ right）_ {E_1 = E_1 ^ *} = \ left（\ frac {\ partial \ ln \ Omega_2（E_2）} {\ partial E_2} \ right）_ {E_2 = E_2 ^ *} = \ beta_2 \ tag {2} $$

当然のことながらこれらの量$ \ beta_1 $と$ \ beta_2 $は、システムの温度に関連しています。熱力学から、$$ \ left（\ frac {\ partial S} {\ partial E} \ right）_ {N、V} = \ frac {1} {T} \ tag {3} $$ $（ 2）$と$（3）$の場合、次のように結論付けることができます。$$ \ frac {\ partial S} {\ partial（\ ln \ Omega）} = k $$または$$ \ Delta S = k \ ln \ Omega $$ここで、$ k $は定数です。

コメント

• つまり、$ \ ln $は任意ですよね？
• @jinaweeなぜ恣意的なのですか？ ' t $（1）$は$ \ ln $になりませんか？
• 忘れてください、私はシャノンについて考えていました'のエントロピー： stats.stackexchange.com/a/87210/31711 。

ムスタファの回答は、対数依存の重要な理由の1つです。ミクロ状態は増加しますが、 「システムの外因性が相加的であることを望みます。したがって、乗算を加算に変える同型写像が必要です。唯一の連続的なものは、対数として知られる「計算尺同型」です。 Mustafaの回答からわかるように、基数$ e $は任意です。正の基数（1を除く）を使用できます。基数をシフトするには、ボルツマン定数$ k_B $を調整して、乗法的基数の変化係数を吸収する必要があります。

しかし、可能なミクロ状態の数を情報理論的に見ると、他の深い理由がわかります。上記。シャノンノイズレスコーディング定理の証明は、情報エントロピー（これも対数）にその実用的な意味を与えます。これは最小ビット数、または特定のマイクロステートを一意に識別するために答える必要のある「はい-いいえ」の回答の数すべてが同じように発生する可能性があると仮定します。いくつかの語彙の順序で配置されたすべての可能なマイクロステートを想像し、次にそれらをバイナリツリー：バイナリツリーを下って、特定のミクロ状態と、途中で作成する必要のある分岐の数を見つけます（pシークアンドリトリーブ時間に比例して）は$ \ log_2 \ Omega $です。または、直感的には、エントロピーは、システムの巨視的特性を前提として、特定のミクロ状態を説明するために書く必要のある最短の本の長さです。それはいくつかの本です：1度のケルビン（深宇宙の宇宙背景マイクロ波放射よりも冷たい）でシステムに1ジュールの熱を追加するだけの場合、 aが必要になります。システムのマイクロステートを説明するために、2013年末にWorld Wide Web全体よりも大きな本を作成してください。

前述のように、$ \ log_2 $の代わりに$ \ log_e $を使用できます。物理定数（$ k_B $と$ T $の定義）の基本係数の乗法変化を追跡している限り。

セクション2（注意深く読んでください）とこのペーパーの付録：

E。 T.ジェインズ、「情報理論と統計力学」。

また、すべての一意の依存関係として、対数とエントロピーの公式に確かな動機を与えます。次のプロパティ：

1. ミクロ状態の確率$ p_i $の連続関数です。
2. すべてのミクロ状態の可能性が同じである場合、それはの単調に増加する関数です。 $ \ Omega $;
3. ミクロ状態のセットを任意に任意のサブセットに分割し、これらのサブセットを新しい「状態空間」内の単一のイベントと考えると、最初の「粗視化」バージョンは新しいイベント自体に元の状態空間から計算されたエントロピー$ H_i $と確率$ p_i $があり、状態空間全体のエントロピーを$ \ sum p_j \、H_j $として計算すると、同じ答えが得られます。エントロピーについては、ミクロ状態をどのように分割しても。

考えてみると、最後のポイント（3）はthの強力な一般化です。 e ムスタファの答えで表現された「乗算は加算になる」という考え。

エントロピーは、古典的な熱力学で最初に満たされ、

$$ \ mathrm dS = \ frac {として定義されました。 \ delta Q} {T} $$、ここで$ Q $は熱力学の第1法則

$$ \ Delta U = Q- W $$

および$ T $は温度です。システムによって行われる$ W $作業。

ミクロレベルの物質が離散的である、つまり分子で構成されていることが実験的に確立されると、物質の統計的振る舞いが、古典的な熱力学が出現する基礎となるフレームワークになりました。

法則はエネルギーの保存であり、これはマイクロシステムのアンサンブルでも厳格な法則です。

統計力学で確立された粒子の平均運動エネルギーは温度と関係があります。

古典的なエントロピーが出現し、統計力学から導出されたエントロピーで識別される方法は単純ではありません。

統計的定義は、システムの微視的コンポーネントの統計的動作を分析することにより、1870年代にルートヴィッヒボルツマンによって開発されました。ボルツマンは、このエントロピーの定義が、ボルツマン定数として知られている定数内の熱力学的エントロピーと同等であることを示しました。要約すると、エントロピーの熱力学的定義は、エントロピーの実験的定義を提供し、エントロピーの統計的定義は、概念を拡張し、その性質の説明とより深い理解を提供します。

このペーパー、たとえば、は、統計力学のエントロピーが古典的な熱力学のエントロピーで識別されることを（式42）証明します。対数依存性は、等価性の証明の数学に由来します。