ブロッホ球は美しくミニマリストです。

従来、キュービットには4つの実際のパラメーターがあります。 $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle。$ ただし、簡単な洞察により、 $ a $ -vs- $ b $ のトレードオフは、正規化のために1つの自由度しかありません $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ とさらに注意深い洞察により、QMで期待値を作成する方法では、 $ \ chi $ または $ \ phi $ 自体ですが、違いは $ \ chi- \ phi $ 、これは $ 2 \ pi $ -定期的です。 （これについては、以下のコメントで詳しく説明しますが、簡単に説明します。QMは、平均 $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ と全体的なフェーズのシフトのみを予測します。したがって、 $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ による波動関数の計算は、すべての予測でキャンセルされます。）

したがって、必要なものについて最も抽象的な考えを持っている場合は、 $ a $ -vsを表す0から1までの線を引くだけです。 – $ b $ のトレードオフ：これら2つの状態のいずれかでこれはいくらですか？次に、その周りに円を描きます。位相差はどのくらいですか？円柱になるのを妨げるのは、 $ a = 1 $ または $ b = 1の場合、位相差が重要でなくなることです。 $ 、したがって、円はポイントに縮小する必要があります。 Et voila 、あなたは球体とトポロジー的に同等なものを持っています。球体には、実験に必要なすべての情報が含まれていますが、それ以外は何も含まれていません。

これは物理的なものであり、3D空間の実際の球体です。

これはより衝撃的な事実です。上記の簡単な図だけを考えると、これはすべて無害な数学であると考えることは許されるでしょう。実際、典型的なキュービットはスピン $ \ frac 12 $ システムであり、パウリ行列はシステムが $ x $ 、 $ y $ 、または $ z $ 軸。これは、 $ | 0 \ rangle $ を $ | \ uparrow \ rangle $ で識別するシステムです。 $ | 1 \ rangle $ と $ | \ downarrow \ rangle $ の場合、位相差は次のようになります。 $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac12}を介して $ + x $ 軸を選択する| 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle。$

QM処理では、空間の直交方向はヒルベルト直交ではありません。これは、物理学の方法ではないためです。このシステムの動作します。ヒルバート直交状態は不釣り合いです。この状態にある場合は、間違いなくその状態ではありません。しかし、このシステムには、 $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ の明確な合計の大きさのスピンがあります。ただし、 $ \ hbar / 2 $ のみが「最も向いている」方向を指しているため、何らかの「リング」に分散する必要があります。その方向の周り。したがって、 $ + z $ 方向にあることを測定すると、 $ + x $ 、半分は $ -x $ 方向。 （ここでの「並べ替え」とは、 $ x $ -測定をフォローアップする場合です。）

では、「スピン- $ \ frac12 $ が最もスピンしている方向はどれですか？」これには、オブザーバブルを構築する必要があります。例を挙げると、 $ + z $ 方向が状態によって最もスピンインされている場合 $ | \ uparrow \ rangle $ の場合、 $ z $ の観測量-スピンはパウリ行列 $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | -| \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |、$ $ + 1 $ その状態で $ヒルベルトに垂直な状態の-1 $ $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0。$ 同様に、 $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow |を見ると+ | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ 上記で定義された $ | {+ x} \ rangle $ 状態が固有ベクトルであることがわかります。固有値+1で、同様に $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle- | \ downarrow \ rangle $ が $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0、$ そして $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | -| {-x} \ rangle \ langle {-x} |。$

次に、 $ | \ psi \ rangle =に直交する状態\ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ は $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle- \ alpha ^ * | 1 \ rangle、$ なので、その状態では+1、反対の状態では-1である観測値は次のようになります。 $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | -| \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix}-\ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\-\ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & -\ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2- | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2- | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ これを $ v_i \ sigma_i $ と記述します。ここで、 $ \ sigma_i $ は、取得するPauli行列です。 $$ v_z = | \ alpha | ^ 2- | \ beta | ^ 2、\\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta。$$ ここで、 $ \ alpha = \ cos（\ theta / 2）$ と $$とします。 beta = \ sin（\ theta / 2）e ^ {i \ phi} $ これらは次のとおりです。 $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2（\ theta / 2 ）-\ sin ^ 2（\ theta / 2）& = &〜\ cos \ theta、\\ v_x & = 2 \ cos（\ theta / 2）\ sin（\ theta / 2）〜\ cos（\ phi）& = &〜\ sin \ theta〜 \ cos \ phi、\\ v_y & = 2 \ cos（\ theta / 2）\ sin（\ theta / 2）〜\ sin（\ phi）& = &〜\ sin \ theta〜 \ sin \ phi。 \ end {align} $$ したがって、ブロッホ球の処方では、 $（\ theta、\ phi）$ を使用します。これは単に上の点の球座標です。このような $ | \ psi \ rangle $ が「最も回転している」球体。

つまり、純粋に理論的なものではありません。視覚化すると、典型的なキュービットであるスピン $ \ frac 12 $ システムは、実際にはブロッホ球座標で指定された方向にスピンしていると言えます。 （少なくとも、スピンアップシステムがスピンアップする限り。）それは容赦なく物理的です。数学のコーナーに振り向けたいとすると、「いいえ、実際のシステムでは私は実際の3D空間でこの方向を指しているので、私に注意を払う必要があります。」

これらがあなたの質問にどのように答えるか。

1. はい、NとSは空間的に平行ですが、ヒルベルト空間では直交しています。このヒルベルト直交性は、システムがスピンアップとスピンダウンの両方になることはできないことを意味します。逆に、たとえば $ z $ と $ x $ の方向の間にヒルベルト直交性がないということは、 $ z $ -spinを測定する場合でも、 $ x $ spanでスピンをゼロ以外で測定できます。 >-方向。これはそのようなシステムの重要な機能です。物理空間用とヒルベルト空間用の2つの異なる「直交」の概念があることは確かに少し混乱しますが、それはあなたが見ている2つの異なる空間があることから来ています。

2. 角度が物理的に非常に役立つ理由を確認する1つの方法は、上記のとおりです。しかし、最初のセクションで述べたように、球で構成空間を記述しようとする純粋に数学的な演習と見なすこともできます。そうすると、当然、位相差として極角が得られます。これは $ 2 \ pi $ -周期的であるため、当然のことながら「方位角」座標です。したがって、座標が0/1に沿って配置される方法は、 $ 0 $ が $ | 0にマッピングされた「極」座標である必要があります。 \ rangle $ および $ \ pi $ を $ | 1 \ rangle $ にマッピングします。これを行うための明白な方法は、 $ \ cos（\ theta / 2）$ を、この範囲に沿って1から0にマッピングし、 $ | 0 \ rangle $ 状態; $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ という事実は、 $ | 1 \ rangle $ 状態は、それに一致するように $ \ sin（\ theta / 2）$ 振幅を取得する必要があります。

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• ブロッホ球に関してOPと同様の混乱があります。 “の意味を少し説明していただけますか。さらに注意深く洞察すると、QMで期待値を作成する方法では、$ \ chi $と$ \を観察できないことがわかります。 phi $自体ですが、違いは$ \ chi- \ phi $、つまり$ 2 \ pi $ -periodic “？
• @Moses：確かに。 QMのすべての予測は、$ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle。$の形式の期待値です。$ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^についてこれを計算します。 {i \ phi} | 1 \ rangle $ with $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $（つまり、$ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $）$ \ langleを見つけるA \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab〜 \ text {Re} \ Big（A_ {10} e ^ {i（\ chi- \ phi）} \ Big）。$いいえしたがって、期待値は$ \ phi $または$ \ chi $自体について何でも明らかにしますが、明らかに$ 2 \ pi $-であるこの$ e ^ {i \ delta} $項を介して、潜在的に$ \ delta = \ phi- \ chi $のみを示します$ x $で周期的です。
• より一般的には、波動関数のグローバル位相は観測できません。これらの期待値ブラケットは、状態$ | \ psi ‘ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $の期待値は$$ \ langle A \ rangle_でなければならないことを示しています。 {\ psi ‘} = \ langle \ psi | e ^ {-i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}。$$
• OPが$ \ frac {\ theta} {2} $の自然さを内部化するのに役立つ可能性がありますスピン-$ \ frac {1} {2} $粒子を扱っているという事実に対応していることを指摘します。ハーフスピンにより、回転のジェネレーターは$ \ sigma $ではなく、$ \ frac {\ sigma} {2} $になります（固有値を$ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $に維持するため）。したがって、$ \ theta $の物理的な回転の状態に作用する変換は$ e ^ {-i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $になり、$ \ fracの回転につながります。状態の{\ theta} {2} $。
• 平面上の円だけでなく、3D球が必要なのはなぜですか。キュービットを原子のスピンまたはその重ね合わせの2つの可能な値として想像すると… ‘方位角ϕの物理的意味は何ですか？

次の簡単な方法で、単位球の表面上の点を純粋なスピン状態に関連付けることができます。

球の点$（n_x、n_y、n_z）$は、正の固有値を持つ演算子$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $の固有ベクトルに関連付けられています。これには、すべてのスピン1/2単一粒子スピン状態が含まれます。

これはランダムでも、視覚化でも、数学でもありません。 $（n_x、n_y、n_z）$の方向を指す磁場の不均一性を持つシュテルン・ゲルラッハデバイスがある場合、その状態が$ n_x \ sigma_xに固有である場合、そのビームは常に特定の方向に偏向します。 + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z。$

しかし、これは非常に紛らわしいことではありませんか？北極と南極を選択すると、両方の状態が同じ線上にあり、直交しなくなった

少しでも混乱することはありません。ジオメトリは、ラボ内の物理デバイスの方向に関連しており、状態によって信頼できる結果が得られます。反対向きのデバイスでも信頼できる結果が得られます。これは、直交状態では一般的であり、直交状態は同じ演算子に対して固有である可能性があります。

したがって、ブロッホ球の異なる点は、異なる状態に対して「上」の結果を与える異なる方向を識別します。 3D空間での測定デバイスの方向とスピン空間での状態のジオメトリを混同しないでください。

では、どのようにして任意の点を選択できますか$球の表面にp $があり、$ a $と$ b $を見つけるために、$ 0,1 $の状態で分解する可能性がありますか？

その逆です。ある状態を0と別の状態を1と呼ぶことにしたのはどうしてですか？あなたはランダムな方向を選び、それをzと呼び、磁場の不均一性がそのようにポイントするようにデバイスを方向付けました。それはあなたに浮き沈みを与えました。

しかし、今では任意のスピン状態を指定できます。同じように、任意の点$（n_x、n_y、n_z）$があり、正の固有値を持つ$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z。$の固有ベクトルを見つけます。 $ \ left | s \ right \ rangle、$、$$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left |と呼びます。 s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$なので、全体的な位相と大きさがわからないが、単一粒子のスピン状態にはそれらの1つがない場合を除いて、$ a $と$ b $があります。 。

これは、ブロッホ球をシステムの有効な基盤と見なすべきではなく、単なる視覚化の補助であるという意味ですか？

いいえ、ラボの幾何学とヒルベルト空間の幾何学を混同しないでください。物理学は実験科学であるため、間違いなく関連していますが、同じではありません。

ベクトルを固有空間に投影する場合は、ラベルを相互に投影しないでください。スピン状態と別のスピン状態を持つことができ、一方を他方に向けられたシュテルン・ゲルラッハ装置に通すと、空間自由度が分割され、その方向に上向きの状態とそれから空間的に下向きの自由度に分離されます。方向とスピン状態は文字通り変化し、空間的に上昇したビームでは上向きになり、下降したビームでは下向きになります。そのため、1つの粒子のスピンはそれ自体の位置と絡み合っています。

ヒルベルト投影のサイズは、偏向して分割された空間パーツのサイズを示します。ただし、文字通り必要ではありません。そのようなルールを覚えています。 Stern-Gerlachデバイスのシュレディンガー方程式を書き留めると、ビームが分割されて正しいサイズの部分に分離され、スピンが2つの偏光に整列します。これは、指示なしで行われます。

その後、スピン状態は明確です。チャンスを与えれば確実に進む方向を教えてくれます。そして、それを異なる方向のシュテルン・ゲルラッハに置くと、その方向で許可されている2つの方向のいずれかに強制的に移動し、分割されて両方に移動します。各部分のサイズを取得するには、シュレディンガー方程式を展開するか、演算子$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $の固有ベクトルを計算し、他のベクトルに直交する正の固有値の固有ベクトルを点在させます。

はい、これを行うためのより簡単な方法があり、それからより多くを得ることができます。しかし、うまくいけば、他のジオメトリが表示されます。

次に、$ cos \ theta / 2 $と$ e ^ {i \ phiを取得する方法を示してください。 } $用語？

私はパウリスピン演算子を使用していました。基底を選択したい場合は、それらを行列として記述できます（演算子はベクトル空間上の関数です） 、行列は、基底を選択した後の演算子を表します。演算子は存在し、後で選択するかどうかに関係なく同じです）。 $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left（\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right）。$$

そして、正の固有値を持つ固有ベクトルは$ \ left（\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right）、$ $ n_z = 1 $でない限り、$ \ left（\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right）。$の場合を扱いましょう。最初に$ n_z = 1 $、その場合は$ a = 1 $と$ b = 0 $と$ \ theta = 0 $なので、$ a = \ cos（\ theta / 2）$、$ b = e ^ {i \ phi} \ sin（\ theta / 2）$はすべてうまくいきます。

固有ベクトルを単位ベクトルとして書きたい場合は、$ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}}を取得します。 \ left（\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right）。$最初の座標が実数で正になるように位相を調整する場合は、$ \ frac {を取得します。 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left（\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\（n_x + in_y）（1-n_z）\ end {matrix} \ right）。$

残りは三角測量です。例：$ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }。$したがって、$ \ cos（ \ theta / 2）= \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $そしてその$ \ sin（\ theta / 2）= \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}。$後者はトリガーID $ \ sin（\ theta / 2）= \ sqrt {\ frac {1- \ cos（\ theta）} {2}}。$

前者は$$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {（1-n_z）（1 + n_z）} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos（\ theta）} {2}} = \ cos（\ theta / 2）。$$

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• 平面上の円だけでなく、3D球が必要なのはなぜですか。キュービットを原子のスピンまたはその重ね合わせの2つの可能な値として想像すると… ‘方位角ϕの物理的意味は何ですか？

A。 2状態システム

2状態システムとします。状態は時空座標から独立しています。この場合、システムには新しい自由度があります。古典的な例は、スピン角運動量を持つ粒子です $ \：\ frac12 \ hbar \：$ 。

2つの状態に対応します。基本状態 \ begin {equation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ 、、 \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} という名前の up と down の状態。

システムの状態は、状態ベクトル \ begin {equation} \で表されます。 vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {where} \：\：\：\ xi、\ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \：\：\：\ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} 複素数 $ \：\ xi、\ eta \：$ は、確率振幅と非負の実数 $ \：\ vert \ xi \ vert ^ { 2}、\ vert \ eta \ vert ^ {2} \：$ 状態 $ \：\ vert u \ rangle、\ vertdのシステムになる確率それぞれ\ rangle \：$ 。

システム状態のヒルベルト空間は、多くの点で複素空間（の単位球）と同じです。 $ \：\ mathbb {C} ^ {2} $ 。

システムの監視対象は、 $ \：2 \で表されます。 times2 \：$ エルミート行列 \ begin {equation} A = \ begin {bmatrix} a_3 a_1 \！\ boldsymbol {-} \！ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \！\ boldsymbol {+} \！ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \：\：\：\ left（a_1、a_2、a_3、a_4 \ right）\ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} したがって、 $ \：2 \ times2の線形空間\：$ エルミート行列は、多くの点で $ \：\ mathbb {R} ^ {4} $ 。 $ \：\ mathbb {R} ^ {4} \：$ の通常の基底から、この行列空間の基底を構築します \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad、\：\：\：E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \！\！\ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad、 \：\：\：E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad 、\：\：\：E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vファントム{\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

これで、基本状態が $ \：\ vert u \ rangle、\ vert d \ rangle \：$ は、固有値の固有状態に対応します $ \：\ boldsymbol {+} 1、\ boldsymbol {-} 1 \：$ のオブザーバブルの場合、このオブザーバブルは行列で表されます
\ begin {equation} \ begin {bmatrix} 1 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \！\！\ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} は\ eqref {04}に含まれていません。ただし、基本の\ eqref {04}の代わりに、次の線形結合を使用できます \ begin {align} E “_1 \！= \！E_1 \！= \！ & \ begin {bmatrix} 0 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \、E “_2 \！= \！E_2 \！= \！\ begin {bmatrix} 0 & \！\！\ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E “_3 \！= \！\ left（ E_3 \！-\！E_4 \ right）\！= \！& \ begin {bmatrix} 1 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \！\！\ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E “_4 \！= \！\ left（E_3 + E_4 \ right）\！= \！\ begin {bmatrix} 1 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \！\！ \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} および記号の変更とアレンジメント

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \！\！\ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad、\：\：\：\ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad、\：\：\：\ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \！\！ \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad、\：\：\：\ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \！\！\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \！\！\ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} ここで、 $ \：\ boldsymbol {\ sigma } = \ left（\ sigma_1、\ sigma_2、\ sigma_3 \ right）\：$ パウリ行列。

これで、方程式\ eqref {01}の基本状態 $ \：\ vert u \ rangle、\ vert d \ rangle \：$ が表示されます。は $ \：\ sigma_3 \：$ の固有状態であるため、「 $ \：」という添え字で表す必要があります。 3 “\：$ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \：\：1 \：\：\ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \：\：0 \：\：\ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ 、、 \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \：\：0 \：\：\ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \：\：1 \：\：\ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} これは確率振幅に対して行う必要があります $ \：\ xi、\ eta \：$ また \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {where} \：\：\：\ xi_3、\ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \：\：\：\ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} この理由は、ヒルベルト空間の基本状態として、固有状態 $ \：\ vert u_1 \ rangle、固有値の\ vert d_1 \ rangle \：$ $ \：\ boldsymbol {+} 1、\ boldsymbol {-} 1 \：$ それぞれ $ \：\ sigma_1 \：$ \ begin {equation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \：\：1 \：\：\ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \：\：1 \：\：\ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left（\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right）\ 、、 \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \：\：1 \：\ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \：\、\ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left（\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right）\ tag {10} \ label {10} \ end {equation} で、 \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {where} \：\：\：\ xi_1、\ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \：\：\：\ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} または $ \：\ sigma_2 \：$ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \：\：1 \：\：\ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \：\：i \：\：\ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left（\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right）\ 、、 \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \：\：1 \：\ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \：\、\ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left（\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right）\ tag {12} \ label {12} \ end {equation} で、 \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {where} \：\：\：\ xi_2、\ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \：\：\：\ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} 固有状態 $ \ vert u_1 \ rangle、\ vert d_1 \ rangle、\ vert u_2 \ rangle、\ vert d_2 \ rangle $ を図-04に模式的に示します。

これで、 \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left（\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right）\ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left（\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right）\ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right）\ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right）\ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} また \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left（\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right）\ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left（\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right）\ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right）\ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _3 \ right）\ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} 方程式\ eqref {15a}、\ eqref {15b}、\ eqref {17a}、\ eqref {17b} by $ \：z ^ {\ boldsymbol {*} } \：$ 複素数の複素共役 $ \：z \：$ とを表します$ \：\ mathrm {Re} \ left（z \ right）、\ mathrm {Im} \ left（z \ right）\：$ $ \：z $ 。

$ \：\ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \以降： $ 設定します（図-01を参照） \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \：\：、\ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {$ x_3- $ axisに関する極角} \：\：、\ qquad0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} so \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left（\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right）\ cdot \ sin \ left（\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right）\ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left（\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right）} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {$ x_3- $ axisに対する方位角} \：\：、\ qquad0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} これらの定義の下で \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _3 \ right）& = \ mathrm {Re} \ left（\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right）= \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right）& = \ mathrm {Im} \ left（\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right）= \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} および方程式\ eqref {15a}、\ eqref {15b}、\ eqref {17a}、\ eqref {17b}は、次の確率を生成します \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left （\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _3 \ right）= \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left（1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right）\ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _3 \ right）= \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left（1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right）\ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right）= \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left（1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right）\ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left（\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _3 \ right）= \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft（1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right）\ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

状態 $ \ vert \ psi \ rangle $ は、 \ begin {equation} \ vert \として表すことができます。 psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left（\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right）\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left（\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right）\ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} またはフェーズを無視するfactor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left（\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right）\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left（\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ）\ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

---

B。オンスフィア-インボール

図-01に、定義\ eqref {18a}、\ eqref {18b}、および\ eqref {18c}の詳細を示します。これは、図-03の円 $ \：\ rm {K_3} \ Xi $ の平面上の点からの平面図です。この図-01は、すべての添え字 $ \： “3” \：$ が $$に置き換えられる場合に有効であることに注意してください。 ： “1” \：$ または $ \： “2” $ 。さまざまなポイントの定義と意味を以下に示します。

図-02に、方程式\ eqref {21a}、\ eqref {21b}および\ eqref {22a}、\ eqref {22b}の形状を示します。これは、 $ \：x_3- $ 軸の正の点から見た平面図です。

ここで図-03の3Dビューを参照してください

図-03では、3次元空間に直径1の球があります $ \：\ mathbb {R} ^ {3} \：$ は物理空間と同一ではありません。球上では、点 $ \：\ Xi \：$ はシステムの状態を表します \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} ここで、 $ \：\ jmath = 1,2 、3 \：$ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & =ポイント\ ：\：on \：\：+ 1/2 \：\：of \：\：x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \！-\！axis \：\：representing \：\：the \：\： \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \：\：eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \：\：on \：\：-1/2 \：\：of \：\：x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \！-\！axis \：\：representing \：\ ：the \：\：\ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \：\：eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & =プロジェクトtion \：\：of \：\：the \：\：state \：\：point \：\：\ Xi \：\：on \：\：x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \！-\！ axis \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert =マグニチュード\：\：of \：\：確率\：\：振幅\：\：of \：\：\ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \：\：固有状態\ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert =マグニチュード\：\：of \：\：確率\：\：振幅\：\：of \：\：\ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \：\：固有状態\ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} =確率\：\：of \：\：\ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \：\：固有状態\ tag {26.06} \ label {26.06} \\\ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} =確率\：\：の\：\：\ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \：\：固有状態\ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle（\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}）= Polar \：angle \：with \：respect \：to \：the \：x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \！-\ ！axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle（\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}）= azimuthal \：angle \：with \：respect \：to \：the \：x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \！-\！axis \ tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle（\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}）= half \：the \：polar \：angle \：\ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = radius \：of \：the \：circle、\：intersection \：of \：the \：sphere \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \：\：with \：the \：plane \：through \：point \：\ Xi \：normal \：to \：the \：x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \！-\ ！axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

コメント

• いつものように素晴らしい人物です。
• 私は’（05）は（04）に含まれていない’と言っても理解できません、isn ‘ $ E_3 $？また、’ $ E_3-E_4 $が’すべてゼロと-2を持っていないことを理解していません
• @ gary69：PSEへようこそ。ご清聴ありがとうございました。方程式$ \ eqref {04} $のタイプミスでした。正しいものに編集します。将来、評判を得て、私の答えの編集履歴を見ることができるようになると、このタイプミスは2020年8月25日の7回目の編集で行われたことに気付くでしょう。

@Timaeusの細かい回答をより記憶に残る形に合理化する単なる拡張コメント。

状態ベクトル
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ は、射影演算子 $$ \ bbox [yellow] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi |を介して純粋な状態密度行列を定義します。 = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2〜 \ cos \ theta / 2〜e ^ {-i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2〜 \ cos \ theta / 2〜e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} 〜。$$ $ | \ psi \ rangle $ の全体的なリフェーズでのマニフェストの不変性に注意してください。

このべき等エルミテアン密度行列の一般原則 “式も、明らかに $ $ \ rho = \ frac {1} {2}（1 \！\！1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma）、$$ with $ \ハットn =（\ sin \ theta \ cos \ phi、\; \ sin \ theta \ sin \ phi、\; \ cos \ theta）^ T。$

つまり、 $ \ hat z $ 軸は、完全な（隣接する）回転角度だけ $ \ hat n $ 軸に回転します。 、半角（スピナー、基本）演算子式を指定します。

フォトンスピンについて考える

このより具体的なケースについて考えることで、頭の中でいくつかの有用な写真を得ることができました。覚えておく価値のある光学指向のアナログ：PoincaréSphere。

フォトンスピンは> フロベニウスが言及している 2状態量子システムは、ブロッホ球モデルです。

フォトンスピンも簡単です。実験的に理解/視覚化/操作するため。

物理偏光フィルター

最初可能な最も具体的なこと、つまり偏光フィルターについて考えてみましょう。

考えられる偏光フィルターには2つのタイプがあります。

• 直線偏光子、 -90〜90の任意の角度で。

  例：こちらは90度の画像です：

  

  そしてここに45度の角度があります：

  

  ここに0度の画像があります：

  

  ソース

  ウィキペディアでは、このようなフィルターを作成するいくつかの方法について説明しています。上の写真はポラリオドフィルターで、サングラスや写真で使用されているため、すぐに利用できます。 。

  量子力学の観点から、90度と0度の方向は同じ測定を行います。唯一の違いは、一方は光子を通過させ、もう一方はそれをブロックすることです。ただし、両方を同等に使用できます。光子の線形垂直偏光のレベルを決定します：あなたはただvalを補う必要がありますue。

  すべての測定値はエルミート行列に対応しているため、0と90の両方を1つの行列で表すことができます。

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  45度の行列は次のとおりです。

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$ スパン>

• 円形偏光子。ウィキペディアで説明されているように、通常は1/4波長板と線形で作成されます。偏光子：

  

  ソース。

  対応する行列は次のとおりです。

  $$ M_i = \ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

上記の行列はいわゆるパウリ行列です。

いくつかの興味深い状態ベクトル

ここで、ブロッホ球上の6つの可能な興味深い光子状態を表す6つの極に名前を付けましょう。 、フィルターとの相互作用を理解してください。

ソース。

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear90°} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {線形0°} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear45°} \\ & \ vert- \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\-1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear-45°} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {時計回りの円形} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\-i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular反時計回り} \\ \ end {alignat *} $$

最初に気付くのは、次のことです。ペアはすべてベースです：

• $ \ vert 0 \ rangle $ および $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ および $ \ vert- \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ および $ \ vert -i \ rangle $

たとえば、次のように表すことができます。

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}}（\ vert + \ rangle & & + \ vert- \ rangle）\\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}}（\ vert + \ rangle & &-\ vert- \ rangle）\\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}}（\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle）\\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}}（-i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle）\ end {alignat *} $$

次に、次のことも確認します。

• $ \ vert 0 \ rangle $ と $ \ vert 1 \ rangle $ は、 $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ および $ \ vert- \ rangle $ は、 $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ と $ \ vert -i \ rangle $ は、 $の固有ベクトルです。 M_i $

量子力学での測定結果が固有値の固有ベクトルであり、確率が射影に比例することを思い出すと、次のサンプル確率が得られます。これらの実験：

• $ \ vert 0 \ rangle $ 状態：

  • 直線偏光子90°：100％合格

  • 直線偏光子0°：0％合格

  • 直線偏光子45°：45％合格、理由：

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}}（\ vert + \ rangle + \ vert- \ rangle）$$

  • 直線偏光子-45°：45％合格

  • 円偏光子：45％合格。これは、線形状態0が2つの円形分極に分解できるためです。

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }}（-i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle）$$

• $ \ vert 1 \ rangle $ ：
  • 線形90°：0％パス
  • 線形0°：100％パス
  • 線形45°：45％パス
  • 線形-45°：45％パス
  • 円形：45％パス
• $ \ vert + \ rangle $ ：
  • 線形90°：45％合格
  • 線形0°：45％合格
  • 線形45°：100％パス
  • 線形-45°：0％パス
  • 円形偏光子：45％パス
• $ \ vert i \ rangle $ ：
  • 線形90°：45％合格
  • 線形0° ：45％パス
  • 線形45°：45％パス
  • 線形-45°：45％パス
  • 時計回りに円形：100％パス
  • 反時計回りに循環：0％合格

相対位相

覚えておくべき重要な半古典的な直感の1つは、次のとおりです。

Circular分極==位相が90度ずれた2つの直交線形分極：

ソース。

たとえば、 ：

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

$ iのため、相対位相は90度です。 $ $ \ vert 0 \ rangle $ と $ \ frac {i} {\ sqrtの相対的な位相差{2}} \ vert 1 \ rangle $ 。

しかし、対角線では、 $ \ vert 0 \ rangle $ および $ \ vert 1 \ rangle $ ：

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

したがって、相対位相は0になります。

歩き回る球体

ブロッホ球体の状態を表す一般的な方法の1つは、2つの $ \を与えることです。以下に示すように、theta $ と $ \ phi $ の角度：

ソース。

球は非ユークリッドであるため、球を視覚化する良い方法は、球の周りのわかりやすいパスを歩くことです。次の画像では、2つのパスを実行します。

• 0から開始し、+、1、-を通過して、0に戻ります。
• 0から開始し、iを通過します。 、1、-i、0に戻ります

ソース。

+からi、-、-iを経て、+に戻るは演習として残されます。円は斜めの日食になり、45度の線にますます薄くなります。

これにより、角度が明確に解釈されます。

• $ \ theta $ ：大きいほど、 $ \ vert 1 \ rangle $ spanの可能性が高くなります>は $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ と比較されます： $ \ vert 0 \ rangle $ と $ \ vert 1 \ rangle $ の間の相対位相。この相対位相は、垂直または水平の偏光子では検出できません

この状態で、4つの実数から2つだけに下げるにはどうすればよいですか。 ？

ブロッホ球では、2つの実数パラメーターのみで状態を表すことができます：角度 $ \ theta $ と $ \ phi $

しかし、より明示的な完全な完全状態ベクトルでは、2つの複素数があるように見えます。したがって、4つの実数：

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

数値の1つを削除する必要がある理由は簡単です：合計確率は1になるなど：

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

その時点で、すでに 3-sphere に制限されています。

2つ目はもっと興味深いものです：状態のグローバルフェーズはどの実験でも検出できないため、別のパラメータを削除できますなど。自由に選択できます。

グローバルフェーズは虚数です。全確率を維持するには、その数の法則は1でなければなりません。測定の結果は次のとおりであるため、実験ではグローバルな位相シフトを検出できません。

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

いずれのフィルターでも、測定と同じです。

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

$ | \ text {phase} |のため= 1 $ 。

したがって、自然な選択は、 $ \ vert 0 \ rangleの乗数が次のようになるように状態を回転させるグローバルフェーズを選択することです。 $ は実数になります。つまり、 $ b = 0 $ を設定します。

たとえば、虚数を掛けると、より一般的な状態を、

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\-1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}）\ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

パウリ行列が正確に3つあるのはなぜですか？

https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 と https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states であり、ブロッホ球がなぜであるかという問題の核心です。使用されましたが、私はそれを完全には理解していません。

しかし、より実用的な言葉で言えば、私たちが設計した3つの測定デバイスクリブドは、1つを通過した後、他の2つに関するすべての情報を失う（他の2つの実験では50％の確率）という3つの可能性（グローバルローテーションまで）のみです。

したがって、これらは直交しています。ある意味で、このプロパティが保持されるような一連の実験に追加できる実験は他にないため、最大です。

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