ここでは、ボックスミュラー法が次のペアを生成することを示します。独立した標準ガウス確率変数。しかし、なぜ行列式を使用するのかわかりません。2つの独立変数がある場合、同時密度関数は2つの密度関数の積にすぎません。誰かがここで行列式の意味を説明できますか？
コメント
- XからYへの移行に関係する"変数の変更"があるため、次のようになります。上記の行列式である変換のジャコビアンを乗算します。たとえば、ここで提案8を参照してください math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- わかりました。回答してくれたAlexに感謝します。
回答
$ Z = \ sqrt {-2 \ ln（X_1）} $とすると、
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln（X_1）\ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln（X_ 1）\ geq- \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1- \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left（-\ frac {z ^ 2} {2} \ right）\ biggr] \、\ end {align} $ X_1 $は$ [0、1] $で一律に定義されているため、$$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1- \ int_0 ^ {\ exp（-z ^ 2/2）} \、dt = 1- \ exp \ left（-\ frac {z ^ 2} {2} \ right）。$$確かに$$ f_Z （z）= \ begin {cases} \ exp \ left（-\ frac {z ^ 2} {2} \ right）、\ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad、\ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $。したがって、$ X_2 $は$ [0,1] $に均一に分散されるため、$$ f_W（w）= \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}、\ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \、\、\、\ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ $ X_1 $と$ X_2 $は独立しているため、$ Z $と$ W $は独立している必要があります。 $$ f_ {Z、W}（z、w）= f_ {Z}（z）f_ {W}（w）= \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left （-\ frac {z ^ 2} {2} \ right）、\ quad z > 0 \ quad \ text {and} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$関数$ q：（0、\ infty）\ times（ 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $で、$ q（z、w）=（z \ cos（w）、z \ sin（w））$、したがって$$ \ mathbb {P} _ {Y_1、Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z、W} \ circ q ^ {-1} $$つまり、$$ q_ {Y_1、Y_2}（y_1、y_2）= \ frac {f_ { Z、W}（q ^ {-1}（y_1、y_2））} {| \ det（q “（q ^ {-1}（y_1、y_2）））|} $$簡単に$$ zを表示できます= \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ then $$ q_ {Y_1、Y_2}（y_1、y_2）= \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left（-\ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right）$$
回答
$ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ とその
したがって、 $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ および $ X_2 = \ exp {-（Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2）\ over 2} $ 。
同様に、 $ dX_2 = {\ exp {-{Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2}（Y_1 dY_1 + Y_2dY_2）} $ 。
したがって、Jacobian $$ mathbb J $$（{{X_1、X_2} \ over {Y_1、Y_2}}）$ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {-（Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2）\ over 2 } $ 。
PDFの場合、 $ f_ {X_1、X_2}（x_1、x_2）$ $ \ mathbb J $$（{{X_1、X_2} \ over {Y_1、Y_2}}）= $ $ f_ {Y_1、Y_2} （y_1、y_2）$ 、
$ f_ {Y_1、Y_2}（y_1、y_2）= $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ 2以上} $
$ Y_1、Y_2 $ が独立したガウスランダム変数であることを示しています。
Commen ts
- $ X_1 $の範囲は（0,1）である必要がありますが、$ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $は$（-\ frac {1} {4}、\ frac {1} {4}）$