滑るボウリングボールを転がす

滑るときにボウリングボールが初速度で動いている場合、静止したボウリングボールが転がり始めるまでの距離摩擦？

$ \ ddot {x} = \ mu_ {kf} g $

また、ボールの動摩擦によるトルクもあります（R =ボールの半径）

$$ mg \ mu_ {kf} R = \ frac {2mR ^ 2} {5} \ ddot {\ theta} \ implies \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ { kf}} {2R} $$

滑らずに転がる条件は$ v = R \ omega $で、ボールが地面に接触した時点から、横方向の速度は減少し、角速度は増加します。それらが等しい点。私が試したすべてがうまくいかないようであるため、この時点で何をすべきかわかりません。

$$ \ ddot {x} = v \ frac {dv} {dx} = \ mu_ {kf} g \ implies v ^ 2 =（2 \ mu_ {kf} g）x + v_o ^ 2 $$

この微分方程式をどうしたらいいのかよくわかりません。 $ \ theta $を使用して、線形運動方程式で使用できるようにします。時間を使用してみましたが、それがどのように役立つかわかりません。実際の角自体は役に立ちません。

$$ \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ {kf}} {2R} $$滑りがあるため、$ x = R \ theta $とは言えません

回答

ボールが最初に地面に接触したとき、初速度は$ v_0 $であるとしましょう。と初期角速度$ \ omega_0 = 0 $。

ボールに一定のトルクが加えられているので、微分方程式微分方程式は非常に簡単に積分して次のようになります。

$$ \ dot {\ theta} = \ omega = \ frac {5g \ mu} {2R} t + \ omega_0 $$

変位については、ニュートンの法則$ \ ddot {x} =-\ mu g $を直接使用します。これも一定の力を持ち、一度簡単に積分して取得できます

$$ \ dot {x} = v = v_0- \ mu gt $$

ここから、$ v = \ omega R $条件を使用して、ボールが到達するまでにかかる時間を調べることができます。滑らずに転がり始め、その時間ができたら、変位をもう一度積分して、

$$ x = v_0 t- \ frac {1} {2} \ mu gt ^ 2、$$

前に計算した時間を入力して移動距離を表示します。