オッズ比の均一性テストにおけるBreslow-Day統計の正しい方程式

癌研究の統計的方法;第1巻-ケースコントロール研究の分析の著者であるBreslowとDayは、層をオッズ比に結合することの均一性をテストするための統計を導き出します（式4.30）。統計の値が与えられると、テストは、層を組み合わせて単一のオッズ比を計算することが適切かどうかを判断します。

たとえば、2x2分割表が1つしかない場合：

_{（出典： kean.edu ）}

リスクファクターがない場合と比較して、リスクファクターがある場合のオッズ比は次のとおりです。

$$ \ psi =（A * D）/（B * C）$$

複数の分割表がある場合（たとえば、年齢で階層化する場合）グループ）、Mantel-Haenzel推定を使用して、すべての $ I $ 層全体のオッズ比を計算できます：

$$ \ psi_ {mh} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {I} A_i D_i / N_i} {\ sum_ {i = 1} ^ {I} B_i C_i / N_i} $$

分割表ごとに、 $ R1 = A + B $ 、 $があります。 R2 = C + D $ および $ C1 = A + C $ なので、そのテーブルの予想オッズ比を合計で表すことができます。

$$ \ psi_ {mh} = \ frac {AD} {BC} = \ frac {A（R2-C1 + A）} {（R1-A）（C1-A）} $$

これはAの2次方程式を与えます。 $ a $ をこの2次方程式の解とします（1つの根だけが妥当な答えを与えます）。

したがって、一般的なオッズ比の仮定の妥当性についての合理的なテストは、二次偏差を合計することです。それぞれの分散によって標準化された観測値と近似値の数：

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ frac { （a_i –A_i）^ {2}} {V_i} $$

ここで、分散は次のとおりです。

$$ V_i = \ left（\ frac {1} {A_i} + \ frac {1} {B_i} + \ frac {1} {C_i} + \ frac {1} {D_i} \ right）^ {-1} $$

均一性の仮定が有効であり、サンプルのサイズが層の数に比べて大きい場合、この統計は $ I-1 $ の自由度、したがってp値を決定できます。

代わりに、 $ I $を除算する場合層を $ H $ グループに分類し、オッズ比はグループ内では均一であるがグループ間では均一ではないと思われる場合、BreslowとDayは代替統計を提供します（式4.32） ：

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ frac {\ left（\ sum_i a_i –A_i \ right） ^ {2}} {\ sum _i V_i} $$

$ i $ の合計が $ h ^ {th} $ のグループで、統計はカイ2乗であり、自由度は $ H-1 $ のみです（別のマンテルを想定しています） -ヘンゼル推定値は各グループ内で計算されます。

私の質問は、式4.32は私には正しくないようです。どちらかといえば、次の形式になると思います。

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ frac {\ sum_i \ left（a_i –A_i \ right）^ {2}} {\ sum_i V_i} $$

または：

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ sum_ {i} \ frac {（a_i –A_i）^ {2}} {V_i} $$

後者の方程式は、 $ I-1 $ の自由度のカイ2乗分布を近似します。

どちらかこれらの方程式を使用する必要がありますか？