“数”という用語はどういう意味ですか？

この本は非常に古いものです：第2版1903; 1st ed1890。

脚注131ページからわかるように、CantorとDedekindは「主題の文献への興味深い貢献」として言及されています…

したがって、できません。次の扱いを「解明」するために原始的なものとして使用される、定義なしで最初に導入された概念は、現代の（すなわち1930年以降の）集合論的概念に正確に変換できることを期待してください。

私は：

group はオブジェクトの有限コレクションを意味する必要があると思います（もの）

そしてそれ：

物の数グループ内のは、（ディスカッションから）現代のカーディナリティ（有限コレクションに限定）と「明らかに」同等であり、の「プロパティ」と呼ばれます。コレクション（グループ）。

私の解釈では、ものは「個別」、具体的、または抽象的（存在する場合）です。もちろん、ポケットの中の小石や小隊の中の兵士など、具体的なオブジェクトと考えるのは簡単です。

小隊は兵士とのグループです。小隊内の>物の数は、小隊を形成する個々の兵士の数です。

この解釈は、その後の追加の定義に関しても意味があります（CoolHandLouisを参照）。 「回答」。

ここでグループは収集または集約の「一般的な」意味を持っていることに注意してください。の専門用語「グループ」とは関係ありません。 em>グループ理論。

個々のものの「特徴」から「抽象化」するとき（つまり、色、サイズ、ボールの集まりの形など、個々の特性を形成するとき）、コレクション内のオブジェクトの順序から（「モダン」セットの概念でも同じです。{A、B、C}は{C、B、A}と「同じ」セットです。 ）取得するのは、グループ内の物の「数」（コレクションのメンバーの数）です。

思い出してください。セットAの基数を表すCantorの元の表記は、A上の「二重オーバーバー」でした：

Aの上に単一のオーバーバーで注釈が付けられたセットの記号は、順序以外の構造が削除された したがって、セットの注文タイプを表しています。次に、Aの上の二重のオーバーバーは、セットから注文を削除することを示し、したがって、セットの基数を示しました。

コメント

• 一般的な英語で物の数という用語はどういう意味ですか？
• @Anupam -申し訳ありませんが、私は’英語を母国語としないネイティブではありません。 ‘オンラインで Cambridge Dictionaryを検索しました：直接の言い換えはありません：最も類似した慣用語I ‘見つかったのは”特定の種類のもののいくつか：いくつかの理由で行かないことにしました。”ファイン’の慣用語をプリミティブ”専門用語”。
• ” group “は” set “現代の数学。一方、セットは abstract-objects のコレクションです。” group “は、もののコレクションです（抽象的ではありません）。集合論は私の質問とは何の関係もありません。
• 私はこの作品を読んだことがありません’ですが、数学のバックグラウンドを持つ人として、”グループは、オブジェクト（モノ）の有限のコレクションを意味する必要があります”私はうんざりします。
• @ JamesKingsbery-しかし、” group “ここでは群論のように意図されていません。意味は、”コレクション”または”集計”。

はじめに

2つ提供しましたこの質問への回答：

• その他の回答がより良い答えであり、私の主な答えです。 ファイン氏が素朴集合論に言及していることを示唆しています。

• この回答 を提供したのは、 OP は、{A、A、A}が「3つの異なる要素を含む」と考えることを主張しました”とバウンティを投稿しました。それ以外に説得力のあるOPはまったくありませんでした。それでは、同意して賞金を獲得してみませんか？ 🙂

  2つの答えは、公理、定義、規則を異なる場所で変更することによって同じ数学的現象を説明する方法を示しているため、実際には互いに補完し合っています。 あなたはTOEMAYTOEと言います私はTOEMAHTOEと言います。結局のところ、 この答え には、ファイン氏が{A、A、A}が3つの異なる要素を表していると考えたかわいい「数学的な証明」が含まれています。しかし、これで頬をつま先で話す態度を読んでください。答え。

アヌパム、

あなたは正しいです。 Fineは{A、A、A} = 3と見なします。

これを理解したので別の回答を送信しますが、古い回答を残したかった歴史のために。あなたが正しいです！ヘンリーバーチャードファインは3つの具体的なことを意味したので、{A、A、A}は3つとして数えられます。 は、彼のすべての数値演算（彼の本全体の基礎）を足し算で実証するという彼の大前提であるため、彼の発言は間違いではありません。

追加： 2つ以上のグループをまとめて単一のグループを形成する場合、このグループの番号記号は、個別のグループの数の合計と呼ばれます。

合計がsであり、別々のグループの数abcなど、それぞれの関係は、式s = a + b + c + etcで象徴的に表されます。ここで、合計グループは、bが属する2番目のグループに参加することによって形成されることになっています。最初にcが結果のグループに属する3番目のグループなど

abcなどがわかっているときにsを見つける操作は加算です。加算はカウントと省略されます。

6加算If 2つ以上のグループ一つのグループを形成するためにまとめられたもののこのグループの数字の記号は、別々のグループの数の合計と呼ばれます合計がsであり、別々のグループの数abcなどである場合、それらの間の関係は象徴的です合計グループは、bが属する2番目のグループを最初のグループに結合することによって形成されることになっている式sab c +などで表されます。cが結果のグループに属する3番目のグループなど。abcなどの場合にsを見つける操作既知の加算加算はカウントの省略形です

• a、b、cが「グループ/セット」である場合、

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Sum（d）= Sum（a）+ Sum（b）+ Sum（c）

• 次に、グループ/セットを次のように定義します。

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Sum（d ）= Sum（a）+ Sum（b）+ Sum（c）= 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• したがって、Fine氏の「ユニオン演算子」は、d = {A、A、A}およびsum（{A、A、A}）= 3を作成する必要があります。

• Fine氏の「和集合演算子」が通常の集合表記である場合、d = {A}であり、そこから「3」を取得する方法はありません。

したがって、ファイン氏は{A、A、A} = 3と見なします。

これは、Aが3つのコインなどの別個の具体的なオブジェクトを表す場合です。ポケットの中に。

コメント

• 私は’これが正しい結論だとは思いません。 Fineは、合計の目的で”グループをまとめる”とすると、” groups “は互いに素です。
• 文字$ A $を”抽象オブジェクトと想定していますか。 “または”コンクリートオブジェクト”。 $ A $が”抽象オブジェクト”と見なされる場合、$ a $、$ b $、および$ c $はすべて$ 1になります。 、1,1 $の数ですが、の数という用語は”に対してのみ定義されているため、$ d $には$ 3 $の数はありません。グループ”は明確なものを持っています。 $ ” A ” $を”具体的なオブジェクトとして想定している場合”それならすべて問題ありません。
• +1 Anupamの上のコメントに！アヌパム、それはおそらくあなたがコメントで尋ねた’最高の質問です！ブラボーとその質問に+1！私のこの全体の答えは、私が何を意味したかによって異なります！つまり、” abstract “または”コンクリート”。 すばらしい！大好きです！これは、ファイン氏の意図に関する最初の質問と同じだと思います。
• ” A “は具体的なオブジェクトです。

その作業最初に頭に浮かぶのは、エドマンド・フッサールの算術の哲学です。彼は、数の明らかな難しさについて詳細に説明しています。数えるものを数えるには、両方が異なる必要があります（したがって、複数ある場合があります）。そして同じ（あなたは特定のものを数えています）私が「3つのリンゴ」と言うとき、それらはある意味ではすべて同じであり（それらはリンゴです）、別の意味ではすべて異なります（3つあり、空間によって区別されます）他に何もない場合の関係）

「多様性」と「統一性」が同時に存在します。これは、「どのように同じで、どのように異なるか」という質問につながります。

この本で私が最も覚えているのは、違いと区別についての議論です。それは話す価値のあることです。対比できる2つの用語、「異なる」、「区別される」があります。

• 2つのことを区別する必要があります。判断
• 異なることは、物事を区別するための必要条件ですが、十分条件ではありません

数学では、異なるものはすべて区別され、人は、異なるものの全体を考慮します。これにより、人間の判断という難しい部分が回避されます。

この判断は私たちにとって簡単なことがよくあります。私たちが多くのことを明確に認識し、世界がオブジェクトに「結晶化」することは明らかです。ただし、この認識は常にではありません。物事を区別するために必要なことはすべて、ほとんどの日常の状況ではそれで十分です。それは、空間で分離されたオブジェクトの外観を超えて、他の判断方法を使用する必要があるエッジケースでのみです。

物事を区別する能力は、精神物理学の科学分野の主要なトピックです。 1890年代を回って、今日まで続いています。この人間の能力についても多くの哲学的な記述があります。実際、私はそれが哲学の主要な質問であると考えています（他の人は同意しないかもしれません）。

質問に直接答えるには：数学は人間の判断を除外するため、正式なシステムを構築するときは、判断が行われた後に開始する必要があります-私たちは、そのオブジェクトがすべて互いに区別できると仮定してそれを行います。数学のオブジェクトが区別できない場合、それらは同じであると見なされます。これは、異なる可能性があるが区別できない実物には当てはまりません。

注：人間の判断から数学がどのように抽象化されるかについての詳細は、Husserlの本の残りの部分で説明されています。私はここでそれを明確に表現することはできません。最近の科学的研究「多数」に照らして問題があるかもしれないと思います。私はそうではありません確かにまだです。

コメント

• “の問題”はプラトンにまでさかのぼります。 サードマンの議論を参照してください。ただし、数字とは何か、およびそれらが”人間のプロセスをどのようにサポートするかについてはほとんど洞察が得られません

序文

この質問に対して2つの回答を提供しました：

• この回答 がより良い答えであり、ファイン氏が素朴集合論に言及していることを示唆しています。また、ここでは厳密な試みはあまりなく、ファイン氏は単に興味のあるトピックにジャンプします。 この回答が私の主な回答です。

• 提供しました 別の回答 OP が{A、A、A}を含むと考えることを主張したため、これと同じスレッド「3つの異なる要素」と賞金を投稿しました。それ以外に説得力のあるOPはまったくありませんでした。それでは、同意して賞金を獲得してみませんか？ 🙂

  2つの答えは、公理、定義、規則を異なる場所で変更することによって同じ数学的現象を説明する方法を示しているため、実際には互いに補完し合っています。 TOE MAYTOEと言います。TOEMAHTOEと言います。結局のところ、もう1つの答えには、かわいい「数学的な証明」が含まれています。ファイン氏は{A、A、A}は3つの異なる要素を表しています。私がそのような提案をどのように擁護したかを見るのは興味深いかもしれません。

1。この本は素朴集合論を参照しています

次のGoogleブックスのリンクは参照が簡単です：代数の数体系：理論的および歴史的に扱われます “（Henry Burchard Fine、Copyright 1890、Published 1907）。以下は、この1907年の本からの問題の抜粋です：

I。正の整数と正の整数の追加と乗算を規制する法律

1番号。グループを形成する特定の明確なことについて言います（グループとは、1対1の対応にできない有限グループを意味します2）それらをまとめて単一の注目対象にする場合。

グループ内の事柄の数は、グループ内の変更のたびに変更されないグループのプロパティです。セパレートを破壊しない物事の相互の変化、または他のすべてのものからの共通の分離。

このような変化は、物事の特性またはグループ内での配置の変化である可能性があります。繰り返しますが、配置の変更は、物事の順序または小さなグループで互いに関連付けられている方法のいずれかで変更される可能性があります。

したがって、次のように言うことができます。異なるもののグループは、グループ内で配置される順序や、小さなグループ内で相互に関連付けられる方法のこれらのものの特性とは無関係です。

2数値の平等。異なるものの任意の2つのグループの物の数は、最初のグループの物ごとに2番目の物ごとに1つあり、2番目のグループの物ごとに相互に1つある場合は同じです。最初に。したがって、2つのグループA、B、Cの文字数。 D、E、Fは同じです… [Mr。 Fineは引き続き1対1の対応について話します-CoolHandLouis] …

この本が集合論の基礎を説明していることを、初級レベルの「集合論101」クラスを受講する人には明らかです。ファイン氏の「グループ」への言及は、現在「集合」として知られているものであり、彼が「別個のもの」を説明していたときの「要素」への言及であると自信を持って言えます（余談ですが、これは投稿全体が実際には「ナイーブ集合論」と呼ばれるものを参照していますが、それはこの質問/回答にとって重要ではありません。）

ファイン氏が集合論を参照していることを考えると、彼の本は1907年に書かれました。 、私の最初の提案は、ファイン氏のことを完全に忘れて、グーグルで初心者の「集合論」と同じ主題に関する短いビデオのいくつかも見てください。

ファイン氏の脚注「グループとは、有限のグループを意味します。は、それ自体のどの部分とも1対1で対応させることができないものです」は、彼が（素朴な）集合論について話している非常に強力な証拠です。彼は明らかに無限の集合を避けており、集合論の歴史に基づいています。 polのためだったかもしれません繰り返しの理由。彼がキャリアのその時点で論争を起こす理由はなく、特にこの本では、それを安全にプレイする理由はすべてあります。

しかし、それはメタアンサーです。ここに「本当の答え：

2。質問への回答-はじめに

まず、この投稿の残りの言語を21世紀に標準化しましょう：セットは個別の要素のコレクションです。では、「モノ」や「グループ」についてはもう話さないでください。それらは具体的または抽象的、現実的または想像上のものです。

これらの用語の名前を変更してもはではありません新しい言葉は、ファイン氏が言っていたのとまったく同じことを指します。それはすべて定義の問題であり、私はあなたにその違いを示すために行くときにすべてを定義します混乱を引き起こしています。

3。「明確」と「カウント」の見方

まず、ある意味で、あなたは正しいです。あなた自身の個人的な理解の範囲内で/ belief-system /「distinct」、「collection」、「set of things」、「group」の定義、およびそれらをどのように扱うか、あなたは「結論」ですng」「あなたは正しい」。そして、私も数学者も、この意味であなたの「正しさ」に異議を唱えることはできません。 あなたの定義と考え方に基づいて、あなたは絶対に正しいです。しかし、それはほんの始まりに過ぎません。それは混乱を解決しません。

あなたが「正しい」システムを作り上げましょう（「グループ」や「モノ」と言うこともできますが、私は「セット」に標準化しています。および「要素」。使用されている単語は、定義している限り、違いはありません。）

元のポスターによる非標準の集合論規則

• 集合は要素のコレクション。
• 各要素は1つ以上の記号（英数字）で表されます。
• セットのサイズは要素の総数です。
• OPの個別の定義：各要素が異なる位置に表示される場合、各要素は「個別」と見なされるため、{A 、A}には、異なる位置（位置1と位置2）にあるため、2つの異なる要素が含まれています。

質問：{A、A、A}には、 Oriによる非標準ルールを超えるジナルポスター？回答：3。

4。数学集合論（Mr. Fines Book）が「Distinct」と「Counting」をどのように定義するか

ここで、標準的な数学的定義からこれをさらに検討しましょう。

標準の数学集合論規則

• 集合は個別の要素のコレクション。
• 各要素は1つ以上の記号で表されます。
• セットのサイズは要素の総数です。
• 集合論の明確な定義：各要素は、他のすべての要素とは異なると判断できる場合、「明確」と見なされます。文字や単語で表す場合、の区別に関係するのはで、要素の名前が異なるかどうかだけです。書かれた数学では、異なる=異なる名前。

この回答の目的上、同じ名前の何かは区別されません。同じものを指します。つまり、{A、A}は{インド、インド}と言っているようなものです。 2つの国ではなく、1つの国のみを指します。同じ国を2回参照します。それで、カウントはどれですか？ 1つの国、または2回言及されていますか？集合論では、前者です。

「でもなぜ？」あなたは尋ねるかもしれません。ある意味、これは完全に恣意的であると考えることができます。 「それは定義によるものです。」（しかし、それは正当な理由でそうです。集合論の他の多くのことがうまくいくようになりますが、それはこの議論を超えています）。だからあなたはそれを受け入れる必要があります。 、「あなたがあなたの定義に正しいことを認めなければならない」のように。

質問：{フランス、フランス、フランス、フランス、インド、インド、インド、ブラジル、ブラジル}？回答：3セットは3つの異なる場所を参照しているため= {フランス、インド、ブラジル}。

5。ポケットの中のコイン

この理由と、単純にするために、集合論に別のルールを追加するだけです。

• 集合内での重複は許可されていません。

なぜですか？セットは「物の袋」（具体的または抽象的）のようなものです。たとえば、月曜日に左ポケットにある4つのコインについて考えてみましょう。それらが何であるかわからないとしましょう。したがって、C1、C2、C3、C4という名前を付けます。

• Monthly_InLeftPocket_AllCoins = {C1、C2、C3、C4}

このアイデアを考えると、これを{C1、C1、C1、C2、C3、C4}と呼ぶ意味はありません。なぜ最初のコインを3回参照するのですか？すでにポケットに入っています。一度だけ参照する必要があります。次に、コインにいくつかの属性を割り当てましょう。

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0.01;日付= 1999;重量= 2.4993399494 g; Condition = Mint
• C2 = Type = Penny; FaceValue = 0.01;日付= 1999;重量= 2.4990044384 g;状態=良好
• C3 =タイプ=ニクル; FaceValue = 0.05;日付= 2002;重量= 5.0002292833 g;状態=非常に良い
• C4 =タイプ=ニクル; FaceValue = 0.05;日付= 2003;重量= 5.0010022229 g; Condition = Very Good

2つがペニーであることがわかったので、ポケットにあるコインのセットは同じです：

• Monthly_InLeftPocket_AllCoins = { C1、C2、C3、C4}

しかし、ポケットにある（異なる）種類のコインの数を尋ねることができます：

• Monthly_InLeftPocket_TypesOfCoins = {ペニー、ニックル}

火曜日にコインC2、C3、C4を右ポケットに移動しましょう。水曜日のポケットには何が入っていますか？

• Tuesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Tuesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Tuesday_InRightPocket_AllCoins = {C2、C3、C4}

• Tuesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny、Nickle}

コメント

Q1：$ A $と$ A $は区別されないため、$ A $と$ B $は区別されます（あなたが乱暴で、「$ A $を形成するインクの最初の塊」と「$ A $を形成するインクの2番目の塊」を区別しない限り、それは言及することを不可能にします em>これらの$ A $のいずれかを、特定の文字（インクの塊）に言及するために使用される具体的な文字（インクの塊）$ A $として、意図に反して、そのインクの塊とは自動的に異なります。これらすべての場合、私たちは$ A $の「アイデア」について話します。つまり、テキスト内の「$ A $」のインスタンスは、それ自体がテキストの外側で考えられる同じオブジェクトを参照します（最初にそれを可能にするため） 「$ A $」を使用して$ A $について話す場所）この意味でのみ$ A = A $（紙上のインクの具体的な塊として、位置が異なり、異なるため）と2つの$ A $ 「$ A、B、A $」のsは明確性に欠けます。したがって、グループは要素$ A、B $（または必要に応じて$ B、A $）を持つグループと同じです。は$ 2 $です。

Q2：まだオブジェクトと同じではありません。例えば。 1つ目を装着し、2つ目をキャビネットに入れ、3つ目をホットアイロンをかけることができます。あなたが実際に着ているものと同じシャツをホットアイロンをかけていたら、あなたはきっとiitに気付くでしょう。シャツは、プロパティ「色」によって区別できませんが（以前は、プロパティ「サイズ」などによってすでに区別できませんでした）、プロパティ「空間位置」によって区別できます。興味深いことに、これにより、今日のシャツと昨日のシャツを識別する方法が困難になるという問題が残ります。 「区別できる」（「区別できる」とは対照的に）と「同じこと」が何を意味するのか、かなり長い間考えなければなりません。

Q3：要素の区別（同じ色のシャツを使用できる場合があります）は不可欠です。 同じオブジェクトをもう一度数えたくないので（そうすると、ポケットにコインが1つしかない金持ちになります）。まったく（？）異なるアプローチは、「数」を「等価性」（つまり全単射の存在）の下で集合の同値類として定義することです（そして、Fineの「グループ」は今日「集合」と呼ばれるもののようです）このように、2またはTwo-nessの概念は、すべてのセット$ X $のクラスに対応し（または実際には）、特定のセット（私たちが呼ぶもの）への全単射形式$ X $が存在します。 ）$ \ {\ emptyset、\ {\ emptyset \} \} $などの2つの要素。（適切な）クラスについて恐怖がある場合、そのような各等価クラスには特別な「単純な」セットが含まれていることに気付くかもしれません。序数（少なくとも有限の場合、そして一般的には選択された公理の仮定の下で）

コメント

• どういう意味ですか物の数？Q1でグループG：{A、A、B}には2つの物があると言うのはなぜですか、グループGには3つの物があるので、3つではないのはなぜですか。 、グループGの2つのものも同じですが、それらは存在するため、次のように数える必要があります。 o。数学では、物事の数という用語を通常の生活とは異なる方法で使用しますか？カウントの原始的な概念は、グループ内の物の数を計算するときに、グループ内の異なる物の区別を気にしません。なぜ数学では、この種の異常な用語 noを定義したのですか。 。
• 先生、私は質問をより直接的になるように編集しました。少なくとも、数の意味を説明していただけますか。

一般的な英語での「物の数」：1つの答えを与えるのに十分な情報が用語だけではありません。

問題は「物」という用語です。一般的な英語では、これはいくつかを指しますすでに定義されている配置。たとえば、同じ色のアイテムの数やボックス内の卵の数、電話番号にある数字「3」の数。

それがないと、「番号」の意味物事の数は多岐にわたります。これは、あらゆる種類/サイズのコンテナ内のオブジェクトの数であり、想像したい方法で分類されます。

コメント

• グループ{A、A、A}が存在するとします。 このグループには何文字ありますか？答えはどうあるべきですか。
• タイプとトークン
• @MauroALLEGRANZAリンクを参照してください。与えられたものは非常に興味深いものです。 “タイプ” = “抽象オブジェクトおよび”トークン” = “コンクリート”。本の中で、アウトシートのMe.Fineは、次のように述べています。” グループを形成する特定のものについて述べています ” “もの” = “コンクリート” = “トークン”私は正しいですか？
• @Mauro、申し訳ありませんが、皆さんはそれを逆にしています。 ” thing “という単語は’の意味を”タイプ/トークンの哲学”。 google.com/search?q=definition+thing に含まれる “の定義抽象的実体または概念：’喪とうつ病は同じものではありません’。同義語：特性、品質、属性、プロパティ、特性、機能、ポイント、アスペクト、ファセット、癖…
• @Mauro、また、”有限collection “は具体的なことを意味するものではありません。ここに抽象的なもの/要素のいくつかの有限のコレクションがあります：{1,2,3,4,5}、{愛、戦争、平和}。 en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor ‘当時非常に物議を醸していたため、おそらく彼は無限セットを避けました。 s_theory 。

Fineの定義を次のように比較することをお勧めしますディスカッション、RL Goodstein、 再帰数理論（1957）：

「数学的実体の性質は何ですか？」という質問は、2000年以上にわたって思想家に関心があり、答えるのが非常に難しいことが証明されています。これらの実体の何よりもまず、自然数は、wcがそれを定義しようとするときに、意志の意志のとらえどころのないものを持っています。

数が何であるかを言うのが難しい原因の1つは、私たちが指すことができるものが何もないということです私たちが数の定義を探しているとき、私たちの周りの世界で。たとえば、7番目の数は、 7つのオブジェクトの特定のコレクションではありません。そうである場合、他のコレクションに7つのメンバーがあるとは言えないためです。なぜなら、7であるという特性を特定のコレクションであるという特性と同一視する場合、7であるということは、他のコレクションでは持つことができない特性です。数7を定義するより合理的な試みは、7であるという特性は、7つのオブジェクトのすべてのコレクションに共通する特性であると言うことです。ただし、この定義の難しさは、7つのオブジェクトのすべてのコレクションに実際に共通していることを言うことです（7つのオブジェクトのすべてのコレクションに精通できるふりをしたとしても）。確かに、ドアの色はドアのプロパティであるという意味で、コレクションの数はそのプロパティではありません。ドアの色を変更することはできますが、コレクションを変更せずにコレクションの数を変更することはできません。自体。以前は赤で、現在は緑になっているドアが同じドアであると言うのはまったく理にかなっていますが、7つのビーズのコレクションについて、8つのビーズのコレクションと同じコレクションであると言っても意味がありません。コレクションの数がコレクションのプロパティである場合、それはコレクションの定義プロパティであり、本質的な特性です。

ただし、これでは、「7つのオブジェクトのすべてのコレクションに共通しているのは何ですか？」という質問に対する答えに近づくことはできません。この種の質問を進める良い方法は、「コレクションに7人のメンバーがいることをどうやって知るのか」と自問することです。この質問への答えは、7つのオブジェクトのコレクションが共通して共有する何かを確かに明らかにするはずだからです。明らかな答えは、コレクションを数えることでコレクションの数を見つけることですが、コレクションを数えるとき、コレクションの各メンバーに「ラベルを付ける」だけであるように見えるため、この答えは役に立たないようです。数。 （兵士の列に番号を付けることを考えてみてください。）番号がコレクションのメンバーに番号を割り当てることによって見つけられるコレクションのプロパティであると言うことは、明らかに番号の定義を提供しません。

カウントで行うように、コレクションの各メンバーに番号を付けることは、実際には、2つのコレクションのメンバー、カウントされるオブジェクト、および自然数の間の対応を設定することです。 。たとえば、7つのオブジェクトのコレクションをカウントする場合、カウントされたオブジェクトと1から7までの数の間に対応を設定します。各オブジェクトには一意の番号が割り当てられ、各番号（1から7）はコレクションのオブジェクトに割り当てられます。それぞれが他方に一意の関連を持っているときに2つのコレクションが類似していると言う場合、コレクションをカウントすると、カウントされたコレクションに類似した数のコレクションが決定されると言えます。

定義の弱点は、この対応の概念にあります。 2つの要素がいつ対応するかをどうやって知るのですか？受け皿に立っているカップのコレクションのカップと受け皿には明らかな対応がありますが、たとえば、惑星とミューズの間の対応は何ですか？惑星とミューズの間に特許の対応がなくても、それを簡単に確立できると言っても意味がありません。どうすればこれを知ることができますか。さらに重要なのは、どのような対応を許可するのでしょうか。類似性の観点から数を定義する際に、私たちは単に数のとらえどころのない概念を対応の同様にとらえどころのない概念に置き換えました。

一部の数学者は、数字を数字で識別することにより、数字を定義することの難しさを回避しようとしました。 1番は1番、2番は11番、3番は111というように識別されます。しかし、この試みは、数字の性質が数の性質ではないことに気付くとすぐに失敗します。数字は青または赤、印刷または手書き、紛失および発見の場合がありますが、これらのプロパティを数字に帰することは意味がありません。逆に、数字は偶数または奇数、素数または複合の場合がありますが、これらは数字のプロパティではありません。

「数」と「数詞」のアンチテーゼは言語で一般的なものであり、おそらく最もよく知られている例は「命題」と「文」のペアにあります。文は命題の物理的な表現ですが、異なる文（たとえば異なる言語）が同じ命題を表現する可能性があるため、命題で識別することはできません。 [タイプとトークンを参照]

チェスのゲームは、よく観察されるように、数学（または、さらに言えば、言語自体）との優れた類似点を提供します。数字はチェスの駒に対応し、算術演算はゲームの動きに対応します。

ここで、ついに数の性質の問題に対する答えが見つかりました。まず、数字の意味を理解するためには、数字が遊ぶ「ゲーム」、つまり算術に目を向ける必要があることがわかります。 1、2、3などの数字は算数のゲームの文字であり、これらの文字を再生する部分は数字であり、特定の数字の数字を記号にするのはそれが再生する部分です。文脈により適した言葉の形で言うかもしれませんが、特定の数の記号を構成するのは、記号の変換規則です。したがって、oueの調査の対象は、番号自体ではなく、番号記号の変換規則です。

Fineの物の数”、これは”現代の”セット理論的アプローチは、XIX世紀の英国の経験主義の哲学的伝統を参照するのに役立つと思います。

特に、哲学者ジョン・スチュアート・ミルは、彼の作品の一部論理、比率、誘導のシステム（1843）を、算術の基礎の議論に捧げました。

ここに、Fineの定義を明確にすることができるいくつかの節があります：

2つの別々の区画にある3つの小石。 1つの小包に3つの小石があり、私たちの感覚に同じ印象を与えることはありません-そして、場所と配置を変更することによって、まったく同じ小石が、一方の感覚または他方の感覚のいずれかを生成するように作られる可能性があるという主張おなじみの命題は、同一のものではありません。[…]

その科学[数字の科学]の基本的な真実はすべて、感覚の証拠に基づいています-それらは私たちの目に示すことによって証明されますそして、任意の数のオブジェクト、たとえば10個のボールが、分離と再配置によって、合計が10に等しいすべての異なる数のセットを私たちの感覚に示す可能性があるという私たちの指。（ CW VII、 256-57）

したがって、12の立方体が1782であると言うとき、私たちが断言するのは、十分な数の小石または他のオブジェクトがある場合、それらをまとめてth e12と呼ばれる特定の種類の小包または集合体。そして、これらをまとめて同様のコレクションにします。そして、最後に、これらの最大の小包のうち12個を構成します。こうして形成された集合体は、1728と呼ばれるものになります。すなわち、（その形成様式を最もよく知っているために）千の小包と呼ばれる小包、700の小包と呼ばれる小包、20の小包と呼ばれる小包、および8つの小包と呼ばれる小包を結合することによって作られるもの。 （ CW VII：611-12）

ミルの自然主義的アプローチの基礎算術は、”基本的な”の結合と分離のプロセスに基づいており、” Aggregates “の物理オブジェクト。

ミルの経験論者の見解は、 GottlobFregeによって鋭く批判されました。 彼の基本的な Die Grundlagen der Arithmetik （ The Foundations of Arithmetic ）（1884）（1884）。

ミルの数学の哲学の説明については、フィリップキッチャー、ミル、数学、および自然主義の伝統をジョンスコルプスキー（編集者）、に参照してください。ミルへのケンブリッジコンパニオン（1998）、57ページ以降。

コメント

• サー、この別の非常に有用な回答に感謝します。たくさんの関連するテキストを読むのに時間がかかります（私は現在、あなたや他の人が前述した本を調べています）。 算数の歴史に完全に専念した決定的な本はありますか？歴史から始まり、最後に進んで現代の算数がどのように確立されたかを説明できる本。関連するすべてのこと、つまり、誰が、どのように、いつ、なぜ算数を説明する本。 1か月以内に、算術に関する2つの非常に哲学的（および技術的）な質問をします。pingを送信します。
• “現代の” 算術の哲学、カント以降（ただし、JSMillについては説明していません）、マイケルポッター、理由’ s Nearest Kin：Philosophies of Arithmetic from Kant to Carnap （2002）。

この本では、「ものの数」はそれらの表現とは事実上区別されています。パーティーに招待したいゲストがいるとします。招待しているゲストの数はいくつですか？

5人の友達を招待している場合は、ジョン、フレッド、メアリー、ジル、バーニーと呼びます。5人のゲスト友達がいます-パーティーに招待しているもの。

しかし今、パーティーが仮面舞踏会であり、それらがすべて偽装されている場合はどうでしょうか。ジョンは幽霊、フレッドはゴブリン、メアリーは魔女、ジルはカボチャ、バーニーは恐竜の格好をしています。幽霊、ゴブリン、魔女、カボチャ、恐竜になったからといって、パーティーに招待したゲストフレンドの数は変わりません。彼らの特徴は変わりました。もはや友達のようには見えません。彼らの変装のように。

5人がすべて区別できない幽霊の格好をしているとしたらどうなるでしょう。つまり、あなたのパーティーに来た幽霊は1人だけだということですか？いいえ、彼らはまだ空間によって区別できるからです。地域、到着時間、高さ、重さ、シートの色など。

まったく同じ衣装を着ていて、一度に複数の衣装を見たことがない場合はどうなりますか。パーティーでのゲストフレンドの数がわからない場合があります。この変換により、以前はそれらを分離していた明確さが失われているため、アイテムの数を列挙するための有効な変換ではありません。

招待状に関する「ものの数」の概念は、グループのプロパティであり、変更（再ラベル付け、番号の付け直し、並べ替え、ただし重複や排除は行わない）が行われます。 、またはサブセットのカウント）は、要素の区別を保持し、そのプロパティを維持します。そのプロパティの値が1、5、または10億であるかどうかは関係ありませんが、「物の数」がこのプロパティを保持する有限の値であるだけです。

に関して平易な英語では、物事の数はただ…興味のあるアイテムの数です。それ以上に単純になることはなく、そのような単純な概念であるため、口語表現の可能性に問題を引き起こさない正確な定義を書くことは非常に困難です。

この質問（および、さらに言えば、多くの回答）は、公理を与えられたものとして扱うという数学的理論の目的を見落としています。 （たとえば）明確さの概念があり、この概念を持つことの結果を調査します。

言い換えると、「セットに含まれる要素の数$ \ {」という質問をすることは不可能です。 A、A、B \} $？ “最初に$ A $と$ B $についての公理を与えずに。標準の数学的構文によれば、実際には$ \ {A、A”、Bに再ラベル付けした後にのみこの質問をする必要があります。 \} $混乱を避けるためですが、これはコミュニケーションと実用性の問題であり、ドグマではなく、確かにセットに関するある種の真実ではありません。

数学は、Roberto Ungerの言葉を借りれば、「先見の明のある探求」です。世界のシミュラクラ現象の」。あなたが他の誰かのビジョンに同意しない場合、それは完全に大丈夫です。しかし、数学自体に問題があると思う場合は、言語を誤用することによって独自の矛盾を生み出している可能性があります。明確さの概念がどのような特性を持っているかが明確な場合、集合論が適用されます、それはどのように問題になるかだけです。特定の形式の区別を規定するのではなく、すべての形式の区別の共通点を探ります。

そうですあなたの質問への答えは「もの」が何であるかと非常に絡み合っているということ。抽象的な質問として、場の量子論と量子力学の基礎の文脈で物理学コミュニティで繰り返し質問されていることをご存知かもしれません（たとえば、PaulTellerとChrisIshamを参照）。結論の1つは、プロパティが「付着」する本質としての物の概念は拒否されるということです。これは、実際に観察される物理的動作と互換性がないため、テラーが「ラベル付きテンソル積ヒルベルト空間形式」の問題として説明しているものです。したがって、「物の数」の普遍的な定義が必要な場合は、物が何であるか、物理的な観点からの区別可能性が何であるかについてのこれらの考慮事項を回避することはできません（宇宙に適用される定義が必要な場合を除く）。

例を挙げると、右手に1つの光子があり、左手に1つの光子があるとします。どちらの手にあるかで区別できます。つまり、「ポケットに入れる方法の数」は2つです（最初に左手に、次に右手に、またはその逆）。 。ただし、ポケットに入れると、物理的に区別がつかなくなり、「取り出す方法の数」は1になります（1つ、次にもう1つ出てきます）。

コメント

• あなたが挙げたポケットの例のフォトンでは、’ reは2つのフォトンのように見えます。彼らのアイデンティティ（左/右）は失われます（どちらが最初で、もう一方が2番目かを知っている人）。 ‘少しの情報を失ったとしても、’はまだ2つあります。失われるデータは、”が左側/右側の”プロパティにあり、一般的な光子の特性。すべてのプロパティが同じように不要であると言っているようですが、これがiv id = “にとって克服できない問題であると言っている場合は、’解決できません。 2b22048b23 “>