多変量ブラウンブリッジを作成するにはどうすればよいですか？

標準の多変量ブラウンブリッジ$ y（\ mathbf u）$は、共分散関数$$ \ mathbb E（ y（\ mathbf u）y（\ mathbf v））= \ prod_ {j = 1} ^ d（u_j \ wedge v_j）-\ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$

このような多変量ブラウンブリッジを構築する方法がわかりません。

最初に考えたのは、どういうわけか単変量ブラウンブリッジから始めることでした。それについての情報と、これを実行できるRのパッケージでさえも見つけましたが、これは単変量ブラウンブリッジのみです。

これしかし、私が理解しているように、ここで行われたことは、上記で定義された標準的な多変量ブラウンブリッジではありません。このペーパーで。

ヒントとサポートをいただければ幸いです。

Deheuvelsの論文リンクで見つけたようにブラウンブリッジ$ B_t $とブラウンシート（またはウィーナーシート）の間の次の関係$ W_t $：$$ B_t：= W_t- \ frac t T W_T $$したがって、問題はブラウンシートのシミュレーションに帰着すると思います。これについては別の質問で質問します。
訂正、より多くの次元の関係は$$ B _ {\ mathbf t}：= W _ {\ mathbf t}-\ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {（1、…、1）} $$
関連： stats.stackexchange.com/questions/34354/ …

回答

すでに指摘したとおりコメントの中で、質問はブラウン運動のシートをシミュレートすることになります。これは、ブラウン運動のシミュレーションを簡単な方法で一般化することで実行できます。

ブラウン運動をシミュレートするには、i.i.d。平均0分散-1時系列 $ W_i $ 、 $ i = 1、2、\ cdots $ 、正規化された部分和プロセスを構築します $$ X_n（t）= \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i。 $$ $ n \ rightarrow \ infty $ として、 $ X_n $ の収束は弱くなります（ボレル確率の意味は、距離空間で測定されます）スコロホッド空間の標準的なブラウンの $ B $ に $ D [0 、1] $ 。

iid有限の二次モーメントの場合は、シミュレートする最も簡単な方法です。数学的結果（関数中心極限定理/ドンスカーの定理/不変性の原理）は、はるかに一般性が高くなります。

（たとえば、2次元の）ブラウンシートをシミュレートするために、iid平均0分散を取ります。 -1つの配列 $ W_ {ij} $ 、 $ i、j = 1、2、\ cdots $ 、および正規化された部分和プロセスを構築します $$ X_n（t_1、t_2）= \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1]、1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}。$$ As $ n \ rightarrow \ infty $ 、 $ X_n $ は、単位正方形のSkorohod空間 $ D（[0,1] ^ 2）$ の標準ブラウンシートに弱く収束します。。

（証明は標準的な弱い収束の議論です：

有限次元分布の収束はLevy-LindebergCLTから得られます。
$ D（[0,1] ^ 2）$ は、i.i.d。で自明に保持される十分なモーメント条件から続きます。有限二次モーメントの場合—たとえば、ビッケルとウィチュラ（1971）。）

次に、連続写像定理 $$ X_n（t_1、t_2）-\ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n（t_1、t_2）$$ は2次元のブラウン橋に弱く収束します。

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