等電位面が交差する場所で電界がゼロになるのはなぜですか？

まず、目的の動作を示す簡単な例で空気をきれいにしましょう（これは、ほとんどの重要なケースと本質的に同型です）。特に、次の主張：

ポテンシャル$ V（x、y、z）= V_0 \、xy $は完全に有効な静電ポテンシャルであり、非常に自然に、線に沿って交差する2つの等電位面（$ yz $平面と$ xz $平面）があると見なすことができます。

その例は、力線のような等電位面が決して交差しないという通常の直感に不快感を与える可能性がありますが、それは完全にチェックアウトします-そしてそれはあなたの教授の主張と一致しています、電界、$$ \ mathbf E =-\ nabla V = -V_0（y \、\ hat {\ mathbf x} + x \、\ hat {\ mathbf y}）、$$ van交点$ x = y = 0 $で洗浄します。

（エンベロープをもう少し拡張したい場合：これは当然、任意の数の等電位面の交点に一般化されます。行、$ n $極ポテンシャルに変更するだけで$ V（x、y、z）= V_0 \、\ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left（x + iy \ right）^ n \ right] \ mathclose {} $。）

では、何が起こっているのでしょうか。それとも、手元のステートメントに実際の数学的肉をどのように提供するのでしょうか。

では、等電位面を定義することから始めましょう。面$ S：（D \ subseteq \ mathbb R ^ 2）\ to \ mathbb R ^ 3 $は静電ポテンシャル$ Vの等電位です。 ：\ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V（S（u、v））= V_0 $は、すべての$（u、v）\ in D $に対して一定です。さらに、任意の時点で$表面上の\ mathbf r = S（u、v）$、電場$ \ mathbf E =-\ nabla V $は、接平面$ TS_ \ mathbf r $の内側にある任意のベクトルとの内部積がゼロです。曲線$ \ gamma：（a、b）\ to D $を取り、恒常性関係$ V（S（\ gamma（t）））\ equiv V_0 $を微分した結果として、$ \ mathbf r $で表面化するパラメータ$ t $に、$$-\ dot \ gamma（t）\ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma（t）\ cdot \ mathbf E = 0 $$をすべてのベクトルに与えます$ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $。その平面は2次元であり、空間は3次元であるため、表面には固有の法線方向$ \ hat {\ mathbf n} $があり、$ \ mathbf E $は次のことを行う必要があると推測します。その通常の（または、おそらくゼロ）と平行であるが、コアの結果は、接平面内の任意の方向に沿った$ \ mathbf E $ “sコンポーネントが消える必要があるということです。

OK、それでは、アンティを上げて、2つの異なるサーフェス$ S_iを考えてみましょう。 ：D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $、$ i = 1,2 $、これはある点$ \ mathbf r_0 $で交差し、両方の表面が$ V $の等電位であることも規定します。

すぐに、$ V = V（\ mathbf r）$は（単一値）であるため、両方の表面上のすべての点のポテンシャルは同じ定数に等しくなければならないと推測できます。 ） 関数。 $ \ mathbf r_0 \ in S_1 $に対して$ V（\ mathbf r_0）= V_1 $と等しい場合、$ S_1 $全体で$ V_1 $と等しくなければなりませんが、$ \ mathbf r_0 $も$ S_2 $にあるため、$ V $は、$ S_2 $全体で$ V_1 $と等しくなければなりません。これはおそらく、あなたが次のように報告しているという主張であなたの教授が話していたことです

彼はまた、2つの等電位面が交差できないと主張しました。同じ時点で、

しかし、これは

にはるかに近い可能性が非常に高いです。

異なる電位を持つ2つの等電位面 は、同じポイントで2つの異なる電位を与えるため交差できません。

それは簡単なことです。ここで、重要なことを言いましょう。交差点の電界はどうですか？

最初に簡単なケースから始めて、等電位が適切な次元を持っていると仮定しましょう。曲線。これは、交差に沿った任意の点$ \ mathbf r $で、2つのサーフェスの接平面が線上で交差し、それぞれが他に属さない別個の線形独立方向を持つことを意味します。

これにより、以前に開発したツールを取り込むことができます。$ \ mathbf E $は、いずれかの接平面の内側にあるベクトルを使用して、消滅する内部積を持つ必要があることがわかります。 3つの線形独立ベクトル$ \ mathbf e_1、\ mathbf e_2 $、および$ \ mathbf e_3 $が消え、1つは交差点に沿って、もう1つは各平面に沿って独立したベクトルがあります。任意のベクトル$ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $が線形独立$ \ mathbf e_i、$の$ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0、$を満たすことができる唯一の方法は、$ \ mathbf v = 0 $の場合です。 。これがあなたの教授の主張の由来です。

最後に、質問の最後に述べたもう少し病的なケースについて説明しましょう。

[…]タッチするのと同じ電位を持つ2つの異なる等電位面だけが存在できないのはなぜですか？

これは悪い質問ではありません。答えは本質的にこれが発生する可能性があるということですが、発生する状況は非常に病的であるため、ほとんどの場合、その赤ちゃんを捨てる準備ができています。お風呂の水。「2つの表面が交差する」とは、通常、曲線に沿って1つの交差する次元があることを意味します。表面が接触したり、同様の病理学的挙動を示したりする場合は、明示的に次のように注意します。 。 （数学者は言語にもう少し注意を払っていますが、物理学者はもっと面白いことをしているので、細かいことをいじるのに時間を無駄にすることはできません。）

とにかく、2つの等電位を持つポテンシャルが必要な場合は一点で触れると、私が考えることができる最もクリーンな例は、$$ V（x、y、z）= z ^ 2-（x ^ 2 + y ^ 2）^ 2、$$です。ここで、等電位$ V（\ mathbf r）= 0 $は、頂点で接触する2つの円形放物面です。これは、ラプラス方程式の解ではありません。つまり、自由空間では妥当なポテンシャルではありませんが、電荷密度$ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $を設定するだけで、ある程度の妥当な分布が得られます。それを節約したい場合は、$$ V（x、y、z）= z ^ 2-（x ^ 2 + y ^ 2）z、$$を選択することをお勧めします。 rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $は非常に合理的であり、放物面の1つを$ z = 0 $平面に交換します。

これで、これらの例の両方について、あなたのポテンシャルとしてかなり高次の多項式を持っていて、電界は等電位の交点で消えます。等電位に触れ、そこにゼロ以外の電界があるものが必要な場合、私が思いついた最も近い方法は、上記の2つの例を組み合わせて、3つの等電位（2つの放物面と$ xy $平面）を与えることです。ある時点で、$$ V（x、y、z）= \ left（z ^ 2-（x ^ 2 + y ^ 2）^ 2 \ right）z、$$と$ V（0,0、z ）= z ^ 3 $の依存性は、$ z $軸に沿っており、立方根を取り、$$ V（x、y、z）= \ left [\ left（z ^ 2-（x ^ 2 + y ^ 2）^ 2 \ right）z \ right] ^ {1/3}、$$これは上記と同じ接触等電位を持ちますが、今では一定の電界を持っています$ \ nabla V =（0,0 、1）$すべてのポイント$（0,0、z）$で$ z \ neq 0 $。ただし、残念ながら、$ z $軸と$ xy $平面に沿った$ \ mathbf r \ to0 $の制限がないため、電界がゼロ以外であると実際に結論付けることはできません。 「通勤しないでください。実際、$ \ nabla V $は$ xy $平面の至る所で発散しています。

$ xz $平面に沿って切断したときの等電位の風景をここに描いて、アイデアを出します。このタイプのケースを検討することにより、プッシュされる病理学的構造のタイプの例：

^{ソース：インポート[“ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m “] [“ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png “]}

3Dビューの等電位に面する鋭い崖$ V（x、0、z）$の値は、$ z $軸から接近したときの原点を除いて、電場が$ V = 0 $等電位でどこでも無限であるという事実の明確なマーカーです。

とにかく、それはあなたがhavに支払う必要がある種類の価格ですすべてを素晴らしく滑らかに保つために、接触点でゼロ電界を必要とせずに接触する等電位。ただし、一般的には、通常の交差点を要求することにより、法令によってこれらのケースを破棄するだけです。

電界が定義されています静電ポテンシャルの（負の）勾配として。したがって、等電位によって定義される線/表面に 電界が存在することはありません。

つまり、等電位上の点で許容される唯一の電界は、等電位面、そうでない場合は、面に沿って非ゼロ成分があります。

2つの異なる交差する等電位がある場合、ゼロ以外の電界はゼロ以外の電界を持つため、有効な電界はゼロのみです。 -等電位の少なくとも1つに沿ったゼロ成分。

例外は、等電位面が交差点で平行である場合に表示されます。

コメント

• I 'は、平行な法線で一点に接触する等電位でポテンシャルを生成しようとしましたが、これまで失敗しましたが、それでもゼロ以外の電気を生成しますそこにフィールド。
• @ Robがそれをスクラッチして、例を見つけましたが、'はI これまでに見たことがあります。ゼロ以外の電界で等電位に触れると、そのような病理学的挙動が必要になることを示すことができると思いますが、'どのように' dはそれを証明します（または、実際、'そうするのに多くの時間を費やすのに十分な注意を払った理由）

2つの等電位面は交差できません。等電位面の任意の点での電界の方向は2つの等電位面が交差する場合、交点の電界は、それらの点の最初の面と2番目の面の両方に垂直になります…つまり、2つの等電位面が交差する可能性がある場合、電界は、各交点で2つの方向を指します。1つは最初の表面に垂直を指し、もう1つは2番目の表面に垂直を指します。これは不可能です。

コメント

• 交点でフィールドがゼロでない限り？
• 潜在的な$ V（ x、y、z）= V_0 xy $は完全に有効な静電ポテンシャルであり、線に沿って交差する2つの等電位面（$ yz $平面と$ xz $平面）を持っていると非常に自然に見ることができます。
• 非常に興味深い…私は'週末にGriffith 'の本を引き出して行う必要があります少し復習します… Haven ' 5月に卒業して以来、静電気を研究していません。

交差すると電界の方向が曖昧になり、不可能になるためです。

コメント

• 明確？なぜそれが問題なのですか？
• はい、あなたの答えが言うように、曖昧ではなく曖昧です。

また、2つの等電位面は交差できないため、同時に2つの異なる電位が得られると主張しました。ポイント。

電気双極子の電界と等電位面を考慮します

画像クレジット

等電位面は交差しません。また、表面の密度は、2つの電荷の間および電荷を通る線に沿って最大になります。

ここで、理想的な電気双極子の限界にあるこれらの等電位表面について考えます。

画像クレジット

一定の双極子モーメントの場合、分離距離が短くなるにつれて（プラス/マイナス）電荷が増加する必要があります。これは、を通る線に沿った等電位面の密度です。表面は限界で発散する必要があります。等電位面のすべては理想的な双極子の位置で交差する必要があり、電界はそこで特異であるようです。

コメント

• 球は等電位ではないので、接触点を通過する等電位サーフが無限に多いことは明らかではありません…わかりません…
• @ ValterMoretti、OK、2つの非導電性球体。それぞれ、反対の符号と同じ半径の固定された均一な電荷密度を持ち、z軸に沿ってxy平面の上下に対称的に配置されていますが、平面には接触していません。これは、鏡像法の問題のようなにおいがします。もしそうなら、x-y平面はゼロポテンシャル面ですか？次に、正（負）の等電位面が正（負）に帯電した球を取り囲み、球を近づけると、それらの面が'圧迫されます'球の中心を通る線に沿って一緒に最終的に接触しますか？
• さて、分離面とは異なる等電位面が（非導電性の）球に入ると思いますが、私の例ではそうではありません作業：球が互いに接触するとき、接触点を通る等電位表面は1つだけです。したがって、私の例は機能しません。
• @ValterMoretti、等電位が球に入ることができるかどうか疑問に思っていたので、コメントが届いたときにジャクソンを調べ始めました。
• はい、等電位面は球に入る必要があります。左側の球の内側の任意の点を取ると、球自体による電界が消えます。したがって、左球場の内側の電場は完全に右球によるものであり、左球の外側を中心とする点電荷の電場と同じです。等電位面がこの方法で左球に入るのは明らかです。私はここで表面的に帯電した球について考えていました！料金がボリュームにある場合は？わからない