オウムは着陸せずにどこまで飛ぶことができますか？

飛行の鳥は、人を上空に飛ばして運ぶことができる機械の設計の元々のインスピレーションでした。したがって、そうではありません。鳥の飛行と航空機の空気力学には多くの共通点があることは驚くべきことです。具体的には、どちらも飛行を維持するためのエネルギー源として質量を消費します。飛行機の場合はジェット燃料またはガソリン、貯蔵された体脂肪鳥の場合、両方に翼があり、飛行中に空気が鳥の上を移動するときに空力的な揚力を提供します。さらに、どちらも飛行のもう1つの特徴である滑空を共有します。この飛行を維持するために独自のエネルギーを提供せずに飛行を継続するこのエネルギーは、地域の「ポケット」の温度差によって引き起こされる上昇する空気流の形で大気自体によって提供されます空気の;アルキメデスの原理が機能しているため、密度が低いため、周囲の空気よりも暖かい空気のポケットが上昇します。同様のプロセスは、湿った空気の小包が湿った空気と同じ温度の乾燥した空気に囲まれているため、乾燥した空気よりも密度が低い場合に発生します。上昇する空気の3番目の原因は、地域の地形によるものです。尾根や山の風上側の空気は上向きに強制され、鳥が揚力の源として頻繁に使用します。

滑空飛行の議論には、必然的に大気物理学のいくつかの側面（別名、天気）が含まれますが、ここでも違いはありません。前述のように、乾燥した空気に囲まれた湿った空気の小包は同じ温度が上昇します。その温度がその空気の区画の飽和温度（露点）を超えている限り、水は蒸気の形のままになります。大気中で高くなると、温度が下がることは誰もが知っています。山の頂上では、その麓よりも涼しいです。したがって、湿った空気の区画が上昇すると、その温度は低下し、最終的にはその温度はその区画の露点と同じになり、その水分が結露する、つまり雲が形成されます。大気中の恒温面はほぼ水平な面であるため、この凝縮が始まるレベルである、底辺がすべて同じレベルにある空の雲が見えます。さて、熱力学について少し説明します。熱（つまりエネルギー）を加えて水を沸騰させると、液体の水が蒸気（蒸気）に変わります。これが、その蒸気を露点まで冷却すると、凝縮して液体の水に戻り、そうすることで、熱（沸騰させるために投入された）を再び得る ！その回収された熱は、水蒸気をあきらめたばかりの空気の温度の上昇として現れます。この温度の上昇により、空気は上昇し続けます。これは、温度差によるものです。 水蒸気の圧力差ではなく、周囲の空気。雲は上向きに成長し続けます。これは、最終的に雷雨を形成する可能性のある、空に見られる卵丘雲の発生源です。この議論は、滑空飛行に関する私たちの議論に直接関係する天候に関する重要な事実。上昇気流がない場合、雲はありません。それは正しいです。雲が形成されるためには、湿った空気を含む上昇気流が存在する必要があります。 。雲がないということは、上昇気流がないことを示しています。上昇気流がない場合、滑空飛行はありません。ただし、本当に乾燥した空気を見つけるのは非常に難しいことに注意してください。まだ周りにサーマルがあるかもしれませんが、そうは思われません、そしてそれらはあまり強くありません。この議論からのポイントはこれです：滑空飛行に起因する最大範囲の増加を含めたい場合、天気を予測できる必要があります（まだ起こっていません、そして私はこれを何年も費やした人として言います大気研究に積極的な学部生および大学院生として。）したがって、長距離滑空飛行については、ここではこれ以上取り上げません。

動力飛行の分析は、次のことを考慮して開始します。特定の飛行機、たとえばボーイング787パッセンジャージェット。最大距離を見つけるには、航空機は完全に燃料を補給し、離陸して水平な一定速度の飛行経路を飛行します。これは、加速（高度の変更または高速化による）がウエストになるためです。燃料。燃料タンクが乾くと、動力付き飛行の最大範囲に達します（もちろん向かい風や追い風がないと仮定します）。

分析の観点から、 787によって運ばれる燃料は、その動力源である $ E_s $ です。エンジン。これらのエンジンは、787の縦軸に平行に水平方向に向けられた推力 $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ を生成します。そして飛行経路に対して、それは大気抗力の影響を打ち消します、 $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ 反対飛行経路に沿った787の動き。安定した飛行条件（一定の速度と高度）では、787にかかる正味の水平力はゼロであるため、 $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ 、または $ \ mathbf {D} =-\ mathbf {T} $ 。この式の両側の大きさをとると、 $ D = T $ であることがわかり、 $ \ mathbf {\ hat { D}} =-\ mathbf {\ hat {T}} $ 。エンジンによって生成される推力は、大気の抗力と同じ大きさですが、反対方向を向いていることがわかります。

同じ飛行条件下で、に作用する力の垂直成分について同様の関係が見つかります。 787、その重量、 $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ はリフト $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ は、翼によって生成されるため、 $ F_w = m_p g = L $ および $ \ mathbf {\ hat {L}} =-\ mathbf {\ hat {F}} _ w $ ここで、 $ m_p $ は瞬間質量（=飛行機の離陸質量、 $ m_ {p_0} $ から消費された燃料の質量を差し引いたもの）です。 787のはるかに発生する推力）および $ g = 9.8 \、\ text {m / s} ^ 2 $ は、地球の表面での標準的な重力加速度です。ここで、これらの飛行条件下では、 $ \ mathbf {L} $ と $ \ mathbf {F} _wの両方に注意してください。 $ は $ \ mathbf {T} $ および $ \ mathbf {D} $ 。

$ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ になるように推力を取り除くと、抗力はなくなります。反対が長くなり、飛行機の速度が低下し、翼上を流れる空気の速度が低下します。これにより、翼の揚力が減少し、飛行機の降下が開始されます（その重量は、翼によって生成される揚力よりも大きくなります。翼）次に、平面が水平から $ \ alpha $ の角度で「機首下げ」されると、平面の重量ベクトルの投影 $ \ mathbf {F} _w $ はゼロではなくなり、代わりに $ \ mathbf {になります。 F} _w \ sin \ alp ha $ は抗力に対抗して前方に向けられました。この投影と抗力ベクトルの合計がゼロになるように $ \ alpha $ が選択された場合、平面は一定の速度と抗力の大きさで下降します。 $ D = F_w \ sin \ alpha $ で与えられます。平面の縦軸に垂直な軸への重みベクトルの投影 $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ は、次のようにバランスが取れています。大きさは反対方向のリフトベクトルで、その大きさは $ L = F_w \ cos \ alpha $ になります。比率をとすると、 $ D / L $ \ begin {equation} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alphaが見つかりました} = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {equation} この比率の逆数、 $ L_D = L / D = （\ tan \ alpha）^ {-1} $ は、空気力学では揚力対抗力比として知られていますが、角度は $ \ alpha $ はグライドスロープ角度と呼ばれます。これらの2つのパラメータは、機体の空気力学の全体的な特性評価において重要です。この比率がわかれば、これを使用して水平飛行ではドラッグしますが、水平飛行では、揚力の大きさは飛行機の重量 $ L = F_w = m_p g $ と同じです。この式を式〜 $ \ eqref {1} $ に代入し、抗力を解きます \ begin {equation} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {equation}

ポイントに到達しました飛行機の飛行の質量/エネルギー収支に対処する必要があるという分析。飛行機の質量を空の（燃料のない）質量に分離すると便利です。 $ m_ {p_e} $ 、および利用可能な燃料の質量 $ m_f $ と、 $ m_ {f_0} $ 。これらの量を定義すると、平面の初期離陸質量は $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ 、瞬間質量は $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ で与えられます。飛行中、利用可能な燃料、 $ m_f $ は、 $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ のように変化しますが、平面の質量は $ m_p $ 、 $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ のように変化します。

（微分）量を消費するときに抗力に対して仕事をするために利用できる正味の有効エネルギーを決定するために必要な2つの追加の定数があります $ \ delta m_f $ 微分）距離 $ \ delta \ mathbf {r} $ を飛行中の燃料の/ span>。これらの最初の $ \ kappa $ は、総（微分）エネルギー $ \ delta E $ 、燃料の量 $ \ delta m_f $ の燃焼から利用可能 \ begin {equation} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {equation} 787などのアメリカの飛行機の場合、 $ \ kappa $ 消費される燃料の 1ポンドあたりのBTU のような単位があります。 2番目の $ \ eta $ は、利用可能なエネルギーを実際の仕事に変換する効率を指定します。 $ \ delta W $ 、抗力を打ち消す推力を生成 \ begin {equation} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = -\ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = –m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {equation} ここで、 $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ は、定速、水平運動、マイナス時の飛行経路に沿った微分変位ベクトルです。記号は、飛行機のエネルギー貯蔵がドラッグに対抗するために使用されるときに消費されるという事実を説明しています（基本的に散逸的なプロセス）。

$ \ delta $ は派生物になり、 $ m_p $ で除算し、 $ m_p = m_ {p_e}を使用します。 + m_ f $ と積分変数をプライムされた量に置き換える、、 Eq。〜 $ \ eqref {4} $ は積分形式 \ begin {equation} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm “} {m_ {p_0} + m”} = –g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr “\ tag {5} \ label {5} \ end {equation} 離陸時に評価された積分の限界と、現在のダウンレンジ位置の距離離陸から$ r $ 。

式〜 $ \ eqref {5} $ に示されている統合を実行して単純化すると、結果は \ begin {equation} m_p = m_ {p_0} e ^ {-\ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {equation} 平面の質量 $ m_p $ は、飛行距離 $ r $ 。 $ r = r_m $ を、すべての燃料が消費された平面の最大範囲とします（ $ m_f = 0 $ <の場合） / span>であるため、 $ m_p = m_ {p_e} $ ）、式〜 $ \ eqref {6} $ は \ begin {equation} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {-\ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \になりますtag {7} \ label {7} \ end {equation} この式が Tsiolkovskyロケット方程式の式と類似していることに注意してください。

Eq。〜 $ \ eqref {7} $ は最大範囲 $ r_m $で解くことができます \ begin {equation} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left（\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right）\ tag {8} \ label {8} \ end {equation} 驚くほど単純な結果で、すべてが考慮されています。この結果は、質量を消費して推力を生成する推進システムによって提供される空気中の前進運動によって揚力を得るすべての空力システムに引き続き有効です。セスナ172、または172のニトロ駆動ラジコン（RC）モデルに適用できます。172の電気（バッテリー）駆動モデルには適用できませんでした。 バッテリーからの質量損失、または任意のタイプのグライダー（推力または質量損失なし）。ただし、オウムを含むあらゆる飛行鳥に適用できます。

オウムの場合、エネルギー源は体に蓄えられた脂肪です。この塊は、それを $ \ text {CO} _2 $ に変換する代謝プロセスと、呼吸中に排出される水蒸気、そしてオウムのように汗と尿として消費されます。ハエ（オウムの「排気」）。体脂肪のエネルギー含有量（ $ \ kappa $ 、式〜 $ \ eqref {3} $ ）は1グラムあたり9（食品）カロリーです。1食品カロリーは1キロカロリーに相当し、SI単位で4184ジュールに相当します。Wikipediaを参照してください。記事食物エネルギー。

人体に蓄積されたエネルギーを機械的な仕事に変換する効率は $ 18 \％$ – $ 26 \％$ （Wikipediaページ Muscleを参照）。他の温血脊椎動物についても同様の数が予想されるため、1つの重要な数値として、 $ \ eta = 20 \％= 0.2 $ （無次元量）。

脂肪である体重の割合には非常に広い範囲があるようです。一部の渡り鳥は最大 $ 70 \％$ を持っています（を参照してください。 ただし、オウムは一般に渡り鳥とは見なされません。ウェブページさまざまな野生のオウム種の飛行距離の比較には、320の渡り距離が記載されています。たとえば、厚く請求されたオウムの場合はkmです。したがって、 $ 70 \％$ の数値は大きすぎる可能性があります。一方、極端な場合、すりつぶした牛には $ 10 \％$ 脂肪ですが、より一般的には $ 20 \％$ に近くなります。値を選択します $ 35 \％$ のようにこれらの極値の中央値をやや下回っています。

オウムの典型的な質量は、確認が難しいもう1つの数値です。オウム科のさまざまなメンバーの体重の非常に大きな違いです。たとえば、ウェブページ一般的なオウム種の平均鳥の体重には、52種のオウムのデータが掲載されており、それぞれにいくつかのエントリがある他の4種へのリンクがあります。これらは、キンカチョウの10グラムから、2桁を超える質量範囲をカバーするベニコンゴウインコの1530グラムまでさまざまです。結論：「典型的な」オウムのようなものはありません！結果を比較するための長距離データがあるため、ハシブトインコを選択します。ウィキペディアのページハシブトインコの質量範囲は315〜370グラムです。となるように、370グラムを使用します。 $ m_ {p_0} = 0.37 \、\ text {kg} $ 、 $ 35 \％$ は燃料と見なされるため、 $ m_ {f_0} = 0。16 \、\ text {kg} $ オウムの「空の塊」を $ m_ {p_e} = 0.24 \、\ text {kg} $ 。

推定するパラメータが1つ残っています。それは、揚力を見つけるために使用されるグライドスロープ角度 $ \ alpha $ です。上記の抗力比。 $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \、\ text {radian} \ upperx 60 ^ o $ 、 $ \ alpha = 10 ^ {-1} = 0.1 \、\ text {radian} \ upperx 6 ^ o $ または $ \ alpha = 10 ^ {-2} = 0.01 \、\ text {radian} \ upperx 0.6 ^ o $ 。明らかに $ 60 ^ o $ も遠すぎます急勾配で $ 0.6 ^ o $ は浅すぎるため、 $ 6 ^ o $ を唯一の許容可能な順序として残します。大きさを選択するため、 $ \ alpha = 10 ^ {-1} $ ラジアンを設定します。これは、ほとんどの飛行鳥に有効な数値です。

繰り返します。 Eq。〜 $ \ eqref {8} $ 、 $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left（\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right）$$ そして上からオウムの値を代入します（単位変換係数を含む）

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left（\ frac {4184 \、\ text {J}} {\ text {gm}} \ right）\ left（\ frac {1000 \、\ text {gm}} {\ text {kg}} \ right）\ left（\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ right）\ right ] \ left（0.2 \ right）} {\ left（\ frac {9.8 \、\ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right）\ left（\ tan \ left（0.1 \ right）\右）} \ ln \ left（\ frac {0.37 \、\ text {kg}} {0.24 \、\ text {kg}} \ right）\ approx 370 \ text {km} $$

「オウムは1日で[力の下で]どこまで飛べますか？」という質問に対する答えが見つかりました。

$$ \ boxed {r_m \ upperx 370 \、\ text {km}} $$

a 実際の（vs 最大）1日あたりの移動範囲が320kmである利用可能な（限られた）データと密接に一致する数。

It 「動力飛行のこの最大範囲は、滑空飛行が含まれている場合の最小範囲と見なすことができることに注意してください。理想的な気象条件の下で、オウムが飛行中に遭遇した利用可能な熱を利用する場合、実際の最大範囲は大幅に拡張される可能性があります。