数学的には、経路積分は多次元の一般化です。積分。通常の$ N $次元の積分では、$ N $次元の積分である$ {\ mathbb R} ^ N $の部分空間上で$$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$を積分します。経路積分は、変数$ y $のすべての可能な関数$ f（y）$に対する無限次元の積分$$ \ int {\ mathcal D} f（y）\、Z [f（y）] $$です。これは実数またはベクトルの場合があります。関数$ f（0）$、$ f（0.1）$、$ f（0.2）$などの値は、通常の多次元積分の変数$ x_1 $、$ x_2 $などと同じ役割を果たします。 。
$ x_i $のインデックス$ i $は、有限集合$ 1,2、\ dots N $の値をとっていたため、連続変数$ y $に置き換えられたため、経路積分は次のようになります。無限次元の積分。
厳密な数学者は、測度論を使用して無限次元の経路積分を定義することを妨げる多くの問題を認識しています。しかし、物理学者は、同様の積分が扱われる可能性があることを知っています。計算しようとすると「紫外発散」などが発生しますが、対処できる場合があります。本質的に、有限次元の積分に適用されるすべての自然な規則を使用したいと考えています。たとえば、2つの関数の合計の（パス）積分は、2つの（パス）積分の合計などです。
物理学におけるパス積分の2つの最も重要なアプリケーションは、ファインマンのアプローチです。量子力学、特に場の量子論、そして統計力学に。
（古典的な）統計力学では、分割和を計算したい$$ Z = \ sum_C \ exp（-\ beta E_c）$$物理システムのすべての構成$ c $にわたって。ただし、構成は関数全体$ f（y）$によってラベル付けされることが多いため、引数$ y $のすべての許可された値で無限に多くの値があり、合計は実際には「」ではありません。和”。有限次元の積分ではありません。経路積分です。
量子力学では、複素確率振幅などは$$ {\ mathcal A} _ {fi} = \として計算されます。 int {\ mathcal D} \ phi（y）\、\ exp（iS [\ phi（y）] / \ hbar）$$つまり、変数$ \ phi（y）$などのすべての構成にわたる経路積分として。被積分関数は位相（絶対値が1の数値）であり、位相角は可能な履歴$ \ phi（y）$から評価される古典的な作用に依存します。初期状態と最終状態$ i、f $は積分によって組み込まれます。適切な境界条件に従う「中間時間」の構成について。
量子場理論のほとんどすべては、いくつかの経路積分の計算として表現できます。したがって、この意味で、「すべて」について学習します。経路積分は、量子力学と量子場理論のほぼすべてを学習することと同等です。これには、取得したい深さに応じて、1学期から10年の集中的な研究が必要になる場合があります。確かに、このサーバーでは1つの許容サイズの回答でカバーすることはできません。
ガウス、つまり$ \ exp（{\ rm bilinear}）$被積分関数、おそらく多項式を使用した経路積分の計算積分変数の前因子は、おそらく物理学で実際に必要な自明でない経路積分の最も重要な、または「最も単純な」例です。
量子力学では、経路積分は任意の明示的な最終式を表します。確率振幅。状態$ | i \ rangle $から状態$ | f \ rangle $への遷移の振幅は、経路積分として直接表すことができ、確率は確率振幅の2乗の絶対値です。量子力学では、これらの確率までの要約を計算できます。したがって、経路積分は、量子力学の「すべて」を表します（この段落は、もともと私のコメントとして投稿されたものであり、この編集を提案したユーザーには、そうする正当な理由がありました。）
コメント
は経路積分として直接表現でき、確率は確率振幅の2乗の絶対値です。量子力学が計算できるものはすべて、これらの確率に要約されます。したがって、経路積分は、量子力学のすべての"を表します。