西安の最初のポイント： $ \ sigma $ -代数、あなたは「測定可能なセットについて質問しているので、残念ながら、どんな答えも測度論に焦点を合わせなければなりません。しかし、私はそれを穏やかに構築しようとします。

非可算集合のすべてのサブセットを認める確率論は数学を破ります

この例を考えてみてください。単位正方形があるとします。 $ \ mathbb {R} ^ 2 $ で、単位正方形内の特定のセットのメンバーである点をランダムに選択する確率に関心があります。 。多くの状況で、これは異なるセットの領域の比較に基づいて簡単に答えることができます。たとえば、いくつかの円を描き、それらの面積を測定してから、確率を円に入る正方形の割合として取ることができます。非常に単純です。

しかし、関心のある領域の領域が明確に定義されていない場合はどうなりますか？

領域が明確に定義されていない場合、2つの異なる理由が考えられますがエリアが何であるかについての完全に有効な（ある意味で）結論。したがって、一方では $ P（A）= 1 $ であり、 $ P（A）= 0 $ <である可能性があります。一方、/ span>は、 $ 0 = 1 $ を意味します。これは、修復を超えてすべての数学を壊します。これで、 $ 5 < 0 $ やその他の不合理なことを証明できます。明らかに、これはあまり有用ではありません。

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -代数は数学を修正するパッチです

$ \ sigma $ 代数とは正確には何ですか？実際にはそれほど恐ろしいことではありません。これは、どのセットがイベントと見なされるかを定義したものにすぎません。 $ \ mathscr {F} $ にない要素には、確率測度が定義されていません。基本的に、 $ \ sigma $ -代数は、いくつかを回避できる"パッチ"です。数学の病理学的振る舞い、つまり測定不可能な集合。

$ \ sigma $ フィールドの3つの要件は、何の結果と見なすことができます。確率でやりたい： $ \ sigma $ -フィールドは、次の3つのプロパティを持つセットです。

1. カウント可能なクロージャーユニオン。
2. カウント可能な交差点の下での閉鎖。
3. 補数の下での閉鎖。

カウント可能なユニオンとカウント可能な交差点のコンポーネントは、非可測集合の直接的な結果です。測定可能な集合の問題。補数の下での閉鎖は、コルモゴロフの公理の結果です：if $ P（A）= 2/3 $ 、 $ P（A ^ c）$ は $ 1/3 $ 。ただし、（3）がないと、 $ P（A ^ c）$ が未定義になる可能性があります。それは奇妙だろう。補数の下での閉包とコルモゴロフの公理により、 $ P（A \ cup A ^ c）= P（A）+ 1-P（A）= 1 $ 。

最後に、 $ \ Omega $ に関連するイベントを検討しているため、さらに $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

朗報： $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -代数は非可算集合にのみ厳密に必要です

しかし！ここにも良いニュースがあります。または、少なくとも、問題を回避する方法があります。必要なのは、 $ \ sigma $ -代数だけです。数え切れないほどのカーディナリティを持つセット。可算集合に制限すると、 $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ の $ \ Omega $ であり、可算 $ \ Omega $ 、 $ 2 ^ \ Omega $ は可算集合のみで構成されています（これはXi” anの2番目のコメントでほのめかされています）。一部の教科書は実際にここで微妙な巧妙さを犯していることに気付くでしょう。 、そして可算集合のみを考慮して確率空間を議論します。

さらに、 $ \ mathbb {R} ^ n $ の幾何学的問題では、それは ” $ \ sigma $ のみを考慮するのに完全に十分です- $ \ mathcal {L} ^ nの集合で構成される代数$ メジャーが定義されています。これをもう少ししっかりと接地するには、 $ \ mathcal {L} ^ n $ をに使用します。 $ n = 1,2 、3 $ は、長さ、面積、体積の通常の概念に対応します。したがって、前の例で私が言っているのは、セットに幾何学的確率を割り当てるには、セットに明確に定義された領域が必要であるということです。その理由は、測定不可能なセットを認める場合、次のことができるということです。ある証明に基づいてあるイベントに確率1を割り当て、他の証明に基づいて同じイベントのイベントに確率0を割り当てることができる状況になります。

ただし、しないでください。数え切れないほどのセットへの接続があなたを混乱させてください！ $ \ sigma $ -代数は可算集合であるという一般的な誤解。実際、それらは数えられる場合と数えられない場合があります。この図を考えてみましょう。前と同じように、単位正方形があります。 $$ \ mathscr {F} = \ text {定義された$ \ mathcal {L} ^ 2 $メジャー}を持つ単位正方形のすべてのサブセットを定義します。$$ すべてのpanclass = “math-container”について、一辺の長さが $ s $ の正方形の $ B $ を描画します”> $ s \ in（0,1）$ で、 $（0,0）$ に1つのコーナーがあります。この正方形が単位正方形のサブセットであることは明らかです。さらに、これらの正方形はすべて面積が定義されているため、これらの正方形は $ \ mathscr {F} $ の要素です。ただし、 $ B $ の正方形が数え切れないほど多いことも明らかです。そのような正方形の数は数えられず、各正方形はルベーグ測度を定義しています。

したがって、実際問題として、単にその観察を行うだけで、関心のある問題に対して前進するためにルベーグ測度セットのみを考慮するという観察を行うのに十分であることがよくあります。

しかし、待ってください。測定不可能なセット？

私はこれに少しだけ光を当てることができるのではないかと心配しています。ただし、バナッハタルスキパラドックス（"太陽とエンドウ豆"パラドックス）は私たちにいくつかの助けを与えることができます：

3次元空間に固体の球があるとすると、球は有限数に分解されます。互いに素なサブセット。これを別の方法で元に戻して、元のボールの2つの同一のコピーを生成できます。実際、再組み立てプロセスでは、形状を変更せずに、ピースを動かして回転させるだけです。ただし、ピース自体は、通常の意味では"ソリッド"ではなく、点の無限の散乱です。再構成はわずか5個で機能します。

より強力な定理は、任意の2つの"合理的な"固体オブジェクト（小さなボールや大きなボールなど）。どちらか一方をもう一方に再組み立てできます。これは、"エンドウ豆を切り刻んで、太陽に再組み立てできる"と非公式に言われることが多く、"エンドウ豆と太陽のパラドックス"。 1

つまり、” $ \ mathbb {R} ^ 3 $ の確率を使用していて、幾何学的確率を使用している場合測定（ボリュームの比率）、あなたはいくつかのイベントの確率を計算したいです。ただし、スペースのセットを再配置してボリュームを変更できるため、その確率を正確に定義するのに苦労します。確率がボリュームに依存し、セットのボリュームを太陽のサイズまたはのサイズに変更できる場合エンドウ豆の場合、確率も変化します。したがって、単一の確率が原因となるイベントはありません。さらに悪いことに、 $ S \ in \ Omega $ などを再配置できます。 $ S $ のボリュームに $ V（S）> Vがあること（\ Omega）$ 。これは、幾何学的確率測定値が確率 $ P（S）> 1 $ <を報告することを意味します。 / span>、その確率を必要とするKolmogorovの公理の重大な違反では、メジャー1があります。

このパラドックスを解決するには、次の4つの譲歩のいずれかを行うことができます。

1. セットのボリュームは、回転すると変化する可能性があります。
2. 2つのばらばらの和集合のボリュームセットは、それらのボリュームの合計とは異なる場合があります。
3. 選択公理（ZFC）を使用したツェルメロフレンケル集合論の公理を変更する必要がある場合があります。
4. 一部のセットは変更する必要がある場合があります。 "測定不能"のタグが付けられ、セットが"測定可能"そのボリュームについて話す前に。

オプション（1）は確率の定義を使用するのに役立たないので、それはありません。オプション（2）は、2番目のコルモゴロフ公理に違反しているため、「アウト」です。オプション（3）は、ZFCが作成するよりもはるかに多くの問題を修正するため、ひどい考えのようです。しかし、オプション（4）は魅力的なようです。測定可能なものと測定不可能なものの理論を開発すると、この問題で明確に定義された確率が得られます。これにより、測度論に戻り、友人の $ \ sigma $ -代数。

コメント

• ご回答ありがとうございます。 $ \ mathcal {L} $は、測定可能なLebesqueの略ですか？ '信仰に基づいてあなたの答えを+1しますが、'数学のレベルを数ノッチ下げることができれば、本当に感謝しています。 .. 🙂
• （+ 1）良い点！また、ボレル-コルモゴロフパラドックスに示されているように、測度と$ \ sigma $代数がないと、数えられない空間での条件付けと条件付き分布の導出が非常に困難になることも付け加えておきます。 。
• @Xi '親切な言葉をありがとう！それは本当にあなたから来る多くのことを意味します。この記事の執筆時点では、ボレル-コルモゴロフのパラドックスに精通していませんでしたが、'いくつか読んで、自分の発見を有益に追加できるかどうかを確認します。
• @ Student001：ここで髪を分けていると思います。 "メジャー"（任意のメジャー）の一般的な定義は、シグマ代数の概念を使用して与えられているのは正しいです。ただし、私のポイントは、で提供されているルベーグ測度の定義には、" sigma-algebra "の単語や概念がないということです。私の最初のリンク。言い換えれば、私の最初のリンクに従ってルベーグ測度を定義することはできますが、それが測度であり' sは難しい部分です。ただし、この議論をやめるべきだということに同意します。
• あなたの答えを読んで本当に楽しかったです。 'ありがとうございますが、'多くのことを明確にしました！私は'実際の分析を研究したことも、数学を適切に紹介したこともありません。実用的な実装に重点を置いた電気工学のバックグラウンドから来ました。あなたは'非常に簡単な言葉でそれを書いたので、私のような男はそれを理解することができました。 'ご回答とシンプルさに心から感謝いたします。また、@ Xi 'コメントを詰め込んでくれたことに感謝します！

基本的な考え方（非常に実用的な用語で）は単純です。あなたがいくつかの調査に取り組んでいる統計学者であると仮定します。調査に年齢に関する質問があるとしますが、回答者に、$ [0,18）、[18、25）、[25,34）、\ dots $などの特定の間隔で年齢を特定するように依頼するだけです。他の質問は忘れましょう。このアンケートでは、「イベントスペース」、つまり$（\ Omega、F）$を定義します。シグマ代数$ F $は、質問票から取得できるすべての情報をコード化するため、年齢の質問（および今のところ他のすべての質問は無視します）には、間隔$ [18,25）$が含まれますが、他の間隔は含まれません。 $ [20,30）$のように、アンケートで得られた情報からは、次のような質問に答えることができないためです。回答者の年齢は$ [20,30）$に属しているかどうか。より一般的には、サンプルポイントがそのセットに属するかどうかを判断できる場合に限り、セットはイベント（$ F $に属する）です。

次に、2番目のイベント空間$（\ Omega “、F”）$の値を使用して確率変数を定義しましょう。例として、これを通常の（ボレル）シグマ代数の実数直線とします。次に、確率変数ではない（興味のない）関数は$ fです：$ “回答者の年齢は素数です”、年齢が素数の場合は1、それ以外の場合は0としてコーディングします。いいえ、$ f ^ {-1}（1）$は$ F $に属していないため、$ f $は確率変数ではありません。理由は単純です。回答者の年齢が素数であるかどうかをアンケートの情報から判断することはできません。これで、より興味深い例を自分で作成できます。

$ F $が必要な理由シグマ代数？「回答者番号3は18歳以上」、「回答者3は女性」という、データの2つの質問をしたいとします。質問で2つのイベントを定義します（$ F $で設定）$ A $と$ B $、その質問に「はい」の答えを与えるサンプルポイントのセット。次に、「回答者3は18歳以上の女性です」という2つの質問を組み合わせて質問します。この質問は次のように表されます。セット交差$ A \ cap B $。同様に、分離はセットユニオン$ A \ cup B $で表されます。ここで、カウント可能な交差とユニオンの閉じを要求すると、カウント可能な結合または分離を尋ねることができます。そして、質問を否定します。は補完的なセットで表されます。これにより、シグマ代数が得られます。

この種の紹介は、非常に優れたもので最初に見ました。ピーターホイットルの本「期待による確率」（Springer）。

編集

コメントでwhubersの質問に答えようとしています：「しかし、この主張に遭遇したとき、私は最後に少しびっくりしました：」可算交差の閉鎖を要求し、組合は可算接続詞または論理和を尋ねることができます。」これが問題の核心になっているようです。なぜ誰もがそのような無限に複雑なイベントを構築したいと思うのでしょうか？」ここで、離散確率に制限します。たとえば、便宜上、コインを投げます。コインを有限回投げると、コインを使用して説明できるすべてのイベントは、「head on throw $ i $」タイプのイベントを介して表現できます。 “、”は$ i $をスローし、「and」または「or」の数は有限です。したがって、この状況では、$ \ sigma $-代数は必要ありません。集合の代数で十分です。それで、この文脈で、$ \ sigma $-代数が発生する状況はありますか？実際には、サイコロを投げる回数が限られている場合でも、投げる回数である$ n $が際限なく増えると、限界定理を介して確率の近似値を作成します。したがって、この場合の中心極限定理の証明であるラプラス・ド・モアブル定理を見てください。代数のみを使用した近似によって証明できます。$ \ sigma $-代数は必要ありません。大数の法則は、チェビシェフの不等式によって証明できます。そのためには、有限の$ n $の場合の分散を計算するだけで済みます。ただし、の強い法則については大きな数、私たちが証明するイベントは、数え切れないほどの数の「and」と「or」でしか表現できない可能性があるため、大数の法則の場合$ \ sigma $ -algebrasが必要です。

しかし、本当に大数の法則が必要なのでしょうか。 ここで1つの答えによると、そうではないかもしれません。

ある意味で、これは大数の法則と弱い法則の非常に大きな概念上の違いを示しています。強い法則は実際の収束に関するものであるため、直接経験的に意味がありません。経験的に検証されています。一方、弱い法則は、近似の質が$ n $とともに増加し、有限の$ n $の数値限界があるため、より経験的に意味があります。

したがって、離散のすべての実用的な使用確率は$ \ sigma $-代数なしで行うことができます。継続的なケースについては、私にはよくわかりません。

コメント

• 私は'この回答が$ \ sigma $ -fieldsがなぜであるかを示しているとは思いません必要。 $ P（A）\ in [20,30）$に答えられるという便利さは、数学によって義務付けられている'ではありません。やや厄介なことに、数学は統計学者にとって'便利なものを'気にしないと言う人もいるかもしれません。実際、$ P（A）\ in [20,30）\ le P（A）\ in [18,34）$は明確に定義されているので、'は、この例が目的を示しているかどうかさえ明確ではありません。
• 'は" $ \ sigma $ " " $ \ sigma $ -algebra この答えのいずれかについては、Kjetil。実際、基本的なモデリングと確率に関する推論については、作業統計学者は、可算ではなく有限の和集合の下でのみ閉じられる集合の代数でうまくいくようです。 Antoni 'の質問の難しい部分は、可算無限の組合の下で閉鎖が必要な理由に関するものです。これは、主題が初等ではなく測度論になるポイントです。組み合わせ論。 （Aksakalも最近削除された回答でその点を指摘しているようです。）
• @whuber：もちろん正しいですが、私の回答では、なぜ代数（または$ \）について動機付けをしようとしています。 sigma $ -algebras）は情報を伝えることができます。これは、そのアルゴリズム構造が確率に入り、他の何かではない理由を理解する方法です。もちろん、それに加えて、user777の回答で説明されている技術的な理由があります。そしてもちろん、もっと簡単な方法で確率を上げることができれば、誰もが幸せになるでしょう…
• あなたの議論は正しいと思います。しかし、この主張に遭遇したとき、私は最後に少しびっくりしました。"可算の交差点と和集合の閉鎖を要求すると、可算の接続詞または論理和を尋ねることができます。"これが問題の核心になっているようです。なぜ、このような無限に複雑なイベントを作成したいと思うのでしょうか。それに対する良い答えは、あなたの投稿の残りの部分をより説得力のあるものにするでしょう。
• 実際の使用法：金融の数学で使用される確率と測度論（確率微分方程式、伊藤積分、代数のフィルターを含む、など）シグマ代数なしでは不可能のようです。 （私はすでにあなたの答えに投票したので、'編集に賛成することはできません！）

確率論者が $ \ boldsymbol {を必要とする理由\ sigma} $ -algebra？

$ \ sigma $ -代数の公理は、かなり自然に確率によって動機付けられます。 $ A \ cup B $ 、 $（A \ cupなど）のすべてのベン図領域を測定できるようにする必要があります。 B）\ cap C $ 。 この記憶に残る答えから引用するには：

最初の公理は $ \ oslash、X \ in \ sigma $ 。何も起こらない確率（ $ 0 $ ）または何かが起こる確率（ $ 1 $ ）を常に知っています。

2番目の公理は補数の下で閉じられます。愚かな例を挙げましょう。ここでも、 $ X = \ {H、T \} $ を使用したコイントスについて考えてみます。このフリップの $ \ sigma $ 代数は $ \ {\ oslash、X、\ {H \} \} $ 。つまり、私は何も起こらない、何かが起こる、そして頭の確率を知っていますが、尾の確率は知りません。あなたは当然私をモロンと呼ぶでしょう。頭の確率を知っているなら、あなたは尾の確率を自動的に知る！何かが起こる確率を知っているなら、それが起こらない確率（補数）を知っている！

最後の公理は可算組合の下で閉じられている。別のばかげた例。ダイのロール、または $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ を考えてみましょう。このための $ \ sigma $ 代数は $ \ {\ oslash、X、\ {1 \}、 \ {2 \} \} $ 。つまり、 $ 1 $ をロールする確率またはをロールする確率を知っています。 “> $ 2 $ ですが、 $ 1 $ または $ 2 $をロールする確率がわかりません。 。繰り返しますが、あなたは正当に私をばかと呼ぶでしょう（理由が明らかであることを願っています）。セットが互いに素でない場合に何が起こるか、そして可算集合で何が起こるかは少し厄介ですが、いくつかの例を考えてみてください。

有限の $ \ boldsymbol {\ sigma} $ ではなく可算が必要なのはなぜですか？

まあ、それは完全にクリーンではありません-カットケースですが、いくつかの確かな理由があります。

確率論者が対策を必要とする理由

この時点で、あなたはすでにメジャーのすべての公理を持っています。 $ \ sigma $ から-加法性、非負性、null空集合、および $ \ sigma $ -代数。メジャーとして $ P $ が必要な場合もあります。測度論はすでに正当化されています。

人々はVitaliの集合とBanach-Tarskiを持ち込んで、測度論が必要な理由を説明しますが、それは誤解を招く。ヴィタリ集合は、確率空間が必要としない、並進不変である（自明ではない）測度に対してのみ消滅します。そして、バナッハ・タルスキは回転不変性を必要とします。分析の人々はそれらを気にしますが、確率論者は実際にはしません。

の存在理由確率論における測度論のdêtreは、離散RVと連続RVの処理を統合し、さらに、混合されたRVと単純にどちらでもないRVを可能にすることです。

コメント

• この回答は、少しやり直せば、このスレッドに素晴らしい追加になると思います。現状では、'の大部分は他のコメントスレッドへのリンクに依存しているため、フォローするのは困難です。メジャー、有限$ \ sigma $-加法性、および$ \ sigma $-代数が確率空間の必要な特徴としてどのように組み合わされるかについて、下から上への説明としてレイアウトすると、はるかに強力になると思います。 'すでに回答をさまざまなセグメントに分割しているため、'非常に近いですが、セグメントにはさらに正当化と推論が必要だと思います完全にサポートされます。

私は常に次のように全体の話を理解してきました：

実数直線 $ \ mathbb {R} $ などのスペースから始めます。このスペースのサブセットにメジャーを適用したいと思います。 、たとえば、長さを測定するルベーグ測度を適用します。例として、サブセット $ [0、0.5] \ cup [0.75、1] $ 。この例では、答えは単純に $ 0.5 + 0.25 = 0です。75 $ 。これはかなり簡単に入手できます。ルベーグ測度を実数直線のすべてサブセットに適用できるかどうか疑問に思い始めます。

残念ながら、それは機能しません。数学を単純に分解するこれらの病的なセットがあります。 。これらのセットにルベーグ測度を適用すると、一貫性のない結果が得られます。これらの病理学的セットの1つの例は、文字通り測定できないため、測定不可能なセットとも呼ばれ、Vitaliセットです。

これらのクレイジーなセットを回避するために、測定可能なセットと呼ばれるサブセットのより小さなグループに対してのみ機能するようにメジャーを定義します。これらは、メジャーを適用したときに一貫して動作するセットです。これらのセットをユニオンと組み合わせたり、それらの補集合を取得したりするなど、これらのセットを使用して操作を実行できるようにするには、これらの測定可能なセットがそれらの間でシグマ代数を形成する必要があります。シグマ代数を形成することにより、私たちは対策を実行するための一種の安全な避難所を形成しました。また、組合や補数を取るなど、必要なものを取得するための合理的な操作を行うこともできます。これが、測定不可能なセットを避けながら、メジャーが機能する領域を引き出すことができるように、シグマ代数が必要な理由です。これらの病理学的サブセットがなかった場合、位相空間のべき集合内で動作する測度を簡単に定義できることに注意してください。ただし、べき集合にはあらゆる種類の測定不可能な集合が含まれているため、測定可能なものを選び出し、それらの間でシグマ代数を形成するようにします。

ご覧のとおり、シグマ代数は測定不可能なセットを回避するために使用されるため、サイズが有限のセットは使用されません。」実際にはシグマ代数が必要です。たとえば、サンプル空間 $ \ Omega = \ {1、2、3 \} $ を扱っているとします（これは可能性があります）コンピュータによって生成されたランダム数のすべての可能な結果である）。このようなサンプル空間で測定不可能なセットを思い付くのはほとんど不可能であることがわかります。メジャー（この場合は確率メジャー）は、考えられる $ \ Omega $ のサブセットに対して明確に定義されています。ただし、測定値を壊す病理学的サブセットを回避できるように、実数直線などのより大きなサンプル空間に対してシグマ代数を定義する必要があります。 確率の理論的枠組みの一貫性を実現するために、有限のサンプル空間もシグマ代数を形成する必要があります。 ここでのみ確率測度が定義されます。有限サンプル空間のシグマ代数は技術的ですが、実数直線などのより大きなサンプル空間のシグマ代数は必需品です。

私たちが使用する一般的なシグマ代数の1つ実数直線はボレルシグマ代数です。それはすべての可能な開集合によって形成され、その後、シグマ代数の3つの条件が達成されるまで補集合と和集合を取ります。 「 $ \ mathbb {R} [0、1] $ のボレルシグマ代数を作成している場合は、次のようなすべての可能な開集合をリストすることでそれを行います。 $（0.5、0.7）、（0.03、0.05）、（0.2、0.7）、… $ などのように、想像できるように無限にあります。多くの可能性を挙げて、シグマ代数が生成されるまで補集合と和集合を取ります。ご想像のとおり、このシグマ代数はBEASTです。想像を絶するほど巨大です。しかし、それのすばらしい点は、すべてを除外していることです。数学を分解したクレイジーな病理学的セット。これらのクレイジーなセットは、ボレルのシグマ代数には ありません。また、このセットは、必要なほぼすべてのサブセットを含むのに十分な包括性を備えています。ボレルシグマ代数に含まれていないサブセット。

これが、シグマ代数が必要な理由の話です。ボレルシグマ代数は、このアイデアを実装するための一般的な方法です。

コメント

• ' +1 '非常に読みやすい。ただし、"人々がVitaliの集合とBanach-Tarskiを持ち込んで、測度論が必要な理由を説明する@Yatharth Agarwalの回答と矛盾しているようですが、それは誤解を招くと思います。ヴィタリ集合は、確率空間が必要としない、並進不変である（自明ではない）測度に対してのみ消滅します。そして、バナッハ・タルスキは回転不変性を必要とします。分析の人々はそれらを気にしますが、確率論者は実際には気にしません。"。おそらくあなたはそれについていくつかの考えを持っていますか？
• +1（特に"安全な避難所"の比喩のために！） 。 @Stop参照する回答には実際の内容がほとんどなく、意見がいくつかあるだけですが、'あまり検討したり議論したりする価値はありません、私見。