対称分布の定義は何ですか？

簡単：$ X $と$ 2aX $が、ある実数$ a $に対して同じ分布を持つ場合、$ X $は対称になります。しかし、完全に正当化された方法でこれに到達するには、多くの暗黙の質問が発生するため、いくつかの逸脱と一般化が必要です。なぜ「対称」のこの定義？他の種類の対称性はありますか？分布とその対称性の関係は何ですか。逆に、「対称性」とその対称性を持つ可能性のある分布の関係は何ですか？

問題の対称性は、実数直線。すべてが

$$ x \ to 2a-x $$

定数$ a $の形式です。

したがって、$ X $が少なくとも1つの$ a $のこの対称性。その場合、対称性は

$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$

を意味します。 $ a $が$ X $の中央値であることを示しています。同様に、$ X $に期待値がある場合、その直後に$ a = E [X] $が続きます。したがって、通常は$ a $を簡単に特定できます。そうでない場合でも、 $ a $（したがって対称性自体）は一意に決定されます（存在する場合）。

これを確認するには、$ b $を任意の対称中心とします。次に、両方の対称性を適用すると、$ X $が translation $ x \ to x + 2（b-a）$の下で不変であることがわかります。 $ b-a \ ne 0 $の場合、$ X $の分布は$ b-a $の周期を持つ必要があります。これは、周期分布の合計確率が$ 0 $または無限であるため、不可能です。したがって、$ ba = 0 $は、$ a $が一意であることを示します。

より一般的には、の場合$ G $は実数直線上で（そしてそのすべてのボレルサブセットで拡張して）忠実に動作するグループであり、分布$ X $は（$ G $に関して）「対称」であると言えます。

$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ in E ^ g] $$

すべての測定可能なセット$ E $と要素$ g \ in G $について、ここで$ E ^ g $は、$ g $のアクションの下での$ E $のイメージを示します。

例として、 $ G $を$ 2 $の位数のグループとしますが、現在はそのアクションが実数の逆数を取ることであるようにします（そしてそれが$ 0 $を修正するようにします）。標準の lognormal 分布は、このグループに関して対称です。この例は、座標の非線形再表現が行われた反射対称のインスタンスとして理解できます。これは、実数直線の「構造」を尊重する変換に焦点を当てることを示唆しています。確率に不可欠な構造は、ボレル集合とルベーグ測度に関連している必要があります。どちらも、2点間の（ユークリッド）距離で定義できます。

距離を維持するマップは、定義上、アイソメトリです。実数直線のすべてのアイソメトリが反射によって生成されることはよく知られています（少し複雑ですが、簡単に説明できます）。ここで、「対称」とはある等長変換群に関して対称を意味することが理解される場合、そのグループは最大で1回の反射によって生成される必要があり、反射はによって一意に決定されることがわかりました。 それに関する対称分布。この意味で、前述の分析は網羅的であり、「対称」分布の通常の用語を正当化します。

ちなみに、多変量の例のホストは、「球形」分布を考慮することによって得られます。これらはすべての回転で不変です（いくつかの固定中心に対して）。これらは1次元の場合を一般化します。実数直線の「回転」は単なる反射です。

最後に、標準的な構造（グループ全体の平均）が方法を提供することを指摘する価値があります。対称分布の負荷を生成します。実数直線の場合、点$ a $に関する反射によって$ G $が生成されるようにします。これにより、単位元$ e $とこの反射$ g $で構成されます。 $ X $を任意のディストリビューションとします。

$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} {\ Pr} _X [を設定して、分布$ Y $を定義します。 E ^ g] =（{\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]）/ 2 $$

すべてのボレル集合$ E $。これは明らかに対称であり、分布のままであることを簡単に確認できます（すべての確率は非負のままで、合計確率は$ 1 $です）。

グループ平均化プロセスを示すために、対称化されたガンマ分布（$ a = 2 $を中心とする）のPDFが金で示されています。元のガンマは青で、反射は赤で示されています。

コメント

• （+ 1）多変量設定で、対称性の定義を追加したいと思います。 は一意ではありません。このブックには、対称多変量分布の8つの可能な定義があります。
• @Procrastinator I ' "が一意ではないという意味に興味があります。" AFAIK、名前を正当化するもの" symmetry "は、最終的にはスペースでのグループアクションを指します。興味深いでしょう。統計学者がどのような種類の行動が有用であるかを確認します。その本は絶版であり、Webで入手できないため、その本で考慮されている2つのまったく異なる種類の対称性の簡単な例を挙げてください。
• 直感は正しいです。これは統計的特徴に関連しています。 ：中央対称 $ {\ bf X}-\ mu \ stackrel {d} {=}-（{\ bf X}-\ mu）$; 球対称 $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O}（{\ bf X}-\ mu）$すべての直交行列$ {\ bf O} $。残りは思い出せませんが、この日は借りようと思います。このリンクには、それらのいくつかがあります。
• @Procrastinatorありがとうございます。提供する2つの例は、どちらも私が提供した一般的な定義の特殊なケースであることに注意してください。中央の対称性は2要素の等長変換群を生成し、球対称性もすべての等長写像のサブグループです。リンクの"楕円対称"は、アフィン変換後の球対称であるため、対数正規分布で指摘した現象を例示しています。例。 "角度対称"は、再び等長変換群を形成します。 "半空間対称性" [原文のまま]は対称性ではありませんが、そこから離散的に逸脱することができます：that '新しい

回答は、意味によって異なります。対称。物理学では、対称性の概念が基本的であり、非常に一般的になっています。対称性とは、システムを変更しないままにする操作です。確率分布の場合、これは、同じ確率$ P（X）= P（X “）$を返す任意の操作$ X \ to X” $に変換できます。

最初の例の単純なケースでは、最大値に関する反射対称性を参照しています。 分布が正弦波の場合、条件$ X \ to X + \ lambda $を持つことができます。ここで、$ \ lambda $は波長または周期です。 その場合、$ P（X）= P（X + \ lambda）$であり、対称性のより一般的な定義に適合します。