Var（XY）、XとYが独立したランダム変数の場合[重複]

この質問にはすでに回答があります：

あなたはこれについて自分で考えたことはありますか？ $ \ text {Var}（X）\ text {Var}（Y）$は間違っているでしょう-ほぼ確実に一定のゼロ以外の$ X $
いいえ。私はVar（XY）= E（X ^ 2 Y ^ 2）-（E（XY））^ 2とE（XY）= E（X）E（Y）を知っています。X、Yは独立していますが、Xについてはわかりません。 ^ 2とY ^ 2は独立しているかどうか。
$ X $と$ Y $が独立している場合、$ X ^ 2 $と$ Y ^ 2 $も独立しており、$ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
ここでの一般的な製品ケース： stats.stackexchange.com/questions/52646 / … （2の積が質問に示されています）
Glen_bに感謝します

回答

ヘンリーのコメントに従って回答にたどり着くことができます。ただし、回答を得る別の方法は、次の事実を使用することです。 span class = “math-container”> $ X $ と $ Y $ は独立しており、 $ Y | X = Y $ および $ X | Y = X $ 。

反復された期待値と分散式による

\ begin {align *} \ text {Var}（XY）& = \ text {Var} [\、\ text {E}（XY | X）\、] + \ text {E} [\、\ text {Var}（XY | X）\、] \\ & = \ text {Var} [\、X \、\ text {E}（Y | X）\、] + E [\、X ^ 2 \、\ text {Var}（Y | X ）\、] \\ & = \ text {Var} [\、X \、\ text {E}（Y）\、] + E [\、X ^ 2 \ 、\ text {Var}（Y）\、] \\ & = E（Y）^ 2 \、\ text {Var}（X）+ \ text {Var}（ Y）E（X ^ 2）\、。 \ end {align *}

$ E（Y）^ 2 \、\ text {Var}（X） + \ text {Var}（Y）E（X ^ 2）$は正しいかもしれませんが、$ E（Y ^ 2）\、\ text {Var}（X）+ \ text {Varのように、奇妙なことに非対称です。 }（Y）E（X）^ 2 $は次のようになります。 $ \ text {Var}（X）E（Y）^ 2 + \ text {Var}（Y）E（X）^ 2 + \ text {Var}（X）\ text {Var}（Y ）$はより自然ですが、$ \ text {Var}（X）E（Y ^ 2）+ \ text {Var}（Y）E（X ^ 2）-\ text {Var}（X）\ text {Var }（Y）$も真になります
@Henryええと、$ E（X ^ 2）= Var（X）+ E（X）^ 2 $を使用すると、$ Var（XY）= E（Y）^ 2Var（X）+ Var（Y）Var（X）+ Var（Y）E（X）^ 2 $。その'は対称的です。

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