金星'の公転周期の計算の何が問題になっていますか？

ケプラーの第2法則を使用して、金星の軌道の持続時間を見つけようとしています。私は円軌道を想定しています（地球と金星を使用しているので、離心率は低いです）。私のプロセスは次のとおりです。

地球の軌道半径が1億5000万kmであるとすると、1日の掃引面積は $ \ frac {1}です。 {365.25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ upperx 194 \ text {million km} ^ 2 $ 。

金星は同じ領域を同時に掃引する必要があります。軌道を想定しています。金星の半径は1億800万kmで、 $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ を使用すると、次の中心角を見つけることができます。掃引されたセクター、つまり1地球日に移動した角度：

$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \地球の1日あたり\ theta = 1.90 ^ {\ circ} $ を意味します。

したがって、軌道周期は $ \ frac {360} {1.90 } \約189 $ 地球の日。

もちろん、金星の軌道周期は $ 224.7 $ 地球の日です。 189と224.7は、私の円周率の仮定によってもたらされた誤差をはるかに超えているようです。

何が間違っているのですか？

これがおそらくこの計算を行うための遠回りな方法であることを私は知っています。私の目標は、セクターの領域を意味のある方法で使用する数学の演習を作成することです。

回答

ケプラーの法則惑星が楕円軌道を移動するときに、等しい時間に等しい面積を掃引すると述べています。異なる惑星が同じ面積を掃引するとは述べていません。

「等しい面積」の法則は「角運動量の保存」。実際、dA / dt = L /（2m）（ここで、Aは面積、Lは角運動量、mは（換算）質量です）。

さまざまな惑星が、さまざまな領域を一掃します。ケプラーの第3法則を使用した期間を計算するには、次のようにします。 $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ （T =公転周期、a =準主軸）。、便宜上、地球年でAUとTを取り、次に定数 $ k = 1 $ を取ります。

金星の場合、a = 0.72 。したがって、 $ T = \ sqrt {0.72 ^ 3} = 0.61 $ または約223日です。