二項分布から導出されたpの分散を計算するにはどうすればよいですか？たとえば、n枚のコインを裏返し、k個の頭を取得するとします。pをk / nとして推定できますが、その推定値の分散をどのように計算できますか？
これに興味があるので、試行回数が異なるポイント間で比較する場合の比率推定値の分散の制御。nが大きいほどpの推定値が確実になるため、推定値の信頼性をモデル化できるようにしたいと思います。
よろしくお願いします！
例：
- 40/100。 pの最尤法は0.4ですが、pの分散はどのくらいですか？
- 4/10。 MLEは0.4のままですが、推定値の信頼性が低いため、pの分散が大きくなるはずです。
回答
$ X $が$ \ text {Binomial}（n、p）$の場合、MLE $ p $のは$ \ hat {p} = X / n $です。
二項変数は、$ n $ベルヌーイ確率変数の合計と考えることができます。 $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ここで、$ Y_i \ sim \ text {Bernoulli}（p）$。
MLE $ \ hat {p} $の分散を次のように計算できます
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np（1-p）\\ & = \ dfrac {p（1-p）} {n} \ end {align *} $$
したがって、MLEの分散は、$ n $が大きいほど小さくなり、$ p $が0または1に近いほど小さくなります。$に関してp $ $ p = 0.5 $のときに最大になります。
信頼区間については、二項信頼区間
コメント
- リンクは、私が探している'に似ていると思いますが、pの分散と同等の値が必要です。信頼区間からそれを取得するにはどうすればよいですか？
- 元の回答を編集して、質問により厳密に回答しました。
- 分散の式にpが必要であるが、あなたはどのように対処しますか。 pの推定値しかない？
- $ arcsin（\ sqrt {\ hat {p}}）$などの分散安定化変換の使用を検討すると、変換された変数の分散は次のようになります。 $ \ tfrac {1} {4n} $