主成分分析、LDAなどの次元削減手法では、マニホールドという用語がよく使用されます。非技術用語での多様体とは何ですか？点$ x $が、寸法を縮小したい球に属していて、ノイズ$ y $があり、$ x $と$ y $が無相関である場合、実際の点$ x $はそれぞれから遠く離れています。その他はノイズによるものです。したがって、ノイズフィルタリングが必要になります。したがって、次元削減は$ z = x + y $で実行されます。したがって、ここで$ x $と$ y $は異なる多様体に属していますか？
私はロボットビジョンでよく使用される点群データに取り組んでいます。点群は取得時のノイズのためにノイズが多く、次元削減の前にノイズを削減する必要があります。そうしないと、誤った寸法削減が発生します。では、ここでの多様体とは何であり、ノイズは$ x $が属する同じ多様体の一部ですか？
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- It '数学的に正確でなければ、この用語を正しく使用することは実際には不可能です
回答
非技術用語では、多様体は有限の寸法を持つ連続した幾何学的構造です：線、曲線、平面、表面、球、球、円柱、トーラス、「ブロブ」…次のようなもの： 
これは、によって使用される一般的な用語です。数学者は、「曲線」（次元1）または「表面」（次元2）、または3Dオブジェクト（次元3）と言います…可能な有限次元$ n $に対して。 1次元多様体は、単なる曲線（線、円など）です。 2次元多様体は、単なる表面（平面、球、トーラス、円柱など）です。 3次元多様体は「完全なオブジェクト」（ボール、完全な立方体、私たちの周りの3D空間…）です。
多様体は、多くの場合、方程式で表されます。$ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $などの点のセット$（x、y）$は、1次元の多様体（円）です。
多様体はどこでも同じ寸法です。たとえば、球（次元2）に線（次元1）を追加すると、結果の幾何学的構造は多様体ではなくなります。
距離空間や位相空間のより一般的な概念も、点の連続セットの自然な直感を説明することを目的としていますが、多様体は、有限次元ベクトル空間のように、局所的に単純なものを目的としています。 \ mathbb {R} ^ n $。これにより、幾何学的な具体的な意味を持たないことが多い抽象的な空間（無限次元空間など）が除外されます。
ベクトル空間とは異なり、多様体はさまざまな形状を持つことができます。 クラインの壺や実射影平面。
統計、機械学習、または一般的な応用数学では、「多様体」という言葉は「線形部分空間のように」と言うためによく使用されますが、湾曲している可能性があります。 $ 3x + 2y-4z = 1 $のような線形方程式を書くときはいつでも、線形（アフィン）部分空間（ここでは平面）を取得します。通常、方程式が$ x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 7 $のように非線形である場合、これは多様体（ここでは引き伸ばされた球）です。
たとえば、「多様体仮説 “は、「高次元データは、高次元ノイズが追加された低次元多様体の点です」と述べています。 2Dノイズが追加された1D円のポイントを想像できます。点は正確に円上にあるわけではありませんが、統計的に方程式$ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $を満たします。円は基になる多様体です：
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- @RiaGeorge写真では、多様体であるのは表面です。 '連続しているのは、中断することなく自由に動き回ることができ、2つの場所の間を移動するために水面から飛び降りる必要がないためです。あなたがほのめかしている穴は、最も簡単な方法で任意の2点の間の表面をどのように移動できるかを説明する上で重要であり、それらを数えることは多様体を研究する上で重要な手法です。
- トポロジーとは何かを説明することは、このサイトにとってはあまりにも広すぎる質問であり、少しトピックから外れています。その情報については、数学スタック交換を検索します。多様体とトポロジーは同義語ではありません。多様体はトポロジーの手法で研究された数学的対象であり、トポロジーは数学のサブサブジェクトです。
- これは、最初の概念について学ぶ人にとって非常に良い説明のようです。時間、厳選された具体的な例。 （'以前にこの概念に遭遇したことがあるので、はっきりとはわかりません。）ちょっとした疑問として、最後の文を絶対的ではないものに言い換えることをお勧めします（"方程式が次のように非線形であるときはいつでも…"）：現在書かれているように、実際には真実ではありません。その小さな問題は別として、これは非常によく書かれていると思います。
- 答えは、多様体をそのようにする基本的なポイントをすべて見逃しています。'非常に多くの賛成票があります。トポロジー、チャート、滑らかさについても言及されておらず、答えは基本的に多様体が表面であるという印象を与えますが、それはではありません。
- 技術的なポイント、ソリューションセット連立方程式は多様体である必要はありません。 'さまざまなため、'はほとんどが多様体ですが、多様体のプロパティが失敗する自己交差点を持つことができます。
回答
（トポロジカル）多様体は、次のような空間$ M $です。
（1）$ n $に対して$ \ mathbb {R} ^ n $と「ローカルに」「同等」。
「ローカル」では、「同等性」は$ n $座標関数$ c_i：M \ to \ mathbb {R} $を介して表すことができ、これらが一緒になって「構造保存」関数$を形成します。 c：M \ to \ mathbb {R} ^ n $、チャートと呼ばれます。
（2）は、のサブセットとして「構造を保持する」方法で実現できます。 $ \ mathbb {R} ^ N $ for some $ N \ ge n $。 （1） （2）
ここで「構造」を正確にするには、 トポロジ （ def。）。これにより、 “local” の動作、つまり「ローカル」。 「同等」とは、同等の位相構造（同相）を意味し、「構造保存」とは、同じことを意味します（同等を作成します）。トポロジー構造）。
多様体で微積分を行うには、次の条件に従わない追加の条件が必要であることに注意してください。上記の2つの条件は、基本的に「微積分を実行できるようにチャートが十分に動作している」などのことを示しています。これらは、実際に最も頻繁に使用される多様体です。一般的なトポロジとは異なります。多様体は、微積分に加えて、三角測量も可能にします。これはのようなアプリケーションで非常に重要です。ポイントクラウドデータに関するもの。
すべての人が（トポロジカル）多様体に同じ定義を使用するわけではないことに注意してください。複数の作成者が定義します条件（1）のみを満たすものとしてve、必ずしも（2）でもありません。ただし、（1）と（2）の両方を満たす定義は、はるかに適切に動作するため、開業医にとってより有用です。 （1）は（2）を意味すると直感的に予想されるかもしれませんが、実際にはそうではありません。
編集：「トポロジー」が正確に何であるかを知りたい場合、理解するトポロジーの最も重要な例は、$ \のユークリッドトポロジーです。 mathbb {R} ^ n $。これについては、「実際の分析」に関する（優れた）入門書で詳しく説明します。
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- 回答ありがとうございます：非技術用語でもトポロジとは何か説明していただけますか？トポロジとマニホールドという用語は同じ意味で使用されていますか？次元は整数である必要がありますか？それは実数とは何ですか？構造全体が各サブパートで構成されている場合、その構造はフラクタルとして知られていると思います。
- @RiaGeorge $ n $は、$ N $と同様に、自然数（整数$ \ ge 1 $）を表します。フラクショナル/ rにはより高度な理論がある可能性があります。 eal値のディメンションですが、'それほど頻繁には表示されません。 "トポロジ"および"マニホールド"は、2つの非常に異なることを意味するため、互換性のある用語ではありません。 "マニホールド"には"トポロジ"。トポロジの分野では、3つのルール/条件を満たすセットのコレクションである"トポロジ"を持つスペースを研究します。 "トポロジ"を研究する目的の1つは、" local "の動作。
- @RiaGeorge "トポロジの公理"は、Wikipediaページ en.wikipediaにあります。org / wiki / General_topology＃A_topology_on_a_set -"トポロジ"は、関連しているが同じではない何かを指している近隣の観点から、これを反映するように回答を編集しました： en.wikipedia.org/wiki/ … ただし、近隣の定義は理解しにくいことに注意してください（よく理解できたと思いますが、' t私も'怠惰です
- とにかく'あなたがしないという私の個人的な偏見です'トポロジの近傍定義を知る必要はありません。より単純な定義では、局所的な動作を厳密に記述するという点で、近傍定義と同じ能力がすべて得られることを知っておいてください。同等）。とにかく、フラクタルに興味があるなら、これらのウィキペディアのページがおもしろいと思うかもしれません。私はあまり詳しくないので、'それ以上の手助けはできません。理論と'ほとんどの定義を知らないか理解していない-私はいくつかのことしか聞いたことがない
- これまでのところ、注意を払っている唯一の答えですローカルデータからグローバルオブジェクトを組み立てるという現代の数学的アイデアに。残念ながら、' "非技術的アカウント。
回答
この文脈では、多様体という用語は正確です。しかし、不必要に高ファルチンです。技術的には、マニフォールドは、十分に滑らかで連続的な（ある程度の努力で数学的に明確に定義できる方法で）任意の空間（トポロジを持つ点のセット）です。
空間を想像してみてください。元の要因のすべての可能な値の。次元削減手法の後、その空間内のすべてのポイントが達成できるわけではありません。代わりに、そのスペース内のいくつかの埋め込まれたサブスペース上のポイントのみが到達可能になります。その埋め込まれた部分空間は、たまたま多様体の数学的定義を満たしています。 PCAのような線形次元削減手法の場合、その部分空間は、比較的単純な多様体である線形部分空間（超平面など）にすぎません。しかし、非線形次元削減手法の場合、その部分空間はより複雑になる可能性があります（たとえば、湾曲した超曲面）。データ分析の目的では、これらがサブスペースであることを理解することは、それらが多様体の定義を満たしていることを知ることから引き出す推論よりもはるかに重要です。
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- " Highfalutin " …今日新しい単語を学びました！
- 数学的に、多様体は、局所的に連続する位相空間です。平易な言葉で物事を説明しようとするアイデアは好きですが、この特性は実際には機能しません'。まず、連続性は常にローカルプロパティであるため、'ローカル連続性の意味がわかりません。また、あなたの定義では、有理数直線やユークリッド平面で交差する2本の直線の結合など、多様体ではない多くのことを除外できていません。' li>
- ベンに同意します。技術的には、' "ローカルユークリッド"。 'それを簡単な英語に要約する良い方法があるかどうかわかりません。
- 上記の2つのコメントにも強く同意する必要があります。実際、私が以下に書いた答えは、もともとこの答えに対する明確なコメントであり、長くなりすぎました。 "連続"位相空間の正確な概念はありません（ここを参照： math.stackexchange.com/questions/1822769/ … ）。存在しない概念の観点から多様体を定義することは、私の意見では、長期的には明確にするよりも混乱する可能性が高いです。少なくとも、最初の文の"数学的に"という単語を別の単語に置き換えることをお勧めします。
- 私は'このコメントをちょっとした質問をする機会として使用します…私は多様体のアイデアを思いついたのですが、なぜそれが"ローカル"が必要ですか？ 'スペース"ローカル"は連続的ではありませんか…全体として連続的ですか？
回答
ブロンスタインらが幾何学的深層学習に取り入れたように：ユークリッドデータを超えて（こちらの記事をお読みください）
おおまかに言って、多様体は、ローカルにユークリッドである空間です。最も単純な例の1つは、私たちの惑星をモデル化した球面です。ある点の周りは平面のように見え、何世代にもわたって地球の平坦さを信じるようになりました。正式に言えば、（微分可能な）d次元多様体Xは、各点xが、接空間と呼ばれるd次元ユークリッド空間と位相的に等価（同相）である近傍を持つ位相空間です。
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- 引用は自己矛盾しています。最初はリーマン多様体（"ローカルユークリッド"）を記述しますが、最後は位相多様体を記述します（同相写像は、定義上、微分構造を尊重する必要があるため、接空間の概念は適用されません。