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最も基本的な方程式"：これは算術の定理であり、算術の公理と定義の単純な結果です。
IF 1 + 1 = 2は、一種の"宇宙の法則"であり、したがって、普遍的にTRUEです。 、あなたはそれを反証することはできません。 もし私たちがそれを反証することを想像できるなら、それはある意味で人間の慣習または精神的構造であるからです。もしそうなら、なぜ宇宙は私たちを気にかけると思いますか？
そのステートメントで記号1、2、+、および=をどのように定義しますか？
'個人への影響に関心がある場合は、試してください。 ゼロ除算（到着と同じ作成者による）。この正確なシナリオについて説明します。
このトピックの歴史的根拠が必要な場合は、相対性理論を発見したときに何が起こったのか、そしてそれがどのように"無効化されたのかを調べてください"ニュートン力学。橋や建物の建設には今でもニュートン力学を使用していますが、軌道経路を計算するためのツールボックスのツールは'だけではありません。ニュートン力学は反証されましたが（つまり、適切な近似であることが示されましたが、不完全です）、それでも非常に便利なツールです。
回答
世界は今混乱していますか？ 1プラス1は 2に等しくないため、少なくとも常にではありません。
1リットルの水と1リットルの砂を取ります。それらを一緒に追加します。あなたは何を得ますか？湿った砂ですが、2リットルではありません。
ウサギを1匹取り、ウサギを1匹追加します。それらを一緒に追加します。十分な時間を待つと、2匹よりかなり多くのウサギになってしまう可能性があります。
純粋数学の分野でも、1プラス1は必ずしも2に等しいとは限りません。 「モジュロ2演算を使用している場合、1 + 1 = 0。「モジュロ2演算および1+ 1 = 2を処理している場合」、非常に間違ったことをしました。-また、モジュロ2演算があいまいな補足であるようではありません。現在、コンピュータは「ビットワイズxor」の形でそれを使用しており、最近のコンピュータはそれなしでは機能できません。 （確かに、モジュロ2演算はその特性がかなり単純なので、わざわざそれを研究する数学者は多くありません。）
数学公理（システムのプロパティに関する仮定）と、それらのシステムから論理的に続く含意に基づいています。これらの含意の1つが「反事実」であることが判明した場合、次に、論理が無効であるか、そのシステムの公理の1つが正しくありませんでした。-そのシステムの場合は重要なビットです。ある公理のセットに対して何かが事実に反しているからといって、それは意味しません。異なる公理のセットに対しては事実に反することです。
Euclidの並列公理を取ります。ユークリッドの公理の残りの部分にそれらを含めると、ユークリッド幾何学が得られます。これは、あなたと私が精通している「標準」幾何学であり、数学者のかなりの部分が操作します。ただし 、これが当てはまらないさまざまなジオメトリを設定できます。実際、現代の物理学は、私たちが実際には非ユークリッド幾何学に住んでいることを示しています。高度な物理学は、平行線公準が成り立つ真のユークリッド幾何学では機能しません。
つまり、ユークリッド幾何学は平行線公準は間違っていますか？いいえ。それは、数十万人の数学者やエンジニア、そして物理学者が毎日使用する完全に有効な幾何学的構造です。ユークリッド幾何学が観察された世界と矛盾する結果を生み出す公理を持っているという事実は、ユークリッド幾何学が無効であることを意味するのではなく、それらの公理があなたが観察しているシステムに適用されないことを意味します。それは彼らが勝ったことを意味しません他の状況では、「適用しない、または使用するのに最適なものではない」場合もあります。
したがって、1 + 1 = 2は非常に便利な観察であり、多くの場合に当てはまります。すべてではありません。 1 + 1 = 0、またはその他の数値の場合もあります。標準の自然数演算の公理が特定のシステムに当てはまらないからといって、それらが無効であることを意味するのではなく、単にそのシステムに適用できないことを意味し、別のセットを考え出す必要があります。算術システム。
または、公理が成り立つようにシステムを再定義することもできます。 （それは人々が必死に「しかしあなたなら…」とタイプする人々がしていることです。「あなたがそれらを別々の容器に保管するなら、彼らが両方とも女性であるなら、私たちがモジュロ算術を無視するなら…」あなたが再定義するなら公理が成り立つようなもの、それらの公理の論理的な結果は論理的に続きます。）
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答え
他の数学者がそうするように1 + 1 = 2は定義から自明であり、定理ではありません。あなたの質問は意味がありません。
あなたが宣言したかのようです：
1つの流体の跳ね返りを正確に30ミリリットルと定義します。
しかし、私が間違っていることが判明した場合はどうなりますか？
それはあなたの定義です。流体が跳ね返るので、間違っていることはありません。定義する前は、単に存在していませんでした。
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最も基本的な方程式
あなたの仮定には欠陥があります。 1 + 1 = 2は数学の公理ではありませんが、（Sputnikが指摘しているように）ピアノ公理が適用された結果です。 ベース10 の数値表現。
10進数（ベース10）から unary（base 1）と言います：
1 + 1 = 11。
または、バイナリ（ベース2、コンピューターが実際に使用するもの）、次のように言います：
1 + 1 = 10。
そのために、ローマ数字に入ることができます：
I + I = II。
したがって、1 + 1がではない表現があります 2（およびグリフ1がないシステムでも）、しかし宇宙は崩壊していませんまだそのためです。
さて、あなたの質問がもっと好きだったらどうしますか？ e …
ペアノの公理が自然界からの観測と矛盾する場合はどうなりますか？
その場合、私の答えは2つあります。
- ペアノの公理に基づく数学は依然として有用です
- 数学者は別の方法を考え出します自然界に適合する一連の公理と、それらの新しい公理に基づく数学
これを理解するには、たとえばニュートニアン物理学：これらは、自然界からの観察にうまく適合するいくつかの公理の上に構築された数学の大きなルールセットです。
しかし、アインシュタインは、いくつかの公理が実際には適合しないことに気づきました。 （特に物事が光速になるとき）、そして相対論的物理学を思いついた。これはニュートン物理学のすべてをほとんど無効にする。
ニュートンの物理学が間違っていることを知っている場合でも（モデルが単純すぎるため）、これらは多くの問題に有効なツールです。
Peanoベースの算術と同じです。自然界での観察に適合しなくても、優れたツールです。そして、不適合の結果として、別の数学のセットがそこから導き出される可能性があります。
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1 + 1！= 2の場合、1-1！= 0です。これは、核内の陽子の電荷がキャンセルしなくなったことを意味します。電子の電荷。したがって、すべての原子は正味の電荷を獲得し、すべての巨視的な物体は、重力よりも36桁強い信じられないほどの力で互いに引き付けられます（または反発されます）。これにより、宇宙全体がかなり短い順序で亜原子パルプに粉砕されます…
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回答
何が起こるかは概念的に非常に単純です。 「¬1+ 1 = 2」を証明する論文は、「ツェルメロフレンケル集合論が矛盾している」というタイトルに変更され、公開されます。
Fromそこで、それは難しくなります。証明がどのように機能するかに応じて、一貫性が復元される結果となる、新しい、より弱い集合論になってしまうはずです。またはもっと悪いこと。 ペアノの公理は無効になる可能性があり、その結果、率直に言ってわかりません。私たちが慣れ親しんだ操作の一部はなくなりましたが、勝ちました。 「足し算ではありません。整数の足し算は有限の領域で反証することはできません（科学に感謝します！）ので、反証への道にある何か他のものが捨てられます。たぶん、無限大の扱いはすべての数学で間違っています。多分何か他のもの。 「これが憶測のように聞こえたら申し訳ありません。憶測は実際に問題になっています。それは、パンチしたい穴の大きさによって異なります。
実用面では、何が起こるかはすでにわかっています。 。1+1 = 2は、合理的なドメインとユースケースに引き続き当てはまるため、引き続き使用します。しばらくすると、Computer Scienceの場合と同様に、障害モードが理解され、慎重に（またはそれほど慎重にではなく）除外されます。
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答え
1 + 1 = 2は必要な真実です—大まかに言って、すべての可能な世界に当てはまる声明。したがって、あなたの質問は、不可能な先行詞を伴う真の反事実条件節を求めています。これらは counterpossibles と呼ばれることもあります（例：セクション5.1 こちら）。
従来の見方はこれらのすべての反対の可能性は自明に真実です。この見方によれば、「1プラス1が2でない場合、 q 」は任意の q に当てはまります。より最近では、いくつかの哲学者は、科学と日常の推論を理解するには、彼らの真実を自明に伴わない反可能性のセマンティクスが必要であると主張しています。上記にリンクされている最後のSEPエントリで、この討論への参照を参照してください。
いずれにしても、1プラス1は必ず2に等しいので安心してください。
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証明は、ある種の正式なシステムで実行されたに違いありません。そうでない場合、説得力のある議論ほどの証明ではありません。したがって、ステートメントのいくつかのシステムに証明があります。 1 + 1！= 2。
論理の主題の哲学者と数学者は、この証明の詳細を注意深く見るでしょう。誰もが興味を持っているすべての形式的システムは、このステートメントの反対を証明するので、また、このステートメントを証明することは、使用されたシステムに一貫性がないことを示しています。そのため、システムは深刻な作業に使用できなくなりました。したがって、論理学者は、その特定の論理システムについて非常に重要なことを学んだはずです。同じ手法が一貫性を欠く他のシステムを知りたいと思うでしょう。
ある種のことを信じない限り、宇宙を「混乱に陥れる」ことはできません。 y it：magical？）アンドロメダ銀河の星の動きが、地球上の紙にどのようなマーキングをするかによって大きく影響を受ける効果。独我論者は、宇宙は論理的一貫性に対する彼らの個人的な信念によってのみ維持されていると私は思うかもしれません、そしてそれ故に宇宙は彼らがこの証明を読むことによって根本的に変えられるでしょう。ほとんどの人は外部の現実の存在を十分に信じており、宇宙が人間が行うまたは生成しない証明に関心を持っているとは信じていません。
哲学者は論理や形式的な証明に興味がないことを期待していますシステムは、少なくとも論理学者が、彼ら（非論理学者）が実際に1 + 1！= 2を証明する同じ欠陥のあるシステムを使用している条件を正確に説明するまで、結果をほとんど無視します。したがって、どのような理由が必要か
もちろん、1 + 1 = 2であることを反証することによって、あなたが何を意味するかにもある程度依存します。正式な論理的証明ではなく、「物理的証明」を想像するかもしれません。空のボウルに1つのオレンジを入れてから、同じボウルに別のオレンジを入れることができ、他のオレンジが追加または削除されておらず、ボウルに次のオレンジ以外のオレンジがいくつか含まれていることを誰かが証明した場合2、あなたは彼らが「1 + 1！= 2を証明した」と言うかもしれません。しかし、みんなの期待は、実際には、オレンジを含むある種のこれまで知られていなかった物理的プロセスが関係しているということです。つまり、現実の性質に関する私たちの概念を実際に変える何かを発見した一方で、それは「最も基本的な方程式」が論理的に間違っているためではなく、オレンジ（または物理的なオブジェクト）が原因です。一般的に）明らかにもはや算術に従わないので、方程式はもはやそれらに適用できません。当然のことながら、これは非常に厄介です。なぜなら、人間は常に物事を数えることができることに依存しているため、人間社会は混乱に陥る可能性があります。
回答
おそらく一貫性のない数学：
これは、セット、数値、関数などのありふれた数学オブジェクトの研究です。ここで、いくつかの [強調が追加されました]矛盾が許可されます。
そして参照してください算術に関する議論：
一貫性のない算術は、代替またはバリアントと見なされる場合があります非ユークリッド幾何学のように、標準理論に基づいています。
算術の標準公理はペアノであり、その結果、つまり標準算術理論は PA 。算術の標準モデルは N = {0、1、2、…} 、zeroとその後継モデル。
一貫した非標準モデルはすべてexです。標準モデルの張力、余分なオブジェクトを含むモデル。一貫性のない算術モデルは自然な二重であり、標準モデル自体がより基本的な構造の拡張であり、すべての正しい文を真にします。
一貫性のない算術は、1970年にRobertMeyerによって最初に調査されました。 “s。そこで彼は矛盾のない論理Rを取り、それに後継、加算、乗算、誘導を支配する公理を追加し、システムにR＃を与えました。
1975年、マイヤーは彼の算術が自明ではないことを証明しました。 R＃にはモデルがあるためです。特に、R＃には2要素ドメイン {0、1} を持つ有限モデルがあります。後続関数は要素上を非常にタイトな円で移動します。
このようなモデルはR＃のすべての定理を真にしますが、 0 = 1のような方程式を維持します。 ただの誤り。
では、何ですか？（制限付き？）まで生き残ることができるかもしれません。不整合の量。
しかし、これを考慮してください。 h-実験、一貫性のない算術のモデルの一般的な構造の Graham Priest 分析から派生した直感的な例に基づく：
一貫性のない要素までの算術の標準モデルを想像してください
n = n + 1 。
このnは非常に疑わしい、非常に多数 [強調が追加されました]、"物理的現実または心理的意味なし。"好みに応じて、これは最大の有限数または最小の矛盾数です。さらに、 j、k > n の場合、 j = k 。
クラシックモデルの場合 j≠k の場合、これも当てはまります。したがって、 j = k と j≠k 。 n より大きい数値に当てはまる事実は、 n
も、 n の後は、すべての番号が n 。
一貫性のあるモデルからの事実は失われません。
ただし、 n は非常に大きいが、心理的な意味がない"そして、銀行口座が n USD（またはGBPなど）。
その瞬間から、"の混乱がなくても、銀行口座はこれ以上増加しません。"通常の算術法則。
"宇宙は混乱に陥る" ？
ゲーデルの定理は、十分に有用な数学的システムは不完全または矛盾している、つまり、証明または反証できないステートメントがあるか、真と偽の両方で証明できるステートメントがあると大まかに言っています。
真か偽かを証明できなかったという声明がたくさんあり（しかし、それは私たちが十分に賢くなかったためかもしれません）、矛盾は証明されていません（しかし、それは私たちが十分に賢くなかった）、したがって、「1 + 1≠2」が証明できることは考えられないことではありません。1+ 1 = 2は、真と偽を同時に示します。
どうなるでしょうか？数学者の間で多くの罵倒が起こるでしょう。この事実を無視して、有用な数学を残す方法については、多くの議論が行われるでしょう。宇宙は「変わらない」。
質問を考えると、「1 + 1 = 2」は反証することはできず、決して反証することはない（つまり、公理の単純な適用にすぎない証明が証明される）。リモートで可能なことは、それが真であるという証明に加えて、それが偽であるという証明もあるかもしれないということです。
数学および/または科学は向上します。
数学者はパターンを探して使用し、新しい推測を定式化します。数学的な証明によって推測の真偽を解決します（ wikipediaから）。1+1 = 2は、質問を無意味または不定形にする証明からではなく、定義から推測されると主張するかもしれません。しかし、あなたの質問は、より広い意味でまだ有効です。数学的証明は間違っている可能性があります。それはすでに起こっています。この数学のオーバーフローの質問には、正しくない歴史的な証明と予想がたくさんあります。そのようなエラーが発見された場合、宇宙を粉砕することが起こります。私たちは間違っているのをやめて正しくなり、数学の知識を向上させました。
つまり、1 + 1 = 2を含まない公理を扱っているとしましょう。そして、数学的推論によって1 + 1 = 2に到達し、その数学的証明を確立します。そして、議論のために、後でそのような証明が間違っていることを発見したとしましょう。実際には1 + 1 = 3です。いいえ、それは宇宙を混乱に陥れることはありません。宇宙は人間が到達する前の状態でした。 1 + 1 = 2の概念（または私はそれを観察するために実際にそこにいなかったと思いますが、それがどのようであったかを知るのに役立つ多くの良い証拠があります）そして数学的な証明が正しくないことが証明されるたびに宇宙は混乱に陥ることはありませんでした。数学の理解が変わりました。1+ 1 = 3でも同じであると考えるのが妥当です。
混乱に陥る可能性のあることが1つあります。数学者。1+1 = 2が偽であることがわかったので、それに依存するすべての証明に欠陥があります。欠陥があり、正確に間違っているわけではありません。1+1 = 2に依存する証明によって検証されたステートメントは、依然として真である可能性がありますが、古い証明その真実を確立するのに役立たないでしょう。多くの資料を修正して書き直す必要があり、多くの議論が続くでしょう。しかし、私たちはより賢明に出てくるでしょう。混乱の中で。
1 + 1 = 2に依存する科学理論はどうですか。この質問に対する別の回答で説明されているように。いいえ、これは宇宙全体をかなり短い順序で亜原子パルプに粉砕することはありません。宇宙は、私たちが1 + 1 = 3を発見する前の状態であり、今後もそうなるでしょう（他の反証された証明でもそうなっていると思います）。古い科学理論が宇宙を適切に説明していないことがわかったので、より良いモデルが開発されるでしょう。
短い答え：はい。そのような初歩的で一見明白なステートメントが誤りであることを証明できれば、それは私たちが数学について知っていると私たちが考える多くのこと、そしておそらく宇宙についての他の多くのことを疑問視するでしょう。
では、何ですか？この声明が誤りであるという証拠がない限り、それは「無意味な仮説です。確かに、私は」、「この政治政策が証明された場合はどうなるか」など、複雑な主題について誰かが私に仮説を提示するという会話がたくさんありました。あなたが支持することは「うまくいかないのですか？」、「神があなたに何か悪いことをするように命じられたらどうしますか？」など。そして私の答えは一般的にあなたが説明する仮定の状況が起こりそうだとは思わないということです。 1 + 1 = 2が偽であると誰かが証明した場合はどうなりますか？」
厳密な数学的意味では、定義上真であるため、1 + 1 = 2が偽であると証明する方法がわかりません。 「2」の定義は「1 + 1」です。少なくともそれは私が数論の授業で教えられたことです。現代の数学の複雑さを考えると、おそらく他の分野には他の定義があります。しかし、あなたは定義が間違っていることを証明することはできません。それは…定義によって本当です。