通常の五芒星（5点の星）では、各点の角度は36度であるため、5つの点すべての角度が合計を180度にします：
次のような不規則な五芒星はどうですか？
これで、角度がすべて互いに異なる可能性があります。状況ははるかに複雑です。 5つのポイントすべての角度の合計が180度であることを証明できますか >
制限（これが[数学のパズルとは対照的に]数学の問題でも、計算や高度なユークリッド幾何学の練習でもないことを明確にするため）：
- 数学演算は許可されていません（加算、乗算など）
- 星に新しい線セグメントを1つ描画できますが、それを超えることはできません
コメント
- 申し訳ありませんが、これは単なる数学の問題だと思います…（”証明”、”角度”、” sum “、” 180度”）
- @MarkN 正規のメタ投稿、これについては、問題ではなく数学のパズルの兆候があります。 ea 賢いまたはエレガントな解決策、多くの場合” aha “の瞬間、予期しない問題の説明、または予期しないまたは直感に反する結果。私が考えているソリューションには、間違いなくこれらの機能の最初のものがあり、IMOも最後の2つです。
- これは’数学パズルではありません-‘ロジックパズル。通常、この論理は数学も教えている人から学びます。
回答
$ \ hskip 1.5in $ 
夢のようなものですか？
これは、の連続する各角度をスイープする矢印の画像です。スター。すべての$ 5 $角度をトレースした後、その方向が逆になっていることに注意してください。つまり、$ 180 ^ {\ circ} $を回転させており、これは角度の合計である必要があります。あなたのフィギュアの星にも同じことができます、エルゴ、その角度の合計は$ 180 ^ {\ circ} $になります。
一般化：
角度の合計が$ 180 ^ {\ circ} $のこのような図に対しても、同じことができます：$ \ hskip 1.5 in $ 
これを三角形に対して行うこともできます。重要なプロパティは次のとおりです。
光線の通過によって押し出された円錐の内部にある星の頂点があってはなりません。与えられた角度。
この条件を満たします。これは基本的に、頂点を「無視」する必要はなく、矢印を回転させて何を確認するかを示します。ヒット-頂点を「時計回り」に並べることができるので、各角度で、矢印の頭または尾のいずれかが次の頂点に順番に移動します（そしてそれらは交互になります）。明らかに、頂点の2倍の角度がトレースされると、頭と尾の両方が完全に回転し、目的の結果が得られます。
（私の条件を「頂点に番号$ 1 $を割り当てる」と表現することもできます。中心点から見て時計回りに$ 2n + 1 $を介して、$ 1 $が$ n $と$ n + 1 $に接続し、他のすべての点も同様に接続されている必要があります “）
コメント
- （また、’の価値については、答えがそうでなくても、このパズルが本当に気に入りました。意図したもの-私は良いものを持っていました、”まあ’の明らか “瞬間、数時間の激しい頭をかきむしり、それが明白である理由を理解しようとし、続いて”ああ！それはだった明らかです！”）
- あなたのコメントはこのジョークへの参照だと思います ？ =）
- ‘私も探していた答えよりもさらに優れており、一般化もカバーしているため、受け入れられました。
回答
鉛筆を1行目に配置します。
鉛筆を回転させて2行目に合わせます。五角形の上部の角度だけ反時計回りに回転させました。
もう一度反時計回りに回転させて線に合わせます。 3.次に、4行目、5行目、最後に1行目に戻ります。鉛筆をペンタグラムの5つの角度すべてに順番に回転させたところです。
そして、何が起こったのでしょうか。鉛筆は、それが開始したのと同じ線上にあり、反対方向を指しています。各ステップで鉛筆がどの方向を指しているかを追跡すると、合計で、鉛筆を反時計回りに半回転させたことがわかります。ここで、$ 180 ^ \ circ $。
コメント
- これは、回転した可能性を排除するために微調整すると、美しい証拠になります。 $ 180 ^ \ circ $の他の奇数倍を鉛筆で描きます。 この七芒星では、鉛筆も反対方向を向いていますが、$ 540 ^ \ circ $を回転しています
- からの連続的な変形があります変形した五芒星への参照五芒星。したがって、回転は180°の倍数から別の倍数にジャンプすることはできません。
- 基本的に、$ n < \ frac m 2 $は$ 360 \ times（\ frac m 2-n）$度回転します。
- わかりやすい説明Lopsy …シンプルでクリーン：）4つの角度を視覚的にとるそれらを0に減らし始めます..これが起こるときに星がどのように見えるかを考えてください… 5番目の角度は適応するために成長し続けます… 4つの角度が0になり、5番目が180（つまり直線）になるまで..： ）しかし、私はLopsy ‘の説明の方が好きです..;）
- この回答の美しさは、’ tは数学的な証明のように読みます。誰でも理解できます。
回答
もう1つの証拠です。
ラベル図のように点を描き、線分CDを描きます。A、Bなどを使用して、合計を求める角度を示します。
今
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ （三角形の角度）
したがって、それを証明するだけで十分です
$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $
今
$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ および
$ \ angle DCA = C + \ angle ECD $
したがって、それを証明するだけで十分です
$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $
これは明らかに真実です。
LHSは
$ \ angle DFC $ の補足であり、RHSは $ \ angle EFB $の補足です、ここで $ \ angle DFC $ と $ \ angle EFB $ は、垂直方向に反対であるため等しい。
コメント
- これが私が探していた答えです。
- つまり、このソリューションを2つのルールにまとめることができます。三角形の角度= 180で、2つの交差する線の反対の角度は等しいです。
- @randal ‘ thorこのソリューションには追加も含まれるため、制限に準拠しないか、制限を変更する必要があります。
- ええ、これは-the-ではなく、最も数学的なものの1つです。 -ここでの答え。算術演算がないからといって、それが数学ではないというわけではありません…
答え
五角形の内角の合計は常に540°です。
各外部ポイントの角度は、常に2つの隣接する内角の合計（180°）です。内角AとBが与えられると、三角形の角度は180-A、180-B、Xであるため、これを言うことができます。三角形の角度の定義により、Xは$ 180-（180-A）-（ 180-B）= A + B-180 $。
五角形の各内角は2回使用され、5つのポイントがあるため、$（2 \ times 540）-（5 \ times 180）= 180°$
コメント
- これはグレード9のジオメトリで頭がピークになっていると思います…
- これは私が考えていた証明よりも複雑です。可能な証明をもう少し制限するために質問を編集する場合がありますが、’それでも+1を与えます。 2番目の文を正当化できますか？また、’ 3番目の文が何を言っているのかわかりません。
- AとBを五角形の2つの隣接する内角とすると、三角形の点は180-（180-A + 180-B）= A + B-180
- +1素晴らしい証拠ですが、写真または2を使用できれば、かっこいいでしょう。 gifでも！
- ‘この証明を一般化して、任意の n -グラムの合計は$ 180 ^ \ circ $になります。ただし、形状が各ポイントを n -gon上の2つの隣接するポイントに接続している場合に限ります。（ユニカーサルヘキサグラムは’接続基準を満たしていないことに注意してください。また、2つの三角形から形成されたヘキサグラムも満たしていないため、2つのユニカーサルヘプタグラムのうち1つだけが満たされています。）
回答
ここにもう1つのきちんとした証拠がありますが、今回は誘導によるものです。通常の五芒星から始めて、五芒星を作成できます。 4つのポイントを連続して移動します。したがって、
五芒星でポイントを移動しても、角度の合計が変化しないことを証明するだけで十分です。ポイント
みましょう
ポイントAをAに移動して、 Aでの角度とAでの角度の両方 “上部の角度
次のようになります：
それを証明するだけで十分です
トップアングルの変化と角度の変化CとDの合計がゼロになる。
この新しい図について
表示
上角の変化を$ xw $として、DとCでの変化を$ -y $と$ z $として
そして、
$ xw-y + z = 0 $、つまり$ x + z = w + yであることを証明する必要があります$、
これは前と同じように明らかです。
LHSとRHSは、Gでの垂直方向に反対の角度の補数です。
回答
別のアプローチ：
通常の星から始めて、$ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $であることがわかります。次に、図に示すように線分を描画します。
$ B、D、E $に注意してください。変更されないままです！観測から、$ Y = C-X $および$ Z = A + X $であることがわかります。
したがって、新しい星のポイントの合計$ ZBYDE = Z + B + Y + D + E =（A + X）+ B +（CX）+ D + E = 180 ^ {\ circ} $。
これで、引き続きセグメントを描画し、新しい星を作成（および再スケーリング）できます。
コメント
- いいですが、もっと直感的にできるように何かを追加して、一般的な不規則な五芒星。その点を通る線の1つに沿った1つの点の移動と再スケーリングのシーケンス。私の脳はとてもD：
答え
それは避けられない 計算を行う必要があります-意図した結論は結局のところ定量的なものです-したがって、課題はtであってはなりませんo算術演算を非表示にしたり、他の名前で呼んだりすることはありませんが、それを明白で完全に単純にするためです。次の引数は、5が4より1多いこと（そして全体が半分の2倍であること、パスで使用される事実）を観察するように算術を減らします。
星はその中心に2回巻かれているため、星を横切る人は2つの完全な円（4つの半円）を回す必要があります。すべての回転は頂点でのみ発生し、最大量は円の半分の完全な約面です。 5つの頂点の場合、5つの半円、または実際に回転するよりも1つ多い半円になります：180度。この最大値と実際に達成される回転量との間の不足は、正確には内角の合計、 QEDです。
このアプローチは、現代の（つまり、18世紀以降の）数学で採用されているアプローチです。それは、それ自体が湾曲することができる他の図内に描かれた任意の寸法の任意の図に一般化されます。これは、ガウスボネ定理として知られています。
回答
「円周角の測度は、それが遮る弧の測度の半分である」という円ベースの定理があります。これは、角度 x の場合、それが遮る円弧は 2x になることを意味します。 
これで、星を円に内接すると、次のようになります。
前の図面にラベルを付けると、これが表示されます;
この定理により、角度∠1= c / 2、∠2= d / 2、∠3= e / 2、∠4= a / 2、および∠がわかります。 5 = b / 2。それを配布すると、∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（a + b + c + d + e）/ 2 が得られます。さらに、円内のすべての円弧の測度は合計で360になるため、 a + b + c + d + e = 360 であることがわかります。最後に、置換プロパティを使用して、∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360/2 、または∠1+∠2+∠3+∠4を取得します。 +∠5= 180 。したがって、すべての角度の合計は180です。
コメント
- ‘あなたの議論には1つの欠陥があります。すべての五芒星を内接できるわけではありません。円。
- @ThomasKwa例を教えてください。
- @ user1812例の任意の1点を円の内外に移動するだけです。円を定義するのに必要なポイントは3つだけで、五角形には5つあります。
回答
この証明感覚は角度の程度を数えることに他なりません。
五角形は、規則的であろうと不規則であろうと、内角の合計が540であることを思い出してください。 2本の直線の交点の角度の合計は360度になり、反対の角度も一致します。
中央の五角形の5つの点、つまり2本の線の交点が発生する点について考えてみます。これらの5つのポイントの周囲には、合計360 x 5 = 1800度、カウントする5 x 4 = 20の角度があります。
20の角度のうち、5つは国防総省からのもので、さらに5つはそれらに合同です。したがって、これは540 + 540 = 1080度を占めます。 1800-1080 = 720度の残骸は、5つの三角形の内側から来ています。
5つの三角形には、5 x 180 = 900度相当の内角が含まれています。それらの度の720は、五角形/三角形/交差点の角にあります。
これは星の先端に900-720 = 180度を残します。
編集：ここでの計算は単に角度の省略形です他の回答と同じように、足し算と引き算を行います。
答え
中央のペンタゴンはA、B、C、Dです。 、Eには540度が含まれています
5つのペアの補助角度を合計します。 2（180-A）+2（180-B）+2（180-C）+2（180-D）+2（180-E）= 1800 2（540）= 720この720度は「ベース」を表します合計5 * 180 = 900 900-720 = 180の5つの三角形の角度（求められている5つの角度。
ポイントの5つの三角形の合計は5 * 180 = 900
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- 質問は、算術演算を使用せずにそれを証明することを具体的に求めています。