最初に、モデルfとしての量子力学の一般的ないくつかの側面を思い出させます（またはおそらく紹介します）。または物理システム。あなたの質問の多くは、これらの一般的な側面をよりよく理解した後、スピンシステムが特殊なケースとしてどのように出現するかをアピールすることで答えることができるようです。

量子状態と測定に関する一般的な注意事項。

量子システムの状態は、単位長要素$ | \ psi \ rangleとしてモデル化されます。複雑なヒルベルト空間$ \ mathcal H $の$、内積を持つ特別な種類のベクトル空間。そのようなシステムに関連するすべての観測可能な量（運動量やスピンなど）は、その値を測定する可能性があり、その空間の自己随伴作用素$ O $によって表されます。そのようなオブザーバブルを測定するデバイスを構築し、そのデバイスを使用してシステム上でそのオブザーバブルを測定する場合、マシンはそのオブザーバブルの固有値$ \ lambda $を出力します。さらに、システムが状態$ | \ psi \ rangle $にある場合、その量を測定した結果が観測量の固有値になる確率は\ begin {align} p（\ lambda）= | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}ここで、$ | \ lambda \ rangle $は、固有値$ \ lambda $に対応する正規化された固有ベクトルです。

スピンシステムの特殊化。

ここで、検討しているシステムが粒子のスピンで構成されているとします。スピン$ s $を持つシステムのスピン状態をモデル化するヒルベルト空間は、$ 2s + 1 $次元のヒルベルト空間です。このベクトル空間の要素はしばしば「スピノール」と呼ばれますが、これが気を散らさないようにしてください。システムの量子状態をモデル化することが仕事であるヒルベルト空間の他のベクトルと同じです。

スピンシステムについて通常議論される主な観測量は、システムのスピンのデカルト成分です。言い換えると、固有値が可能な値である、従来は$ S_x、S_y、S_z $と呼ばれる3つの自己隣接演算子があります。システムのスピンのこれらのコンポーネントの1つを測定すると、得られる可能性があります。これらの各演算子のスペクトル（固有値のセット）は同じです。スピン$ s $のシステムの場合、それらの各スペクトルは次の値で構成されます：\ begin {align} \ sigma（S_i）= \ {m_i \ hbar \、| \、m_i = -s、-s + 1、 \ dots、s-1、s \} \ end {align}ここで、私の表記では$ i = x、y、z $です。したがって、たとえば、スピン$ 1 $システムのスピンの$ z $コンポーネントを測定するマシンを構築すると、マシンはセット$ \ {-\ hbar、0、\ hbarの値の1つを生成します。 \} $毎回。これらの固有値のそれぞれに対応して、各スピン成分演算子は正規化された固有ベクトル$ | S_i、m_i \ rangle $を持ちます。上記の一般的な注意事項で示されているように、システムの状態が$ | \ psi \ rangle $であり、スピン成分$ S_i $の測定で特定の値$ m_i \ hbar $が得られる確率を知りたい場合、次に、\ begin {align} | \ langle S_i、m_i | \ psi \ rangle | ^ 2を計算するだけです。 \ end {align}たとえば、システムにスピン-$ 1 $があり、$ S_y $の測定で固有値$-\ hbar $が得られる確率を知りたい場合は、\ begin {align}を計算します。 | \ langle S_y、-1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

スピノール。

上記のコンテキストでは、スピノールは特定のスピンシステムの状態を特定の順序で行列表現したものであり、パウリスピン行列は正規化までは次の行列表現です。特にスピンのあるシステムのためのその基底のスピン成分演算子-$ 1/2 $。行列表現は、計算と概念の理解を容易にすることがよくあります。そのため、これらを使用します。

より明確に言えば、スピン$ 1/2 $システムを検討し、状態とオブザーバブルを基底$で表すことを選択したとします。 B =（| S_z、-1 / 2 \ rangle、| S_z、1/2 \ rangle）$は、スピンの$ z $コンポーネントの正規化された固有ベクトルで構成され、その基底で次の行列表現が見つかります\ begin {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align}そのことに注意してくださいこれらの表現は、追加の$ \ hbar / 2 $係数までのパウリ行列です。さらに、システムの各状態は、$ 2 \ times 1 $行列、または「スピノール」\ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrixで表されます。 }。 \ end {align}そして、これらの表現を使用して、上記の計算を実行できます。

コメント

• ありがとうございます。これは私が大いに理解するのを助けました。負の固有値を返す固有状態がスピン’ down ‘と正のスピン’ up ‘？私の理解を確認するために、私は’上記で使用した例を計算しようとしました。x次元（固有値hbar）で上昇していると測定されたスピン1粒子が正規化された状態< 1/2、sqrt（2）/ 2、1 / 2 >、およびaz次元の確率戻る測定値は1/4になり、スピンゼロを返す値は1/2になり、下に1/4になりますか？
• +1私は特に”マシンが好きです

グループは抽象的な数学的構造であり、定義されていますそれらのトポロジー（連続（リー）群の場合）と乗算演算によって。

しかし、抽象的な群について話すことはほとんど不可能です。そのため、通常、グループの要素は、あるベクトル空間$ V $に作用する線形演算子にマッピングされます。

$$ g \ in G \ rightarrow \ rho（g）\ in \ text {End}（V ）、$$

ここで、Gはグループ、$ \ text {End}（V）$は$ V $の自己準同型（線形演算子）を表し、$ \ rho（g）$はマッピングです。 。このマッピングを意味のあるものにするには、グループ乗算を適切にマッピングする必要があります。

$$ \ rho（g_1 \ circ g_2）= \ rho（g1）\ cdot \ rho（g2）。 $$

逆もマップされます

$$ \ rho（g ^ {-1}）= \ rho（g）^ {-1} $$

そしてグループIDはちょうど

$$ \ rho（e）= \ text {Id} _Vです。 $$

これは、グループ$ G $の表現と呼ばれます。 $ V $は、グループ$ G $の表現$ \ rho $の下で変換されます。

あなたの場合、対象のグループは、通常SO（3）として表される3次元の回転のグループです。私たちの目標は、回転できるさまざまなオブジェクト、つまりSO（3）の表現（および表現空間）を見つけることです。

そのような表現の1つは、定義表現（SO（3）の定義に使用）です。 、またはベクトル表現。この場合、$ V $は$ R ^ 3 $であり、$ \ rho（\ text {SO（3）}）$からの行列は、単位行列式を持つ直交$ 3 \ times 3 $行列です。

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

したがって、ベクトルは3次元で回転できます。 $ g \ in \ text {SO（3）} $によるこのような回転の結果は、演算子$ \ rho（g）$を使用して初期ベクトルに作用することによって決定されます。

別の表現はスピノールです。表現。ベクトル空間は 2次元で複雑になりました。この表現の画像は、単位行列式を持つ単一の$ 2 \ times 2 $で構成されています：

$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

スピノールは日常生活では通常見られないものであるため、この表現は前の表現ほど明白ではありません。しかし、これらの表現は同形であり、したがって同じグループの2つの異なる表現であることが数学的に証明できます。 （実際には、それらは同形であり、スピノール表現はベクトル表現の二重カバーです。）

ここで、パウリ行列です。一般的な原則があります。各Lieグループ$ G $には、対応する線形が存在します。 $ G $のグループユニティのある近傍に一意にマッピングされるLieブラケット（Jacobiアイデンティティを満たす反可換演算）を持つスペース（Lie代数）。このマッピングは指数と呼ばれます。

So任意の（グローバルなトポロジー問題を回避するために1に十分近い）$ 2 \ times 2 $複素行列frを書くことができます。スピナー表現の形式

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right]、$$

where $ \ alpha ^ a $は、表現が$ A $であるグループ要素をパラメーター化する3つの数値であり、$ \ frac {i} {2} \ sigma_a $はリー代数の基底であり、$ \ sigma_a $ -3 $ 2 \ times 2 $パウリ行列。この方程式は、スピノールが任意の回転の下でどのように変換されるかをほぼ指定します。

ベクトル表現には、3つの$ 3 \ times 3 $行列で構成されるリー代数基底もあります。

JoshPhysicsの優れた物理的説明。以下は”ファンキーなトリビア”（at少なくとも、物理的な解釈ではなく、パウリ行列について興味深いと思います。

1. $ \ mathfrak {su}（2）$

最初の解釈は、（i）それらがユニットクォータニオンであり、符号の変更と数学者の定義の並べ替えを法として、さまざまに見られます。これらの獣、（ii）リー代数の基礎としてpan class = “math-contai $ SU（2）$ のner “> $ \ mathfrak {su}（2）$ は、行列指数を使用してグループ $ SU（2）= \ exp（\ mathfrak {su}（2））$ から（iii） DeMoivreの定理。

一般的なトレースレスの $ 2 \ times2 $ 歪エルミート行列 $ H $ は、次のように一意に分解できます。

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

with $ \ alpha_x、\、\ alpha_y、\、\ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ 。この行列は、特性方程式 $ H ^ 2 =-\ frac {\ theta ^ 2} {4} \、\ mathrm {id} $ を満たします。ここで、 $ \ mathrm {id} $ は、 $ 2 \ times2 $ のIDとです。 $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ 。したがって、普遍的に収束する行列指数テイラー級数を展開し、特性方程式を使用して線形項よりも $ H $ のすべての累乗を減らすと、次のようになります。

$$ \ exp \ left（H \ right）= \ cos \ left（\ frac {\ theta} {2} \ right）\ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left（\ frac {\ theta} {2} \ right）\ tag {2} $$

これは、Deの一般化と見なされます”純粋な架空の”ユニット

のMoivreの式$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

および $ SU（2）$ のすべてのメンバーは、（2）のような指数関数で実現できます。 （ただし、この場合は $ SU（2）$ 全体ですが、Lie代数の指数は、緯度がない限り、常にLieグループ全体であるとは限らないことに注意してください。 terは（i）接続され、（ii）コンパクトです）。したがって、 $ SU（2）$ のすべてのメンバーは、パウリ行列との”単位長の重ね合わせとして分解できます。単位行列。

定義 $ \ theta / 2 $ の因数2の理由は、これまでのところ不思議です。上記では、 $ \ theta / 2 $ を $ \ theta $ に簡単に置き換えることができます。その理由は、後で説明するパウリ行列と天球の関係に関連しています。クォータニオンはスピノールマップを介した回転を表します（ただし、Joshphysicsがアドバイスしているように、は、この単語にあまり気を取られないでください）。 3空間のベクトルが、 $ x \、\ sigma_x + y \、\ sigma_y + z \、\ sigma_z $ の形式の純粋に架空のクォータニオンで表される場合、次に、方向コサイン $ \ gamma_x、\、\の軸を中心に角度 $ \ theta $ を回転させたときの画像gamma_y、\、\ gamma_z $ は次の式で与えられます：

$$ x \、\ sigma_x + y \、\ sigma_y + z \、\ sigma_z \ mapsto U \、（x \、\ sigma_x + y \、\ sigma_y + z \、\ sigma_z）\、U ^ \ dagger; \ quad U = \ exp \ left（\ frac {\ theta} {2} （\ gamma_x \、\ sigma_x + \ gamma_y \、\ sigma_y + \ gamma_z \、\ sigma_z）\ right）\ tag {4} $$

このスピノールマップはグループの例です $ SU（2）$ は、隣接する表現を介して独自のLie代数に作用します。これは、次の点で直感的に理解できます。下の図にスケッチされているように、2つの回転の構成を計算するための三角形のルール。単位球上の円弧は、原点の円弧によって定められた角度の2倍の角度での回転を表します。

これについては例1.4 ” $ 2 \ times2 $で詳しく説明します。 ユニタリグループ $ SU（2）$ “私のWebページ”接続されたライグループの例”ここ。

インタラクティブな数学のデモンストレーション ” $ SU（2）$ スピナーマップ：グラフィカルなクォータニオン三角形による回転構成” 。

2。天球

パウリ行列の重ね合わせの3次元線形空間を拡張することによって（これはトレースレス の線形空間と同じです。 $ 2 \ times2 $ スキュー-エルミティアン行列）をパウリ行列と単位行列がまたがる4次元空間に変換し、グループ $ SL（2、\ 、\ mathbb {C}）$ は、 $ t \、\ mathrm {id} + x \、\ sigma_x + y \、\ sigma_y +の形式のベクトルに作用します。 （4）と同じスピナーマップによるz \、\ sigma_z $ 。この空間の射影光線に制限すると、グループ $ SL（2、\、\ mathbb {C}）$ は、

メビウス変換は、リーマン球に作用するメビウス（分数線形）変換とまったく同じ方法で、この光線空間に作用します。 $ SL（2、\、\ mathbb {C}）$ はローレンツ群の二重カバーであり、宇宙飛行士の見方がどのように変化するかを計算できます。ローレンツ変換を受けます。ウィキペディア”

一般的な機械的な説明。場と波は双曲型方程式（波動方程式）に従います。これらは時空の進歩を表すため、静止している必要があるが回転している可能性のある質量を表すことはできません。このような運動には楕円型方程式が必要です。例として、クライン-ゴルドン方程式は双曲線ですが、ディラック方程式は楕円型。流れる流体には、平行した例があります。渦と乱流は、境界の助けなしに形成することはできません-流れを前進から循環状態にそらすために。最初の領域は双曲線で、2番目の領域は楕円です。

フィールドから粒子（回転エネルギー）を作成するには（位置を移動）、フィールドの方向を偏向/回転させる必要があります。これは、パウリ行列が助けになり、必要な楕円率を与える場所です。これが、虚数/回転が使用される理由です。量にiを掛けると、90度回転します。一般的な角度では、虚数の指数を使用します。

後で、より一般的なモデルで波動と粒子のラグランジュを混合すると、元に戻ります。ヒッグスを使用して、あるタイプのエネルギーから別のタイプのエネルギーに、つまりフィールドから粒子に、またはその逆に変換する同じ仕事をします。