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無限の数の数に疑問を呈するのはあなただけではありません。実際、数の無限のスペクトルを探求する思想の学校全体、無限のスペクトルを超えた超限数を探求する思想の学校全体、そして無限が存在しない数学を行う方法を探求する思想の学校全体があります（有限主義の学校として知られています）考え）！
無限数の議論の基本は、Peano算術の概念です。ジュゼッペペアノは、いわゆる「自然数」の公理のセットを開発しました。これは、非公式にシーケンス0、1、2、3、4として定義されています。 ..公理は次のとおりです。
- 0は自然数です（存在すると宣言します。定数です）
- すべての自然数に対して
x、x = x（再帰：すべてが「等しい」）
- すべての自然数
xおよびy、x = yの場合、y = x（等式の対称プロパティ）
- すべての自然数
x、y、z（
およびy = z、次にx = z（同等の遷移プロパティ）
For bが自然数で、iv id = “の場合、すべてのaおよびb 47e1f60da0 “>
その場合、aは自然数です（等式は「閉じています」）
次に、関数Sは、後続関数と呼ばれるため、0より大きい数値を使用できます。非公式には、S(0)=1、S(1) = 2などです。
- すべての自然数
nについて、S(n)も自然数です
- すべての自然数
m、およびnの場合、m = nの場合のみS(m) = S(n)（Sは注入です）
- すべての自然数
n、S(n) = 0はfalseです（数値の後続が0になることはありません…別名0は「最初の」自然数です）
今、私たちはあなたの質問を非常に興味深いものにする公理、誘導の公理が必要です：
-
fがそのような関数である場合t f(0)は真であり、すべての自然数nについて、f(n)が真の場合f(S(n))が真の場合、f(n)はすべての自然数に当てはまります。
最後の公理は非常に興味深い動作を発生させるもの。それは無限に向かって到達しようとし、それを把握する方法を提供すると主張するものです。そして、すべての公理のように、それは必ずしも「正しい」とは述べておらず、単に範囲内で真実であると宣言されているだけです。算術の規則の（Peanoによって定義された）。
算術の多くは、「集合論」として知られているものに形式化されました。これは、多くの数学の基礎です。宇宙がどのように編成されているかについては基本的なようです。集合論は、{0, 1, 2, 3, 4}。ペアノ算術は、最も一般的に次の構造を使用して集合理論にマッピングされます。
- 空の集合
{}は定数ペアノの公理
- 後継関数
S(n)は` S（n）= {{}、{n }}（任意の数の後継は、空のセットと前の数を含むセットの和集合であると定義されています）
その定義は少し鈍いように聞こえますが、それが理由で選択されましたは、他のすべてのペアノの公理をこれら2つの定義に簡単にマッピングできます。これにより、集合理論の公理を使用して、非常に強力で基本的な方法で「数」を操作できるようになります。これらの中で最も重要なものの1つは、セットのカーディナリティ。これはセット内の物の「数」です。非公式には、{1、2、3}、{3、4、5}、および{apple、orange、orangutan}はすべてカーディナリティが3です。 3つの要素がありますが、{2、4、6、8}のカーディナリティは4です。
これは「すべての自然数のセット」は有効なセットであり、通常は大文字のNで表されるため、注意が必要です。「のカーディナリティは何ですか？すべての自然数の集合？」答えは「無限大」であり、そのステートメントは定義として作成されます。 Nのカーディナリティは、英語名「countableinfinity」が付けられたℵ₀と呼ばれる特定の番号として定義されています。はい、数学者にとって、無限大は可算です。理論的には0から始めて、1、2、3、4、5 …まで数え、帰納法に従って「到達」ℵ₀できるからです。連続体のカーディナリティまたは実数の数として知られるℵ₁などの数え切れない無限大もあります（連続体仮説が真であると仮定すると…これについてはさらに異なる意見があります）。 「私はあなたに無限大をプラス1回あえてダブルドッグします！」のようなフレーズを処理できる「トランスフィニット」数について考えました。
数学の無限大のウサギの穴へようこそ。私たちはここで何かを意味する言葉を定義しました。それは一連の公理に関して定義されています。それらの公理は「実生活」に当てはまりますか？ほとんどの数学者はそれらがそうだと推測するのが便利だと思います。あなたが今日これを読んでいるコンピュータ微積分からの多くのモデルを使用して開発され、微積分のルーツは無限の奥深くにあります（特に「限界」の概念）。これまでのところ、その仮定は私たちにかなり良い結果をもたらしました。その仮定は「本当ですか？」それはもっと複雑です。質問。自然数の数が有限であるという仮定から始まる有限主義の考え方があり、通常、何らかの形で人間の精神または宇宙の有限の能力に関連しています。時間が有限で計算が有限である場合、理論的には「無限大」を計算することはできないので、彼らはそれが存在しないと主張します。彼らは正しいですか？そうですね…彼らの定義によれば、反対の主張が真実であるように。ペアノの公理と集合論の定義。どちらも「無限大」という言葉をこれまでにないわずかに異なるものを意味するように定義しているため、どちらも間違いなく真実である可能性があります。
最後に、言語学に手を出す価値があるかもしれません。選択：「それで、数は無限であると言えますか？」私たちは多くのことを言うことができます。それらが真実の理想（それ自体を正式に説明するのは非常に難しい言葉）を満たすかどうかは、個人の意味に大きく依存します。言葉。主流の数学によって与えられた「無限大」の定義を受け入れる場合、文字通り、主流の数学が「無限大」をそのように定義しているため、「数は無限大」は真です。有限主義者によって与えられた定義を受け入れる場合、「数は無限大」は誤りです。文字通り、有限主義者は「無限大」をそのように定義しているからです。独自の定義を選択できます。それは文脈的でさえあるかもしれません（彼らの宗教の中で「無限」を数学の中で定義するのとわずかに異なって定義するキリスト教の数学者を見つけることは珍しくありません、彼らの語彙で同じ単語が割り当てられている2つの非常に類似した概念以外に悪影響はありません） 。
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自然数は、 Dedekind-Peano Axioms （通常、Dedekindが硬くなるため、Peanoにちなんで名付けられました）を満たすことが一般的に認められています。これらの公理は、自然数は無限に多いということです。理由を理解するのは難しいことではありません。n+ 1はより大きな自然数であるため、最大の自然数nは存在できません。
より一般的には、 セット理論の標準（ZFC）公理は、かなりの数の無限セットの存在を証明できます。これは、存在するため、目的には少し役立ちません。無限集合の公理としてZFCに組み込まれていますが、ZFCは広く受け入れられているため数学者や哲学者によって、それは指摘する価値があります。