私の教授は最近、エリアはベクトルだと言った。 Google検索では、ベクトルについて次の定義が得られました。
名詞：方向と大きさを持つ量、特に。空間内のある点の別の点に対する相対的な位置を決定することとして。
私の質問は、領域の方向は何ですか？速度がベクトルであるという事実に関連することができます。たとえば、移動するバイクの速度は、バイクが加速せずに直線で移動していると仮定すると、明確な方向と明確な大きさを持ちます。&。
私の友人は私にエリアベクトルの方向についてこの説明をしてくれました。空間内の長方形の平面を考えてみましょう。彼は、空間内の平面の方向は、面積をスカラーではなくベクトル&と見なすことによってのみ記述できると主張しました。
まだ確信が持てませんでした。たとえば、北&南などの方向に面が垂直になるように平面が配置されたとします。これで、平面の方向は同じになりますいわゆるベクトルが北を指しているのか南を指しているのかに関係なく。さらに、球の領域の方向は何ですか？
領域をベクトルと見なすことは本当に重要ですか？説明してください。
よろしくお願いします。
コメント
- この質問は本質的に数学的なものなので、適切でしょうか。数学サイトへの移行のために？ "数学"タグに値するほとんどの質問（" mathematical-physics "）は、おそらくmath.SEの方が適しています。
- @David正直なところ、物理学間の明確な重複のより良い例は考えられません。と数学。 '数学が領域のベクトル化に問題がないことは間違いありませんが、'全体としては、そうなっているようです。物理的な意味で使用できます。また、'統合のための微分曲面について話している場合（私が思うように）、そうです'同意しますit '数学のトピック。しかし、磁場を計算する際に電流ループに面積ベクトルを使用するのはどうですか？その'はほぼ確実に物理学の資料です。
- Math.SEに関する質問。
- 完全に記述されるために複数のスカラーを必要とするものはすべてベクトルのようなものです。問題は、この説明がどのフレームで行われるかです。
回答
これは数学的な質問かもしれません。 。これは三次元空間特有のことです。 3次元では、平面などの領域は2次元の部分空間であることに注意してください。紙の上では、点を明確に示すために2つの数字だけが必要です。
紙の上に立っていると想像してみてください。頭が指す方向は、常にこの平面がどのように向いているかを知る方法になります。宇宙で。これは、この平面の「法線」ベクトルと呼ばれ、平面に対して直角です。
この法線ベクトルの長さがこのサーフェスの面積と等しくなるように規則を選択した場合、2次元平面、3次元空間での方向（ベクトル部分）、およびこの平面の大きさ（このベクトルの長さ）の完全な説明が得られます。
数学的には、これを表すことができます。 「外積」$$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$によってその大きさは$ | c |として定義されます= | a || b | sin \ theta $は、平行四辺形の面積に等しく、ベクトル（実際には平面を定義します）のスパンになります。クロス積に関するウィキペディアの記事からこの画像を盗むには：
冒頭で述べたようにこれは3次元にとっては非常に特別なことであり、高次元ではさまざまな理由でうまく機能しません。このトピックについて詳しく知りたい場合、キーワードは「外積代数」です。
更新：
この概念の物理的重要性に関して、顕著な例は表面を流れるベクトル場です。円形のワイヤーを取ります。この円は、3Dでさまざまな方向に向けることができます。外部磁場がある場合、これが円を流れる量の変化率に比例して電流を誘導する可能性があることを知っているかもしれません（これは矢印が領域をどれだけ貫通しているかと考えてください）。磁場ベクトルが円に平行である（したがって、その法線ベクトルに直交している）場合、それらは領域をまったく「穿孔」しないため、この領域を通る流れはゼロです。一方、場のベクトルが平面に直交している（つまり法線に平行である）場合、この領域を最大に「穿孔」し、流れを最大にします。
これらの間の方向を変更すると電流を得ることができる2つの状態。
コメント
- +1は、磁場について言及しています。物理学で使用されるすべての表面ベクトルが異なるわけではありません。
- ありがとうございます。ほんの少しの説明。 &紙の上に立っている人が、頭の方向を法線ベクトルを表すものと見なすと想像してください。しかし、この人が正反対の顔に立っていたとしたら、'紙の向きは同じままでしょうか？しかし、今ではベクトルの方向は反対方向です。明確にしてください。
- 次に、この概念は'高次元ではうまく機能しないとおっしゃいました。つまり、球体'の領域の方向に関する私の質問は無効であることを意味しますか？もしそうなら、この特定のケースでは、面積はベクトルと見なして空間内の方向を指定できないため、スカラーですか？
- 'が満足できない理由？
- 'は満足できません。これは、axbはベクトルですが、| axb |、つまり面積はスカラーであるため、面積がベクトル。
回答
主な使用方法は、面積が非常に小さい場合です。積分で使用します。その場合、それが平らであり、形状は実際には重要ではないことが簡単にわかります。その場合、情報をベクトルとしてエンコードできます。大きさは（スカラー）領域を表します。選択（あなたのように）気づいた）任意の側面を指すことは、まさにそれです—選択—しかし、一貫して行うことができます。これを非微小平面に拡張することはできますが、曲面ではうまく機能しません。
正確に言うと、本当に必要なのは共ベクトルです。これは、ベクトルを取り、スカラーを吐き出す抽象的なガジェットです。平面の場合、これが平面を通過するベクトルの「量」を表すようにします—したがって、ベクトル内で線形である必要があり（ベクトルを2倍にすると、出力が2倍になります）、角度を考慮に入れる必要があります。ベクトルがそれに当たる（$ \ cos $の係数を与える）。ここで、この抽象的な共ベクトルを表現する方法について質問できます。ベクトルは良いアイデアであることがわかります！具体的には、線形性と余弦を自然にエンコードする内積を取るものとしてアクションを表すことができます。さて、一般的に、これは適切なベクトルと同じ数の次元を持っていますが、これは3Dで領域（2Dサーフェス）をエンコードするだけです— 2Dでは線を取得し、4Dではボリュームを取得します（はい！ 4ベクトルは1点でボリュームと交差します！）。
この種のことについてもっと知りたい場合は、微分幾何学を調査する必要があります。微分幾何学では、ベクトルと共ベクトルを混同しないように、この種のことを明確にする必要があります（そのフィールドのフォーム）。読みやすい参考資料は、ゲージ場、結び目、重力です。これは、数学の基本的な概要から始まり、物理的に使用するために開発されています。
コメント
- 電磁気学などの場の理論の文脈では、"ベクトルの量（場）平面セグメント"を通過するものには flux という名前が付けられます。したがって、領域は、ベクトル（またはベクトル場）をその領域を通るそのベクトル（場）の流束にマッピングする関数によって特徴付けられると考えることができます。
- @luksen彼が言及した本は優れています数学と物理の知識のレベルについて言い換えると、本を効率的にフォローし始めるための前提条件は何ですか？それは大学院または学部の本ですか？
回答
力の考え方は圧力と面積の積です（$ F = P \ cdot A $）。圧力はスカラーであり（それに関連する方向はありません）、力はベクトルです（軸に沿って作用します）。では、それは圧力にとって何を意味するのでしょうか。
小さな領域を取り、圧力による総力への寄与を確認してください
$$ {\ rm d} F = P（ x、y、z）\、{\ rm d} A $$
力の方向は領域に垂直であり、その大きさは領域のサイズに比例します。これが、極小面積$ {\ rm d} A $はベクトルにすることができます。（vector）=（scalar）*（vector）と考えると便利です。
回答
シンプレックスの領域に適用された3次元のピタゴールの法則の特に美しい例があります（「シンプレックス」とは、3つの直交する領域で囲まれた空間のセクションを意味すると思います）。平面と1つの任意の平面。）3つの小さな面の（面積の）正方形の合計は、傾斜面の面積の正方形に等しくなります。 これは、ここに投稿された他の回答で提示された圧力/流れタイプの議論と、乱されていない流体がそれ自体と平衡状態にあるという明らかな物理的条件によって簡単に説明されます。