64 = 65はどうすればよいですか？

これは、フィボナッチ数列。

提起された質問に答えるには、2つの勾配が異なることが問題です（ $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ）。これらの数値はすべてフィボナッチ数列（ $ 1,1,2,3,5,8,13,21、\ ldots $ ）に含まれていることに注意してください。

連続する分数は、 $ \ varphi $ に近い近似値であり、上と下を交互に繰り返します。このような図は、一辺がフィボナッチ数（この質問8）の数に等しい正方形を作成し、それを2つの長方形に分割して、最初に選択したフィボナッチ数（3と5）。

小さい方を対角線の下に切り、大きい方を対角線の中央で切り取り、対角線の切り込みの幅が次に小さい数（この場合は2）になるようにします。これにより、小さい平行サイズが元の小さい長方形の小さい方の辺（この場合は3）と一致し、大きい平行サイズが元の大きい長方形の小さい側（この場合は5）と一致する台形が残ることに注意してください。

$ \ frac25 \ approx \ frac38 $ 以降、上記の構造から、ピースを長方形に再配置できます（図を参照）。その領域は常に元の正方形から1つ離れていますが、傾斜がほぼ一致しているため、ほぼ正しいように見えます。

編集：この回答は非常に多くの賛成票を受け取ったので（ありがとう！）、私は人々がそれに非常に興味を持っているとしたら、私はいくつかの画像を作成すると思いました！

1,1,2,3 ： $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2、 3,5： $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8： $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ （OPの例）

3,5,8,13 ： $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21： $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

@EricJからのコメント。ここで取り上げる価値のある議論を促しました：

そのようなパズルがすべてフィボナッチ数列に基づいているとは主張していません。すべてのフィボナッチ数がこれらの図を生成できるというだけです。フィボナッチにはいくつかの特徴があります。これを機能させる数値。

1. 1つは、フィボナッチ数の2乗が、両側の数値の積より1多い数と1少ない数が交互に現れることです。
2. すでに述べた傾斜のことです。つまり、私たちの構造では、ほぼ等しい2つの傾斜が得られます。そして
3. 全体的な構築は、前の2つの合計である各数値に基づいて行うことができるという議論があります。

後の2つのポイントが最適です。構造を詳細に研究することで理解できます。最初のポイントは、誘導によって証明できます。

RTP ： $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ for $ k \ geq1 $

$ f_0 = 0 $ と $ f_1 =になるようにインデックスを作成しています1 $ 。

ステップ1 ： $ k = 1 $ ： $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ は置換によって確認できます。

ステップ2 ： $ k $ に当てはまると仮定します。したがって $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ 。（私は $ \ mp1 $ を使用していますなぜなら、私はそれが交互になることを期待しているので、ステップ3で、 $ \ pm1 $ ）

ステップ3 ： $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ {であることを示す必要がありますk} f_ {k + 2} \ pm1 $ 。

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k}（f_ {k} + f_ {k + 1}）\ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = &（f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1）+ f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1}（f_ {k-1} + f_ {k}）\\ & = & f_ {k + 1}（f_ {k + 1}）\\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

フィボナッチ数列の定義を2回使用しました（ $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ と $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ）とステップ2の仮定。

これは、上記の構築を行うと、領域が常に1だけ異なることを意味します（毎回上下に交互になります）。

コメント

• Exc素晴らしい答え！私は'これらのパズルに精通していますが、フィボナッチのつながりについて聞いたことがありません。実際、私は'そのような形状を生成するためのアルゴリズムがあることに気づいていませんでした。
• これが"デモンストレーションによる証明" math.stackexchange.com の写真。
• この質問を見た後、私は超光速のタイムトラベルフェラーリ488が' t かなり機能しなかった理由に気付きました（つまり、' dは、光速よりも速くタイムスリップしますが、フォードフィエスタとして戻ってきました！）そして、私は' dちょうど完了しました。このばかげたの答えを読んだときに、それを修正してテスト実行で起動しました！そして、フェラーリが戻ってきましたが、今回は恐竜が乗った自転車として戻ってきました！それで、OK、私は恐竜を叩きました（彼の名前'のフレッド、ところで-いいやつ。面白いol 'もの、人生。 。）フライパンを使って、' FTLエンジンを再修正します。つまり、' anks fer nuttin ' !! 🙂
• 彼は'は不可能なことをしていると言っているだけで、今は' t 'が不可能であることが証明されたためです。 '得られないのは、なぜこれほど多くの賛成票が集まったのですか？私は賢いと思っていたのですが、それは賢くないのです！
• ああ、そうですか？上手！私はあなたの答えに賛成しました、ちょうどそれを100にするために！ SO THERE !!!! ：-）（@ ghosts_in_the_codeは別として、私は'この答えがばかだとは言っていませんでした-私はそれを" stupid "皮肉な意味で、"答えは私が間違っていることを証明しました！なんて愚かな答えでしょう！"-つまり、私は'ここで本当のダミーです。うまくいけば、'すべてがうまくいきます…） 。私のコメントは、実際には3つの映画、バック・トゥ・ザ・フューチャー、ET、キャディサックへのオマージュです。そして、ヒッチカー'のギャラクシー三部作ガイド-5冊すべて。 🙂

図は誤解を招く恐れがあります、2番目の構成の途中でギャップが隠れているためです。

これは、問題の形状を再配置した場合に実際に得られるものです。斜めの「弓」がわずかにあり、形状の間に余分なスペースが残っていることに注意してください。これは、領域の余分な単位が忍び寄る場所です。

しかし、元の絵を描いた人以上に私を信頼してはいけません！

ここにあるように、絵は誤解を招く可能性があります。したがって、私の図は、元の図が間違っていました。これにより、余分なスペースがどこから来たのかが直感的にわかります。

適切な証明のために、勾配を考慮してください。

• 青い台形の勾配は$ 5/2 = 2.5 $
• の勾配は赤い三角形は$ 8/3 = 2.666 … $

グラデーションが一致しないため、間に空白がないと、このように並べて配置することはできません。 。しかし、それらは接近しているため、目はそれらが単一の連続した線を形成していると思わせることができ、三角形の傾斜が途中で変化することに気づきません。

コメント

• 私はこれらのパズルが大好きです-'提示されたものを受け入れないという哲学的な道徳があります'

右側の画像チート：断片実際には完全に合わないでください。間にギャップがあります。それを証明するために、次の式で形成される三角形のサイズを計算することにより、ギャップのサイズを計算できます。

• 黄色の三角形の最も長い辺：$ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• 台形の傾斜した側：$ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• 上の長方形の対角線右：$ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

この三角形の面積は、ヘロンの公式を使用して計算できます：

$ $ A = \ sqrt {s（sa）（sb）（sc）} $$

ここで

$$ s = \ frac {1} {2}（a + b + c）$$

式に値を代入すると、$ A $は正確に0.5になります。このような三角形は2つあるため、「合計1 =予想される不一致です。

誤解を招く図です。実際には、角度は一致していません。オレンジ色の三角形の大きい方の内角は約69.5度ですが、灰色の四辺形の場合は68.2です。 （ここでトリガーを間違えた場合は訂正してください。）領域65の図では、オレンジ色の領域は実際には四辺形です。よく見ると、他のオレンジ色と出会う場所でわずかな変化があることがわかります。セクション。余分な領域は、それらを少し拡張することで得られます。

三角形の傾きは同じではありません。 ; 「大きい」長方形を通る大きな対角線が曲がっていることがわかります。三角形の周りの太い線で覆われていますが、総面積が1つの正方形の非常に細い穴があります。これは「どこからともなく現れた」と思われる正方形と同じです。

画像を拡大するだけで、 参照 答え。

簡単な回答：

画像の右側にあるこれらの形状（オレンジ色）は、三角形ではありません。それらは2つの四辺形です。したがって、視覚的に予想されるよりも広い領域があります。したがって、ここには公平性はありません。それらは異なっているため、総面積も異なります。

下の三角形の画像は、人をだますため、誤解を招く恐れがあります。三角形の幅が正確に3単位であると誤って想定することになります。

実際の幅は簡単に計算できます。これは、対角線上の点の高さで定義される全幅の一部、または5のちょうど8/13、つまり3.076923077（3ではない）で、qed

コメント

• パズルステートメントによると、両方の図は同一であり、三角形の形状は8x8構成で定義され、正確に3ユニット×8ユニットになります。エラーはalexwlchan