私は Atiyah-歌手のインデックス定理を学ぶ意欲を高めようとしています。ウィキペディアなど、私が読んだほとんどの場所で、定理は理論物理学で重要であると言われています。私の質問は、これらのアプリケーションのいくつかの例は何ですか？
回答
運動の方程式、またはインスタントンの方程式、ソリトン、アインシュタインの方程式、または物理学のほぼすべての方程式は、微分方程式です。多くの場合、微分方程式の解の空間に関心があります。関心のある（おそらく非線形の）微分方程式の合計を$ L（u）= 0、$と書くと、解$ u_0、$の近くで線形化できます。つまり、$ u = u_0 + v $と書くことができます。 $ L（u_0 + v）= 0 + L ' | _ {u_0}（v）+ … =：D（v）$を展開して、線形方程式$ Dを作成します。 （v）= 0 $変位$ v。$
線形微分方程式は、行列方程式のようなものです。 $ n \ times m $行列$ M $は$ R ^ n $から$ R ^ m $へのマップであり、$ dim（ker（M））-dim（ker（M ^ *））= nmであることを思い出してください。 、$は、特定の行列（または、より一般的には線形変換）に依存しません。この番号は「インデックス」と呼ばれます。無限次元では、これらの数は一般に有限ではありませんが、多くの場合（特に楕円型微分方程式の場合）、有限であり、作用する空間に関する特定の「グローバル」情報にのみ依存します。
インデックス定理線形微分演算子（上記の$ D、$）のインデックスが何であるかを示します。これを使用して、方程式$ L（u）=0。$の解の空間の次元を計算できます（解の空間が多様体[別のストーリー]の場合、次元は次元です方程式$ D（v）= 0 $が表す接空間の。）それは、解の実際の空間が何であるかを 教えてくれません。それは「難しい、非線形の質問です。
コメント
- 私はそれを推測します'素晴らしい数学的な答えです'インデックス定理のステートメントをまだ知らない物理学者のために。しかし、実際の物理的な例は見当たりません。残念ですが、エリックはそれらをたくさん知っている必要があります。 。人々が文字列理論で常にそれを使用していることは知っていますが、'自分の答えを提供するのに十分な知識がありません。
- インデックスの定理は非常に一般的で、私が引用したすべての例（インスタントン、ソリトン、Einstein 'の方程式）に適用されます。たとえば、4つの$ SU（2）$インスタントンのモジュラス空間-インスタントン番号$ k $の球$ S ^ 4 $（$ R ^ 4 $、無限大で一定の動作）は、インデックス定理により$ 8k-3 $に等しくなります。
- そうですね、"私の日常と直接矛盾する物理学のほぼすべての方程式"観察:-)私が望んでいたのは、スティーブが与えたようないくつかの具体的な例でした。または、インスタントンの例のようなものです（ただし、$ S ^ 3 $を意味していると思いますか？）。特に物理的な解釈に関連して、これらをもっと見たいと思います。よろしくお願いします：-）
- 物理学のほぼすべての方程式が微分方程式であることは本当です。ただし、すべてがインデックスの問題につながるわけではありません。 （私はS ^ 4を意味しました。インスタントンは時間依存の場の構成です。）ファインマン図が2次元のQFT振幅である弦理論の例。その2次元場の理論は、表面から時空までのマップを記述し、その理論のインスタントンは正則マップです。このようなマップのスペースの次元は、インデックス式によって求められます。 CYの場合、この次元はゼロです。これは、解を数えることができることを意味します（これは、位相的弦理論に関連しています）。
- インスタントンの良い答えと言及に+1します。しかし、実際にはアインシュタイン'の方程式への適用はありますか？ AFAIKインデックス定理は、線形楕円型作用素に適用できます…
回答
Ericなどが優れていますインデックス定理がさまざまな物理システムで発生すると予想される理由についての回答。最も初期の最も重要なアプリケーションの1つは、$ U（1）$問題の「tHooft」解決です。これは、カイラル対称性の破れから素朴に期待される、QCDに9番目の疑似ゴールドストーンボソン（パイ中間子やK中間子など）がないことを意味します。解決には2つの部分があります。 1つ目は、カイラル$ U（1）$が異常であるという事実です。 2つ目は、$ U（1）$軸方向電流の発散を含む相関関数に寄与する有限アクション（インスタントン）の構成があるという認識です。分析は、QCDの$ SU（3）$ゲージ場に結合されたディラック作用素の指数定理に大きく依存しています。より完全な説明については、S。コールマンのエリチェの講義「インスタントンの使用」を参照してください。「$ N = 4 $ SYMのS双対への重要なアプリケーションもあります。これには、単極子モジュライ空間でのディラック作用素のインデックス定理が含まれます。
コメント
- ジェフ、電話を切らないでください！Physics Stack Exchangeは、Math Overflowと同じくらい広く、賢明に使用されれば、物理コミュニティに役立つと思います。たとえば、あなたのような人々からです！
- エリックに感謝します。これは再起動されたばかりです。うまくいくことを願っています。MO品質になるまでにはいくつかの方法があります。
- 確かに。'は現在開発中のサイト（Theoretical Physics Stack Exchange）であり、Math Overflowに似たものになることを目指していますが、これには現存するという利点があります。
回答
まず、問題のインデックスが何を指しているのかを説明します。数学がジャーゴンでいっぱいになりすぎた場合は、コメントで知らせてください。
物理学では、私たちはしばしば私たちが関心を持っているいくつかの多様体上のさまざまな演算子のスペクトル。例：3 +1時空のディラック作用素。特に、低エネルギーの長距離物理学はゼロモード（基底状態）に含まれています。
ここで、ディラック作用素$ D $と与えられた多様体$ M $について、「インデックス」が測定するものは、は、左巻きのゼロモードの数と右巻きのゼロモードの数の差です。より技術的に：
$$ ind \、D = dim \、ker \、D-dim \、ker \、D ^ {+} $$
ここで、$ D $は問題のオペレーター。 $ ker \、D $は$ D $のカーネルであり、$ D $によって消滅する状態のセットです。 $ ker \、D ^ {+} $は随伴作用素の核です。次に、ご覧のとおり、$ ind \、D $は、これら2つのスペースの次元の差をカウントします。この数は$ M $のトポロジーにのみ依存します。
要するに、ASIの定理は、多様体$ M $のトポロジーを作用する微分演算子$ D $のゼロモードまたは基底状態に関連付けます。 $ M $。これは明らかに物理学者に関連する情報です。
おそらく他の誰かが物理的側面についてもっと詳しく説明することができます。
これと他の数学的物理学のトピックの最良の参考資料は、私の意見です。 中原。
回答
の場合ディラック演算子、インデックスは、一方のカイラリティともう一方のカイラリティの真空モードの空間の（符号付き）過剰次元です。つまり、カイラル場理論における異常な「ゴースト」状態の数です。
異常は、古典/量子対称性の対応が再正規化の下で崩壊したときに発生します（グローバル異常はQCDのクォーク質量の原因である可能性があります; SMの局所キラル異常の解決はクォークとレプトンを説明します;スーパーストリング理論でそれを解決するとゲージが修正されますグループ[SO（32）またはE8 x E8のいずれかに]、および共形異常の解決により、時空間の次元とフェルミオンの内容が固定されます。弦理論を実際の物理学に変えようとするとき、
- 3世代のキラルフェルミ粒子を説明できますか？
- 陽子崩壊の実験結果を説明できますか？
- 電子質量の小ささを説明できますか？
- [宇宙定数に関すること]を説明できますか？
そしてASTはこれらの質問に答えるのに役立ちます。