理想的な滑車と理想的な弦を備えた次の単純なアトウッドの器械を検討してください p>
私の教科書によると、機械を壁に固定するクランプの張力は$ 2T $に相当します。その理由がわかりません。$ m_1 $が上向きに加速していると仮定すると、弦の$ T $の張力は$ m_1g + m_1a = m_2g –m_2a $と同じ大きさです。
、アトウッドの器械の質量の加速度は次の式で与えられます。
$$ a = \ frac {（m_2 –m_1）g} {m_1 + m_2} $$
これを次のように代入します。 、張力は次のようになります
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {（m_2 –m_1）g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left（1 + \ frac {m_2 –m_1} {m_2 + m_1} \ right）= \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
したがって、私の教科書によれば、プーリークランプの張力は次のようになります。
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
しかし、これらすべての力は内力ではありませんか？アトウッドの器械全体をシステム（クランプを除く）と見なすと、それに作用する力は重力$（m_1 + m_2）g $とクランプの張力$ T_c $だけです。システムが停止しているので
$$ T_c =（m_1 + m_2）g $$
私は正しいですか、それとも私の議論に欠陥がありますか？
コメント
- $ T $が見つかりました。教科書には、同じ方程式に2を掛けたものがあります。ここでは問題ありません。
- ヒント：システムは停止していません。
- Nick '回答は完了しましたが、努力を示しているので、あなたの質問が気に入りました。計算中のPRINCIPLEを理解する。したがって、'システムが停止していない理由を理解することは、私の意見では重要です。
- 本当です、すべての計算は数学的にチェックするだけでなく、物理的な解釈も非常に重要な部分です！ですから、質問のポイントで、私は'良い仕事をして、良い仕事を続けます！
- それが助けになるなら、あなたは中心が質量であることを示すことができます2つの質量の$ m_ {1} $と$ m_ {2} $は下向きに加速しており、サポートがホイールを安定させているように見えますが、これにより実際にはホイール/質量システムが下向きに加速しています。
回答
2つの質量が同じ場合、つまり$ a = 0 $と
$ T = m_1 g = m_2 g $。
または：
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g =（m_1 + m_2）g $。
質量が同じでない場合、両方の質量が加速し、その結果、プーリーシステム（およびクランプ）にかかる力が小さくなります。
これは、張力の式で簡単に確認できます！
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}、$
もし私が総質量を$ M = m_1 + m_2 $と定義すると、$ T $は次のように表すことができます。
$ T = \ frac {2m_1（M-m_1）g} {M} = \ frac {2g} {M}（m_1（M-m_1））。$
$ T $を$ m_1 $の関数としてプロットしたかどうかを確認できます。 $ m_1 = M / 2 $で最大に達します。これは、2つの質量が等しい場合に張力が最大になることを意味し、張力は次のようになります。
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {（m_1 + m_2）g} {2} $、
またはあなたが考えていたように：
$ 2T =（m_1 + m_2）g $
完全を期すために、無次元量に関する質量$ m_1 $の関数での張力のプロット。
このプロットでは、$ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $または$ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $の場合、2つの質量の1つが自由になるため、張力がないことが簡単にわかります。落下。中間のケースでは、弦の両側に「引っ張り」があるため、張力が発生します。質量$ m_1 $と$ m_2 $が互いに等しいほど、動きが少なくなり、引っ張りが大きくなります。文字列。
コメント
- したがって、私の引数が正しくなかった場合は、システムが停止していないことを意味するだけです。しかし、システムが静止していないとどうして言えますか？
- 上記の場合、質量のない弦を備えた摩擦のない滑車があります。システムを静止させる唯一の方法は、2つの質量が等しい場合です（計算では、加速度がゼロに等しい場合は'のみです）。この場合、両方の質量が弦の両端で等しい力で引っ張られます。 '必ずしもシステムが静止していることを意味するわけではないことに注意してください。一定の速度で移動することもできます！
- @Gerard質量を追加する場合滑車への刺し傷や摩擦があると、システムが静止している/静止している他の状況が発生する可能性があります。
- 'は真実ではありません。それは同じ場所に残ります。m_1が上向きでm_2が下向きであっても、質量が異なるため、重心が加速しているため、"重量"グローバルな動きで。したがって、m_2 > m_1で、m_2が下向きに加速している場合、重心は下向きになります。
- @Gerard：そうです、あなたの目的のために（つまり、システムに作用する総力）休息や動きは、'本当に探しているものではありません。 'だらしないと言っただけです："システムが停止していません" 。 '重要なのは総加速度であり、この場合は0とは異なります。'一定速度のモーションでは、力を加える必要はありません。システム。 'コメント用のスペースを少し誤用しているため、ここで停止します。
回答
システムは停止していません。質量と滑車を1つのシステムと見なすと、重心の動作によってシステムの動作を理解できます。質量が等しくない限り、システムの重心は静止していません。
このように考えると便利な場合があります-システム境界の内側で質量$ m_1 $が距離を下って移動します一方、質量$ m_2 $は同じ距離だけ上昇します。したがって、重心が下に移動しました（または、$ m_1 > m_2 $かどうかによっては上に移動しました）。
したがって、張力は次の式で与えられます。
$$（m_1 + m_2）a_ {cm} =（m_1 + m_2）g –T_c $$
さらに解決できます
$ a_ {cm} = a（m_2-m_1）/（m_1 + m_2）$、ここでaは、前述の質量$ m_1 $の加速度の値です。
方程式に代入して
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
コメント
- これが私がこの問題を教えようとする方法です。ありがとうございます。
- あなたまたは@Nickが4g * muの形式で解決策についてコメントできる可能性はありますか？範囲を超えている可能性があります。問題の、しかし私がそのような接続を見るとき、私はそれらを理解しようとします。
答え
そこに要するに、プーリークラスプの張力は、すべてが平衡状態にあるときにシステムにかかる総重力をキャンセルするためにのみ必要です。イブリウムと加速はありません。ただし、質量が不均衡な場合、一方が下降し、もう一方が上昇します。これにより、総力が平衡の場合と同じ値に保たれるかどうかは明らかではありません。
実際、 2つの質量が等しい場合、答えが一致することを確認できます。プーリークラスプの正しい張力は$$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2mg =（m + m）g。 $$