ランダムプロセスのサンプルは次のように与えられます。
$$ x（t）= A \ cos （2 \ pi f_0t）+ Bw（t）$$
ここで、$ w（t）$は、平均が$ 0 $で、パワースペクトル密度が$ \ frac {N_0} {2のホワイトノイズプロセスです。 } $、および$ f_0 $、$ A $、および$ B $は定数です。自己相関関数を見つけます。
解決策の試みは次のとおりです。
$ a = 2 \ pi f_0t $、$ b = 2 \ pi f_0（t + \ tau）$
\ begin {align} \ text {Autocorrelation of} x（t）& = E \ left \ {x（t）x（ t + \ tau）\ right \} \\ & = E \ left \ {\ left（A \ cos（a）+ Bw（t）\ right）\ left（A \ cos（b）+ Bw（t + \ tau）\ right）\ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos（a）\ cos（b） + AB \ cos（a）w（t + \ tau）+ AB \ cos（b）（wt）\\ & \ quad + B ^ 2w（t）w（t + \ tau）\} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos（a）\ cos（b）\ right \} + E \ left \ {AB \ cos （a）w（t + \ tau）\ right \} + E \ left \ {AB \ cos（b）（wt）\ right \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w（t）w（t + \ tau）\ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos（a）\ cos （b）\ right \} + E \ left \ {B ^ 2w（t）w（t + \ tau）\ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos（a）\ cos（b）\ right \} + B ^ 2 \ left（R_w（\ tau）\ right）\\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos（a）\ cos（b）\ right \} + B ^ 2 \ left（\ frac {N_0} {2} \ right）（ \ delta（\ tau））\\ \ end {align}
ノイズを含む期待値はすべて$ 0 $に等しくなります（最後はホワイトノイズの自己相関です…したがって、簡略化されます上記。三角関数公式の使用：$$ \ cos（a）\ cos（b）= \ frac 12 \ left [\ cos（a + b）+ \ cos（a –b）\ right] $$
\ begin {align} \ text {Autocorrelation of} x（t）& = E \ left \ {A ^ 2 \ cos（a ）\ cos（b）\ right \} + B ^ 2 \ left（\ frac {N_0} {2} \ right）（\ delta（\ tau））\\ & = E \ left \ {\ left（A ^ 2 \ right）\ frac 12 \ left [\ cos（a + b）+ \ cos（ab）\ right] \ right \} + B ^ 2 \ left（\ frac {N_0} {2} \ right）（\ delta（\ tau））\\ & = \ left（\ frac {A ^ 2} {2} \ right）\ left [E \ {\ cos（a + b）\} + E \ {\ cos（ab）\} \ right] + B ^ 2 \ left（\ frac {N_0} {2} \ right）（\ delta（\ tau））\\ \ end {align}
定数項を扱っているので、期待項がなくなり、初期条件で下がっていきます：$$ \ frac {A ^ 2} 2 \ left [\ cos（2 \ pi f_o（2t + \ tau）+ \ cos（2 \ pi f_o \ tau）\ right] + B ^ 2 \ left（\ frac {N_0} {2} \ right）（\ delta （\ tau））$$
何らかの理由で、自己相関を誤って計算したと感じずにはいられません…それは$ \ tau $の関数であるはずですが、 $ t $はそこにあります…誰かが私を正しい方向に向けたり、私が台無しにしたことを説明してくれたら、とてもありがたいです。重要かどうかはわかりませんが、このクラスでは、広義の定常過程のみを扱います。
コメント
- あなたがそうでない限りランダムプロセス$ x（t）$がWSSであることを確認してください。そのACFが$ \ tau $のみの関数であると期待すべきではありません。したがって、ここでは時間$ t $を含めるのが正しいようです。しかし、$ x（t）$内の余弦項には、入力し忘れたランダムな振幅またはランダムな位相が含まれている可能性があると思います。必要に応じて、時間要素$ t $を削除する機会があります。したがって…
- プロセス$ \ {A \ cos（2 \ pi f_0t）\} $は、周期定常プロセスです（これらの時間オフセットの定常性要件を満たします。 $（2 \ pi f_0）^ {-1} $）の倍数であり、WSSプロセスではありません。たとえば、平均関数 $ E [x（t）] $でさえ、WSSプロセスの場合のように定数ではないことに注意してください。 @ Fat32が（+1）と言っているように、$ x（t）$定義にランダムフェーズ$ \ Theta $を含めるのを忘れている可能性があります（WS定常性に必要なプロパティは$ E [\ cos（2 \ Theta） ] = E [\ sin（2 \ Theta）] = 0 $これは、$ \ Theta \ sim U（0,2 \ pi）$または$ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ fracに当てはまります。 $ n = 0,1,2,3 $の場合は14 $）。
回答
そうですね「ほぼすべてを正しく実行しましたが、$ t $に関する期待値の計算に問題があります。コサイン関数の期待値を計算する必要があります。残念ながら、書いたように単に「消える」わけではありません。
ウィキペディアのページをご覧ください。関数$ fの自動相関関数の別のより明示的な式を見つけることができます。 （t）$：
$ R _ {\ textrm {ff}}（\ tau）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ \ infty f（t + \ tau）\ bar {f}（ t）\、\ textrm {d} t $。
（Wikipediaページと比較して、統合では$ u $の代わりに変数$ t $を自由に使用できることに注意してください。 whi chは数学的に正確なバージョンになります。）
この方程式からわかるように、tへの依存関係を「積分」します。実際、$ tに依存しない関数を残す必要があります。 $。
無限の時間にはならないが、期間$ T $に制限されているバージョンもあることに注意してください。たぶん、このバージョンはあなたの場合により適切です。ただし、このバージョンにも同じことが当てはまります。$ t $は統合されているため、結果の数式で変数にすることはできません。
コメント
- あなた"と書くと、2つの異なる概念が混同されます。この式からわかるように、"統合します" $ t $への依存関係。実際、$ t $ "
- に依存しない関数を残しておく必要があります。また、$ t $なしでWikipediaページから式を取得し、$ R_ \ textrm {ff}（\ tau）= \ int \ Limits _ {-\ infty} ^ \ infty f（u + \ tau）\ bar {f}（ u）\、\ textrm {d} u $。ここで重要なのは、どちらの場合も、関数$ f $の引数がtであり、統合されていることです。したがって、最終結果には$ t $はなく、$ \ tau $だけが含まれます。
- @Dilipこちらもご覧ください ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/ … -これは基本的に単純なグーグル検索後の最初の結果です。そこでは、22-2ページ（PDFの3ページ）に、この式によって計算され、$ t $に依存しない自己相関関数の例があります。また、前のページで数学的にそれほど健全ではない積分表記を見つけることができます。
- ウィキペディアで見つけることができると主張する式の有効性に疑問を呈するのは、私から遠いです。またはMITオンラインコースで教えられていますが、\ begin {align} 2 \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ cos（2 \ pi f_0t）\ cos（2 \ pi f_0（t + \ tau））dt & = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ cos（2 \ pi f_0（2t + \ tau））+ \ cos（2 \ pi f_0 \ tau ）dt \\ & = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ cos（2 \ pi f_0（2t + \ tau））dt + \ int _ {-\ infty} \ infty \ cos（2 \ pi f_0 \ tau）dt \ end {align}その2行目の2番目の積分（被積分関数は$ t $で定数）は、$ \ tau $が$ \ cosのような値を持っていない限り、発散します。 （2 \ pi f_0 \ tau）= 0 $。
- @Dilip正解です、この積分は発散します。最初の積分でさえ、収束しないため、意味がありません。このため、私の答えには最後の段落があります。