モデルAR（1）の表現は次のとおりです。
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} +ε_t$
ここで、 $ c =（1 -ϕ）μ$ （ $ c $ は定数です）
そこでの計算を理解したい $γ（h）= \ operatorname {Var}（Y_t）⋅ϕ ^ {| h |} $ <であるAR（1）の自己共分散の一般式の背後にあります。 / span>
これまでのところ、次の手順を実行しました- $γ（1）$ から始めました：
$ \ operatorname {Cov}（Y_t、Y_ {t-1}）=γ（1）= $
$ = \ operatorname {Cov}（ϕY_ {t-1} +ε_t、ϕY_ {t-2} +ε_t）= $
$ = \ operatorname {Cov}（ϕY_ {t-1}、ϕY_ {t-2}）+ \ operatorname {Cov}（ϕY_ {t-1}、ε_t）+ \ operatorname {Cov}（ ε_t、ϕY_ {t-2}）+ \ operatorname {Cov}（ε_t 、ε_t）$
$γ（1）= ϕ ^2γ（1）+ ??? + ??? +σ ^ 2 $
ご覧のとおり、この時点から、値がわからないため続行できません。 $ \ operatorname {Cov}（ϕY_ {t-1}、ε_t）$ と
どんな支援も大歓迎です。よろしくお願いします。
回答
書きましょう
$ cov（c、Y_ {t-1}）= cov以降（\ epsilon_t、Y_ {t-1}）= 0 $ 、（つまり、過去の出力は将来の入力から独立しています）。
同様に、 $ \ gamma（2）= cov（Y_t、Y_ {t-2}）= cov（\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t、Y_ {t-2}）= \ phi \ gamma（1）= \ phi ^ 2 \ gamma（0）$ 。
この方法を続けると、 $ cov（Y_t、Y_ {th}）=になります。 \ phi \ gamma（h-1）= … \ phi ^ h \ gamma（0）$ 、ここで $ h \ geq0 $ 。一般化負の
PSこの分析はすべて、 $ \ epsilon_t $ がWSSであると想定しているため、LTIフィルタリングプロパティの $ y_t $ です。
コメント
- 最初の行にタイプミスがあります..ID記号が間違って配置されています。
- 最初の行では3番目の" + "記号を" = 記号：$ cov（c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t、Y_ {t-1}）= cov（c、Y_ {t-1}）+ \ phi cov（Y_ { t-1}、Y_ {t-1}）+ cov（\ epsilon_t、Y_ {t-1}）$
- @Jesperがアドレス指定したタイプミスを編集しようとしているときに、その特定の=記号を変換しました+記号に、そしてそれをもっと間違ったものにしました:)。その理由はレンダリングによるものだと思います。 texステートメントの順序は正しいですが、表示される順序が異なります。とにかく、私は' alignステートメントを利用して、それをはるかに明確にしました。 '大丈夫です。
- 条件付き自己共分散の式は同じですか？つまり、$ Cov [Y_ {t_0 + n + h}、Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ホールド？
回答
提供したものから始めます：
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Where $ c =（1- \ phi）\ mu $
$（1）$ <を書き換えることができます/ span> as：
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & （1- \ phi）\ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu- \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
次に、
$ y_ {t}-\ mu = \ phi（y_ {t-1}-\ mu）+ \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
$ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t}-\ mu $ とすると、式 $（2）$ は次のように書くことができます：
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
分散
<スパンクラスの分散= "math-container"> $（3）$ は、式を2乗し、期待値をとることによって取得されます。これは、次のようになります。
\ begin {配列} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = &（\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}）^ 2 \\ & = &（\ phi \ tilde {y} _ {t -1}）^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} +（\ epsilon_ {t}）^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
ここで、次のことを期待してください：
$ E（\ tilde {y} _ {t} ^ 2）= \ phi ^ {2} E（\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}）+ 2 \ phi E（\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}）+ E（\ epsilon_ {t} ^ 2）$
彼女e次のように呼び出します。
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ は、定常プロセスの分散です。
- $ \ tilde {y} _ {t-1} $ であるため、方程式の右辺の2番目の項はゼロです。 $ \ epsilon_ {t} $ は独立しており、どちらも期待値はnullです。
- 右の最後の項はイノベーションの分散であり、 $ \ sigma ^ {2} $ として示されます（このための添え字）。
最後に、
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
プロセスの分散を解く場合、つまり $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ 、次のようになります：
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1- \ phi ^ 2} \ tag {4} $
自己分散
式
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [（y_ {t –h}-\ mu）（y_ {t}-\ mu）] \\ & = & E [（\ tilde {y} _ {t –h}）（\ tilde {y } _ {t}）] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t –h}（\ phi \ tilde {y} _ {t –1} + \ epsilon_ {t}）\\ \ end {array}
イノベーションはシリーズの過去の値と相関関係がなく、 $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ で、次のようになります：
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
$ h = 1、2、\ ldots $ および
$ AR（1）$ 、方程式 $（5）$ は次のようになります。
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
方程式
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1- \ phi ^ 2} \ phi $
元のソース：AndrésM。Alonso&CarolinaGarcía-Martosスライド。ここで入手可能： http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf